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1、.1/21(D)二次函数中的面积计算问题二次函数中的面积计算问题 典型例题典型例题 例.如图，二次函数2yxbxc图象与x轴交于 A,B 两点(A 在 B 的左边)，与y轴交于点 C，顶点为 M，MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线2x，点P是抛物线上位于,A C两点之间的一个动点，那么PAC的面积的最大值为 C A274B112C278D3二次函数中面积问题常见类型：一、选择填空中简单应用二、不规那么三角形面积运用 S=三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规那么图形转化为规那么图形例 1.如图 1，：正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点，且 AE=BF=
2、CG=DH,设小正方形 EFGH的面积为s，AE 为x，那么s关于x的函数图象大致是B例例 2.2.解答以下问题：如图 1，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.1求抛物线和直线AB的解析式；2求CAB的铅垂高CD及SCAB；3设点P是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在一点P，使SPAB89SCAB，假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，请说明理由.思路分析此题是二次函数中常见的面积问题，方法不唯一，可以用割补法，但有些繁琐，如图 2 我们可得出一第 10 题图图 1BC铅垂高水平宽ha图 2AxCOyABD11图 1.2/21种计算三角形面积的新方法：ah
3、SABC21即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.掌握这个公式后，思路直接，过程较为简单，计算量相对也少许多，答案:1由，可设抛物线的解析式为y1a(x1)24(a0)把A(3，0)代入解析式求得a1，抛物线的解析式为y1(x1)24，即y1x22x3设直线AB的解析式为y2kxb，由y1x22x3 求得B点的坐标为(0，3)把A(3，0)，B(0，3)代入y2kxb，解得k1，b3直线AB的解析式为y2x32C(1，4)，当x1 时，y14，y22CAB的铅垂高CD422SCAB21323(平方单位)3解：存在设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h那么hy1y2(x22x3)(x3)x2
4、3x由SPAB89SCAB得：213(x23x)893整理得 4x212x90，解得x23把x23代入y1x22x3，得y1415P点的坐标为(23，415)例例 3 3.省市如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A0，2，O0，0，B4，0，把AOB绕点O逆时针方向旋转 90得到COD点A转到点C的位置，抛物线yax2bxc(a0)经过C、D、B三点1求抛物线的解析式；2假设抛物线的顶点为P，求PAB的面积；3抛物线上是否存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积？假设存在，请求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由xCOyABD11图 2P-3BAxyO2-1-112345-21
5、345.3/21思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和PAB 的面积很容易求出。第3问是二次函数中常见的动点问题，由于点 M 是抛物线上的一个不确定点，点 M 可以处于不同的位置，是由于点的不确定性而导致图形的形状发生特征上的变化，故而用分类讨论的思想解决问题。答案:1由题意知C2，0，D0，4 抛物线经过B4，0，C2，0 可设抛物线的解析式为ya(x2)(x4)将D0，4代入上式，解得a21该抛物线的解析式为y21(x2)(x4)即y21x2x42y21x2x421(x1)229抛物线的顶点P的坐标为1，29 过点P作PEy轴于点E，如图那么SPABS四边形PEOBSAOBSPEA21(
6、14)29214221(292)163假设存在这样的点M，其坐标为 Mx，y 那么SMBC21|y|6SPAB6即21|y|66，y2当y2 时，21(x1)2292，解得x51；当y2 时，21(x1)2292，解得x131存在点M，使MBC的面积等于PAB的面积，其坐标为：M151，2，M251，2，M3131，2，M4131，2 例 4如图，抛物线与 x 轴交于 Ax1，0，Bx2，0两点，且 x1x2，与 y 轴交于点 C0，4，其中x1，x2是方程 x22x80 的两个根1求这条抛物线的解析式；2点 P 是线段 AB 上的动点，过点 P 作 PEAC，交 BC 于点 E，连接 CP，
