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1、第四章导热问题的数值解法第四章导热问题的数值解法4-0 引言引言1求解导热问题的三种基本方法求解导热问题的三种基本方法：(1)理论分析法；理论分析法；(2)数数值计算值计算 法；法；(3)实验法实验法 2三种方法的基本求解过程三种方法的基本求解过程3 (1)所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直所谓理论分析方法，就是在理论分析的基础上，直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的接对微分方程在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解；解称之为分析解，或叫理论解；4 (2)数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的
2、场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一场，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；点上被求物理量的值；并称之为数值解；2第四章导热问题的数值解法 (3)实验法实验法 就是在传热学基本理论的指导下，采用对所就是在传热学基本理论的指导下，采用对所 研究对象的传热过程所求量的方法研究对象的传热过程所求量的方法3 三种方法的特点三种方法的特点 (1)分析法分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提能获得所研究问题的精确解，可以为实验
3、和数值计算提供比较依据；供比较依据；b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；局限性很大，对复杂的问题无法求解；c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 3第四章导热问题的数值解法(2)数值法数值法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实 验法相比成本低验法相比成本低(3)实验法实验法:是传热学的基本研究方法，是传热学的基本研究方法，a 适应性不好；适应性不好；b 费用昂贵费用昂贵数值解法：数值解法：有限差分法（有限差分法（finite-
4、difference）、）、有限元法（有限元法（finite-element）、边界元法（边界元法（boundary-element）、）、分子动力学模拟（分子动力学模拟（MD）4第四章导热问题的数值解法4-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立及内部节点离散方程的建立1 物物理理问问题题的的数数值值求求解解过过程程建立控制方程及定解条件建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值设立温度场的迭代初值求解代数方程求解代数方程是否收敛是否收敛解的分析解的分析改进初
5、场改进初场是是否否5第四章导热问题的数值解法实现过程：实现过程：以二维矩形区域为例，所谓区域离散化，就是将研究区域分解成有限数量的小区域（单元），单元的顶点（或中心点）称作节节节节点（结点），点（结点），点（结点），点（结点），每个节点都有自己的控制区域，称作控制体（控制容积）控制体（控制容积）控制体（控制容积）控制体（控制容积），控制体内所有特性都是均匀的，节点的温度代表每个控制体的1 1 区域离散化区域离散化温度。节点之间的距离称为空间步长。空间步长。空间步长。空间步长。节点之间的连线称为网格线，网格线，网格线，网格线，控制容积的分界面称为界面界面界面界面节点的表示方法：（m，n）横坐标节
6、点编号纵坐标节点编号xynm(m,n)MN6第四章导热问题的数值解法二维矩形域内二维矩形域内稳态无内热源，稳态无内热源，常物性的导热常物性的导热问题问题2 例题条件例题条件7第四章导热问题的数值解法xynm(m,n)MN3 基本概念：控制容积（元体）、网格线、节点、界面线、基本概念：控制容积（元体）、网格线、节点、界面线、步长步长二维矩形二维矩形域内稳态域内稳态无内热源，无内热源，常物性的常物性的导热问题导热问题8第四章导热问题的数值解法4 建立离散方程的常用方法：建立离散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）级数展开法；泰勒）级数展开法；(2)多项式拟合法；多项式拟合法；(3)控制容积积
7、分法；控制容积积分法；(4)控制容积平衡法控制容积平衡法(也称为热平衡法也称为热平衡法)9第四章导热问题的数值解法(1)泰勒级数展开法泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点根据泰勒级数展开式，用节点(m,nm,n)的温度的温度t tm,nm,n来表示节点来表示节点(m+1,nm+1,n)而温度而温度t tm+1,nm+1,n用节点用节点(m,nm,n)的温度的温度t tm,nm,n 来表示节点来表示节点(m-1,n)(m-1,n)的的温度温度t tm-1,nm-1,n4-2内节点离散方程的建立方法(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)10第四章导热问题的数值解法若