7、当CPE 的面积最大时，求点 P 的坐标；3探究：假设点 Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点 Q，使QBC 成为等腰三角形，假设存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；假设不存在，请说明理由-3BAxyO2-1-112345-21345PEBAyOPECx.4/21解：1解方程 x22x80，得 x12，x24A4，0，B2，0 抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，可设抛物线的解析式为 ya(x2)(x4)a0又抛物线与 y 轴交于点 C0，4，a2(4)4，a21抛物线的解析式为 y21(x2)(x4)，即 y21x2x42设点 P 的坐标为m，0，过点 E 作 EGx 轴于点
8、 G，如图A4，0，B2，0，AB6，BPm2PEAC，BPEBACCOEGABBP，4EG62m，EG34m2 SCPESCBPSBPE21BPCO21BPEG21(m2)(434m2)31(m1)23又2m4，当 m1 时，SCPE有最大值 3此时点 P 的坐标为1，03存在这样的点 Q，使QBC 成为等腰三角形，点 Q 的坐标为：Q1(1，1)，Q2(1，11)，Q3(1，11)，Q4(1，194)，Q5(1，194)设点 Q 的坐标为1，n B2，0，C0，4，BC2(2)24220当 QBQC 时，那么 QB2QC2即(21)2y2(1)2(4y)2，y1Q1(1，1)当 BCBQ
9、时，那么 BQ2BC2即(21)2y220，y11Q2(1，11)，Q3(1，11)当 QCBC 时，那么 QC2BC2即 12(4y)220，y194 Q4(1，194)，Q5(1，194)例 5如图 1，抛物线yx22xk与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C0，3 图 2、图 3 为解答备用图1k_，点A的坐标为_，点B的坐标为_；2设抛物线yx22xk的顶点为M，求四边形ABMC的面积；BAyOPECxGBAyOCxQ1Q2Q4Q3Q5.5/213在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？假设存在，请求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由；4在抛物线yx22xk上求
10、点Q，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形解：13，1，0，3，0；2连结OM，如图 1yx22xk(x1)24抛物线的顶点M的坐标为1，4 S四边形ABMCSAOCSCOMSMOB2113213121349说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面积转化为求一个梯形与两个直角三角形面积的和3设Dm，m22m3，连结OD，如图 2那么 0m3，m22m30S四边形ABDCSAOCSCODSDOB2113213m213(m22m3)23m229m623(m23)2875当m23时，四边形ABDC的面积最大此时m22m3(23)22233415存在点D23，415，使四边形ABDC的面
11、积最大4有两种情况：如图 3，过点B作BQ1BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C在 RtCOB中，OBOC3，CBO45，EBO45，OBOE3点E的坐标为0，3 直线BE的解析式为yx3令x3x22x3，解得5211 yx，0322 yxyxBAOC图 1yxBAOC图 2yxBAOC图 3yxBAOC图 1MyxBAOC图 2DyxBAOC图 3Q1E.6/21点Q1的坐标为2，5 如图 4，过点C作CFCB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2CBO45，CFB45，OFOC3点F的坐标为3，0 直线CF的解析式为yx3令x3x22x3，解得4111yx，3022yx点
12、Q2的坐标为1，4 综上所述，在抛物线yx22x3 上，使BCQ是以BC为直角边的直角三角形的点Q有两个，分别是：Q12，5和Q21，4 精选练习精选练习 1.如图，AB 为半圆的直径，点 P 为 AB 上一动点，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动到点 B，运动时间为t，分别以 AP 于 PB 为直径做半圆，那么图中阴影局部的面积 S 与时间 t 之间的函数图像大致为2 2如图，A、B是反比例函数kyxk0，x0图象上的两点，BCx轴，交y轴于点C。动点P从坐标原点O出发，沿OABC图中“所示路线匀速运动，终点为C。过P作PMx轴，PNy轴，垂足分别为M、N。设四边形OMPN的面积为
13、S，P点运动时间为t，那么S关于t的函数图象大致为ABOtSOtSOtSOtSCDyxBAOC图 4FQ2ABCNOMPxy第 2 题图.7/213.3.如图，四边形ABCD中，BAD=ACB=90，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，那么y与x之间的函数关系式是(第 3 题)ABCD4.4.如图，两条抛物线 y1=-212+1、y2=212-1 与分别经过点-2，0，2，0且平行于 y 轴的两条平行线围成的阴影局部的面积为5如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转 120，得到线段OB1求点B的坐标；2求经过A、O、
14、B三点的抛物线的解析式；3在2中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？假设存在，求出点C的坐标；假设不存在，请说明理由4如果点P是2中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？假设有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；假设没有，请说明理由AxyBO.8/216.如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点1求该抛物线的解析式；2设1中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，请说明理由；3在1中的抛物线上的第二象限是否存在一点P，使PBC的面积最大？，假设存在，求出点
15、P的坐标及PBC的面积最大值；假设不存在，请说明理由7如图，抛物线yax2bx4 与直线yx交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为1 和 41求此抛物线的解析式2假设平行于y轴的直线xm0m51与抛物线交于点M，与直线yx交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长用含m的代数式表示 3在2的条件下，连接OM、BM，是否存在m的值，使得BOM的面积S最大？假设存在，请求出m的值，假设不存在，请说明理由8二次函数yx2axa21求证：不管a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点；2设a0，当此函数图象与x轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式；3 假设此二次函数图象与x轴交于A、B两点，在
16、函数图象上是否存在点P，使得PAB的面积为2133？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，请说明理由OBACyxABMPONxyxmyx.9/219：t1，t2是方程t22t240，的两个实数根，且t1t2，抛物线y32x2bxc的图象经过点At1，0，B0，t2 1求这个抛物线的解析式；2设点Px，y是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求OPAQ的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围；3在2的条件下，当OPAQ的面积为 24 时，是否存在这样的点P，使OPAQ为正方形？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，说明理由10如图，抛物线yax2
17、bxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长OAOC是方程x25x40 的两个根，且抛物线的对称轴是直线x11求A、B、C三点的坐标；2求此抛物线的解析式；3假设点D是线段AB上的一个动点与点A、B不重合，过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值围S是否存在最大值？假设存在，求出最大值并求此时D点坐标；假设不存在，请说明理由11如图，在梯形ABCD中，DCAB，A90，AD6 厘米，DC4 厘米，BC的坡度i3:4动点P从A出发以 2 厘米/秒的速度沿AB