8、取上面式右边的前三项，并将式若取上面式右边的前三项，并将式和式和式相加相加移项整理即得二阶导数的中心差分：移项整理即得二阶导数的中心差分：同样可得：同样可得：截断误差截断误差未明确写出的级数余项未明确写出的级数余项中的中的X X的最低阶数为的最低阶数为2 2(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)11第四章导热问题的数值解法 对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热微分方程为：微分方程为：其节点方程为：其节点方程为：(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)12第四章导热问题的数值解法(2)控制容积平
9、衡法控制容积平衡法(热平衡法热平衡法)基本思想：基本思想：对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和律出发，不必事先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。导热定律即可。能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热能量守恒：流入控制体的总热流量控制体内热源生成热 流出控制体的总热流量控制体内能的增量流出控制体的总热流量控制体内能的增量即：即：单位：单位：13第四章导热问题的数值解法即：从所有方向
10、流入控制体的总热流量即：从所有方向流入控制体的总热流量 控制体内热源生成热控制体内热源生成热 控制体内能的增量控制体内能的增量注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用14第四章导热问题的数值解法稳态、无内热源时：稳态、无内热源时：从所有方向流入控制体的总热流量从所有方向流入控制体的总热流量0内部节点：内部节点：(m,n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1)x x y y(m,n+1)15第四章导热问题的数值解法以二维、稳态、有内热源的导热问题为例以二维、稳态、有内热源的导热问题为例此时：此时：可见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道可
11、见：当温度场还没有求出来之前，我们并不知道所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们所以，必须假设相邻节点间的温度分布形式，这里我们假定温度呈分段线性分布，如下图所示假定温度呈分段线性分布，如下图所示16第四章导热问题的数值解法(m-1,n)(m,n)(m+1,n)tm,ntm-1,ntm+1,n可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。可见，节点越多，假设的分段线性分布越接近真实的温度布。此时：此时：内热源：内热源：m,n+1)(m,n-1)(m+1,n)(m-1,n)17第四章导热问题的数值解法时：时：(m,n)(m,n+1)(m+1,n)(m,n-1)(m-1,n)18
12、第四章导热问题的数值解法重要说明：重要说明：所求节点的温度前的系数一定等于其他所求节点的温度前的系数一定等于其他所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用所有相邻节点温度前的系数之和。这一结论也适用于边界节点。但这里不包括热流于边界节点。但这里不包括热流(或热流密度或热流密度)前的前的系数。系数。无内热源时变为：无内热源时变为：19第四章导热问题的数值解法4-2 4-2 边界节点离散方程的建立及代数边界节点离散方程的建立及代数 方程的求解方程的求解对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为对于第一类边界条件的热传导问题，处理比较简单，因为已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点
13、的离已知边界的温度，可将其以数值的形式加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，而对于第二类边界条件或第三类边界条件的热传导问题，就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界就必须用热平衡的方法，建立边界节点的离散方程，边界节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才节点与内节点的离散方程一起组成封闭的代数方程组，才能求解。能求解。为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界为了求解方便，这里我们将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用条件合并起来考虑，用qw表
14、示边界上的热流密度或热流表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用密度表达式。用 表示内热源强度。表示内热源强度。20第四章导热问题的数值解法1.1.边界节点离散方程的建立：边界节点离散方程的建立：qwxyqw(1)平直边界上的节点平直边界上的节点21第四章导热问题的数值解法(2)外部角点外部角点xyqw22第四章导热问题的数值解法(3)内部角点内部角点xyqw23第四章导热问题的数值解法讨论讨论 qw的情况：的情况：(1)第二类边界条件：将第二类边界条件：将 ，带入上面各式即可，带入上面各式即可 绝热或对称边界条件？绝热或对称边界条件？(2)第三类边界条件：将第三类边界条件：将 ，带入上面各式