18、方向向点B运动，动点Q从点B出发以 3 厘米/秒的速度沿BCD方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为t秒1求边BC的长；2当t为何值时，PC与BQ相互平分；3连结PQ，设PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，求t为何值时，y有最大值？最大值是多少？BAOQPxyyxBDOAECCDABQP.10/2112如图，抛物线yax2bx3a0与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C1求抛物线的解析式；2设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐
19、标；假设不存在，请说明理由；3如图，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标13如图，抛物线ya(x1)233(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC1求该抛物线的解析式；2 假设动点P从点O出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为ts 问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？3假设OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿OC和
20、BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为ts，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长14如图，OAB是边长为 2 的等边三角形，过点A的直线y33xm与x轴交于点E1求点E的坐标；2求过A、O、E三点的抛物线解析式；3假设点P是2中求出的抛物线AE段上一动点不与A、E重合，设四边形OAPE的面积为S，求S的最大值OCABxyM图OCABxy图DCMyOABQPxyA.11/21AxyBOM15二次函数的图象经过A2，0、C(0，12)两点，且对称轴为直线x=4.设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B.1求二次函数的解析式及顶
21、点P的坐标；2如图 1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？假设存在，求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由；3如图 2，点M是线段OP上的一个动点O、P两点除外，以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MNx轴，交PB于点N.将PMN沿直线MN对折，得到P1MN.在动点M的运动过程中，设P1MN与梯形OMNB的重叠局部的面积为S，运动时间为t秒.求S关于t的函数关系式.二次函数中的面积计算问题二次函数中的面积计算问题参考答案参考答案1.D2.A3.252xy 4.85.解：1如图 1，过点B作BMx轴于M由旋转性质知OBOA2AOB120，BOM60OMO
22、Bcos602211，BMOBsin602233点B的坐标为(1，3)2设经过A、O、B三点的抛物线的解析式为yax2bxcOPCBAxy图 1图 2MOAxPNCBy.12/21抛物线过原点，c03024baba解得33233ba所求抛物线的解析式为y33x2332x3存在如图 2，连接AB，交抛物线的对称轴于点C，连接OCOB的长为定值，要使BOC的周长最小，必须BCOC的长最小点A与点O关于抛物线的对称轴对称，OCACBCOCBCACAB由“两点之间，线段最短的原理可知：此时BCOC最小，点C的位置即为所求设直线AB的解析式为ykxm，将A(2，0)，B(1，3)代入，得302mkmk解
23、得33233mk直线AB的解析式为y33x332抛物线的对称轴为直线x3323321，即x1将x1 代入直线AB的解析式，得y33(1)33233点C的坐标为(1，33)4PAB有最大面积如图 3，过点P作y轴的平行线交AB于点DSPABSPADSPBD21(yDyP)(xBxA)21(33x332)(33x2332x)(12)23x223x323(x21)2839AxyBO图 2CAxyBO图 3DP.13/21当x21时，PAB的面积有最大值，最大值为839此时yP33(21)2332(21)43此时P点的坐标为(21，43)6.解：1将A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc得0390
24、1cbcb解得32cb该抛物线的解析式为yx22x32存在该抛物线的对称轴为x)(1221抛物线交x轴于A、B两点，A、B两点关于抛物线的对称轴x1 对称由轴对称的性质可知，直线BC与x1 的交点即为所求的Q点，此时QAC的周长最小，如图 1将x0 代入yx22x3，得y3点C的坐标为(0，3)设直线BC的解析式为ykxb1，将B(3，0)，C(0，3)代入，得30311bbk解得311bk直线BC的解析式为yx3联立31xxy解得21yx点Q的坐标为(1，2)3存在设P点的坐标为x，x22x3 3x0，如图 2SPBCS四边形PBOCSBOCS四边形PBOC2133S四边形PBOC29当S四
25、边形PBOC有最大值时，SPBC就最大S四边形PBOCSRtPBES直角梯形PEOC21BEPE21(PEOC)OE21(x3)(x22x3)21(x22x33)(x)23(x23)229827OBACyxQ1x图 1OBACyxQ图 2EP.14/21当x23时，S四边形PBOC最大值为29827SPBC最大值2982729827当x23时，x22x3(23)22(23)3415点P的坐标为(23，415)7.解：1由题意知A1，1，B4，4，代入yax2bx4，得4441614 baba解得21 ba所求抛物线的解析式为yx22x4 3 分由xm和yx，得交点Nm，m同理可得Mm，m22m
26、4，Pm，0PN|m|，MP|m22m4|0m51MNMPPNmm22m4m23m43过B作BCMN于 C那么BC4m，OPmSSMONSBMN21MNOP21MNBC21MN(OPBC)2(m23m4)2(m23)222520当m23时，S有最大值8.解：1a24(a2)(a2)240不管a为何实数，此函数图象与x轴总有两个交点2设x1、x2是yx2axa20 的两个根那么x1x2a，x1x2a2此函数图象与x轴的两个交点的距离为13，(x1x2)213即(x1x2)24x1x213(a)24(a2)13，整理得(a1)(a5)0，解得a1 或a5a0，a1此二次函数的解析式为yx2x33设
27、点P的坐标为xp，yp函数图象与x轴的两个交点的距离为13，AB13ACBMPONxyxmyx.15/21SPAB21AB|yp|2133，即213|yp|2133|yp|3，yp3当yp3 时，xp2xp33，解得xp2 或xp3；当yp3 时，xp2xp33，解得xp0 或xp1综上所述，在函数图象上存在点P，使得PAB的面积为2133，P点坐标为：P12，3，P23，3，P30，3或P41，3 9.解：1由t22t240，解得t16，t24t1t2，A6，0，B0，4 抛物线y32x2bxc的图象经过点A，B两点4062 4ccb解得4314 cb这个抛物线的解析式为y32x2314x4
28、2点Px，y在抛物线上，且位于第三象限，y0，即y0又S2SAPO221|OA|y|OA|y|6|y|S6y分6(32x2314x4)4(x27x6)4(x27)225令y0，那么32x2314x40，解得x16，x21抛物线与x轴的交点坐标为6，0、1，0 x的取值围为6x13当S24 时，得4(x27)22524，解得：x14，x23代入抛物线的解析式得：y1y24点P的坐标为3，4、4，4 当点P为3，4时，满足POPA，此时，OPAQ是菱形当点P为4，4时，不满足POPA，此时，OPAQ不是菱形要使OPAQ为正方形，那么，一定有OAPQ，OAPQ，此时，点的坐标为3，3，而3，3不在抛
29、物线y32x2314x4 上，故不存在这样的点P，使OPAQ为正方形10解：1OA、OC的长是方程x25x40 的两个根，OAOCOA1，OC4点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴A1，0，C0，4.16/21抛物线yax2bxc的对称轴为x1由对称性可得B点坐标为3，0 A、B、C三点的坐标分别是：A1，0，B3，0，C0，4 2点C0，4在抛物线yax2bxc图象上，c4将A1，0，B3，0代入yax2bx4 得043904 baba解得3834 ba此抛物线的解析式为y34x238x43BDm，AD4m在 RtBOC中，BC2OB2OC2324225，BC5DEBC，ADEABCBCD
30、EABAD，即5DE44m DE4520m 过点E作EFAB于点F，那么 sinEDFsinCBABCOC54DEEF54，EF54DE544520m 4mSSCDESADCSADE21(4m)421(4m)(4m)21m22m21(m2)220m4 210当m2 时，S有最大值 2此时ODOBBD321此时D点坐标为1，0 11.解：1如图 1，过C作CEAB于点E，那么四边形AECD为矩形AECD4，CEDA6又i3:4，EBCE43EB8，AB12在 RtCEB中，由勾股定理得：BC22EBCE 102假设PC与BQ相互平分DCAB，四边形PBCQ是平行四边形此时Q在CD，如图 2CQB
31、P，即 3t10yxBDOAECFCDABQP图 1EF.17/21122t解得t522，即t522秒时，PC与BQ相互平分3当Q在BC上，即 0t310时如图 1，过Q作QFAB于点F，那么CEQFCEQFBCBQ，即6QF103t，QF59tSPBQ21PBQF21(122t)59t59t2554t即y59t2554ty59t2554t59(t3)2581当t3 秒时，y有最大值为581厘米2当Q在CD上，即310t314时SPBQ21PBCE21(122t)6366t即y366t此时y随t的增大而减小故当t310秒时，y有最大值为 36631016 厘米2综合，得y与t的函数关系式如下：
32、y366554592ttt58116，当t3 秒时，y有最大值为581厘米212 解：1由题意得033903 baba解得21 ba所求抛物线的解析式为yx22x3；2存在符合条件的点P，其坐标为P(1，10)或P(1，10)或P(1，6)或P(1，35)；3解法一：过点E作EFx轴于点F，设E(m，m22m3)3a0那么EFm22m3，BFm3，OFm310t3140t310CDABQP图 2EFOCABxy.18/21S四边形BOCESBEFS梯形FOCE21BFEF21(EFOC)OF21(m3)(m22m3)21(m22m6)(m)9 分23m229m2923(m23)2863当m23
33、时，S四边形BOCE最大，且最大值为863此时y(23)22(23)3415此时E点的坐标为(23，415)解法二：过点E作EFx轴于点F，设E(x，y)3x0那么S四边形BOCESBEFS梯形FOCE21BFEF21(EFOC)OF21(3x)y21(3y)(x)23(yx)23(x23x3)23(x23)2863当x23时，S四边形BOCE最大，且最大值为863此时y(23)22(23)3415此时E点的坐标为(23，415)13 解：1把A(2，0)代入ya(x1)233，得 0a(21)233a33该抛物线的解析式为y33(x1)233即y33x2332x3382设点D的坐标为(xD，
34、yD)，由于D为抛物线的顶点xD)(3323321，yD3312332133833点D的坐标为(1，33)如图，过点D作DNx轴于N，那么DN33，AN3，AD22333)(6DAO60OMAD当ADOP时，四边形DAOP为平行四边形OP6DCMyAEPx.19/21t6s当DPOM时，四边形DAOP为直角梯形过点O作OEAD轴于E在 RtAOE中，AO2，EAO60，AE1注：也可通过 RtAOERtAND求出AE1四边形DEOP为矩形，OPDE615t5s当PDOA时，四边形DAOP为等腰梯形，此时OPAD2AE624t4s综上所述，当t6s、5s、4s时，四边形DAOP分别为平行四边形、
35、直角梯形、等腰梯形3DAO60，OMAD，COB60又OCOB，COB是等边三角形，OBOCAD6BQ2t，OQ62t0t3过点P作PFx轴于F，那么PF23tS四边形BCPQSCOBSPOQ2163321(62t)23t23(t23)28363当t23s时，S四边形BCPQ的最小值为8363此时OQ62t62233，OP23，OF43，QF34349，PF433PQ22QFPF 2249433)()(23314.解：1过点A作AFx轴于F那么OFOAcos602211，AFOAsin602233A(1，3)代入直线解析式，得m1333，m334y33x334令y0，得33x3340，x4E(
36、4，0)2设过A、O、E三点的抛物线解析式为yax2bxc抛物线过原点，c0yxBAOEFGP.20/2104163baba解得33433ba所求抛物线的解析式为y33x2334x3过点P作PGx轴于G，设P(x0，y0)SPGEAFGPAOFSSS梯形2)4(2)1)(3(230000yxxy21(3x03y0)21(-3x0235x0)23(x025)23825当x025时，S最大382515.解：二次函数的解析式为y=x28x+122 分点P的坐标为4，4 3 分2存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形.理由如下：当y=0 时，x2-8x+12=0 x1=2，x2=6点B的坐标为6，0设直
37、线BP的解析式为y=kx+m直线BP的解析式为y=2x12直线ODBP4 分顶点坐标P4，4OP=42设D(x，2x)那么BD2=2x2+(6x)2当BD=OP时，2x2+(6x)2=32解得：x1=52，x2=26 分当x2=2 时，OD=BP=52，四边形OPBD为平行四边形，舍去当x=52时四边形OPBD为等腰梯形 7 分当D(52，54)时，四边形OPBD为等腰梯形8 分3 当 0t2 时，运动速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，那么MP=2tPH=t，MH=t，HN=21tMN=23tS=23tt21=43t210 分 当 2t4 时，P1G=2t4，P1H=txP1MAOBCPNyHxP1MAOBCPNGHEFyDxAOBCPy.21/21MNOBEFP1MNP1211)(11HPGPSSMNPEFP22)42(431tttSEFPEFPS1=3t212t+12S=43t2(3t212t+12)=49t2+12t12当 0t2 时，S=43t2当 2t4 时，S=49t2+12t12 12 分