15、，带入上面各式(3)即可即可 课堂作业：将课堂作业：将 带入外部角点的温带入外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式度离散方程，并化简到最后的形式(3)qw值不为零值不为零或其他辐射边界条件或其他辐射边界条件24第四章导热问题的数值解法课堂作业：针对二维矩形区域内的稳态、无内热源导热问题，外部与温度为tf 的流体对流换热，换热系数为h，请建立外部角点的温度离散方程，并化简到最后的形式In-Class Problems25第四章导热问题的数值解法Quick Review1、导热数值解法的重要意义2、导热数值解法的基本思想3、网格划分（区域离散）的过程及涉及的基本概念4、代数方程（离散方程）的建
16、立方法和过程26第四章导热问题的数值解法4-2 代数方程组的求解代数方程组的求解一维无限大平板、稳态、常物性、无内热源、左侧第一类边条，右侧第三类，如右图所示，将其均匀分成三个控制体，试建立离散方程边界节点1234twth内部节点内部节点边界节点27第四章导热问题的数值解法形成如下代数方程组：代数方程组的通用形式为：28第四章导热问题的数值解法2.2.节点方程组的求解节点方程组的求解写出所有内节点和边界节点的温度差分方程写出所有内节点和边界节点的温度差分方程n个未知节点温度，个未知节点温度，n个代数方程式：个代数方程式：代数方程组的求解方法：代数方程组的求解方法：直接解法、迭代解法直接解法、迭
17、代解法29第四章导热问题的数值解法直接解法：直接解法：通过有限次运算获得代数方程精确解通过有限次运算获得代数方程精确解;矩阵求逆、高斯消元法矩阵求逆、高斯消元法迭代解法：迭代解法：先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不先对要计算的场作出假设、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差小于允许值。称迭代计算已经收敛。称迭代计算已经收敛。缺点：缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的系数不问题（若物性为温度的函数，节点温
18、度差分方程中的系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）地不断更新）迭代解法有多种：迭代解法有多种：简单迭代（简单迭代（Jacobi迭代）、高斯迭代）、高斯-赛德尔赛德尔迭代、块迭代、交替方向迭代等迭代、块迭代、交替方向迭代等高斯高斯-赛德尔迭代的特点：赛德尔迭代的特点：每次迭代时总是使用节点温度的最每次迭代时总是使用节点温度的最新值新值30第四章导热问题的数值解法在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）在计算后面的节点温度时应按下式（采用最新值）例如：根据第例如：根据第 k 次迭代的数值次迭代的数值可以求得节
19、点温度：可以求得节点温度：31第四章导热问题的数值解法判断迭代是否收敛的准则：判断迭代是否收敛的准则：k及及k+1表示迭代次数；表示迭代次数；第第k次迭代得到的最大值次迭代得到的最大值当有接近于零的当有接近于零的t 时，第三个较好时，第三个较好32第四章导热问题的数值解法判断迭代能否收敛的判据：判断迭代能否收敛的判据：对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值之和，此时用迭代法求解代数方程一定收敛对角占优。33第四章导热问题的数值解法对角占优判断迭代收敛的判据判断迭代收敛的判据34第四章导热问题的数值解法图图中中给给出了二
20、出了二维维、稳态稳态、常物性条件下、常物性条件下导热问题导热问题的部分的部分离散网格，离散网格，x=y，环境温度环境温度tf ，对流换热系数，对流换热系数h，导，导热系数热系数，均匀分布的内热源为，均匀分布的内热源为 。参考图中给定符号，。参考图中给定符号，推导节点（推导节点（m，n）的离散方程。）的离散方程。(m,n)(m-1,n)(m+1,n)tf hxy(m,n+1)(m,n-1)In-Class Problems35第四章导热问题的数值解法4-3 4-3 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法非非稳稳态态导导热热与与稳稳态态导导热热的的主主要要区区别别：温温度度不不仅仅随随空
21、空间间变变化化，还还随随时间变化，控制方程中多一个非稳态项时间变化，控制方程中多一个非稳态项非稳态项非稳态项热源项热源项？能量平衡特点：能量平衡特点：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的导入或导出，的导入或导出，单元本身的热力学能也随时间发生变化单元本身的热力学能也随时间发生变化下面我们直接用一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题下面我们直接用一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题为例给出非稳态项的处理方法为例给出非稳态项的处理方法扩散项扩散项36第四章导热问题的数值解法一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方
22、程的建立过程离散方程的建立过程空间和时间的离散化空间和时间的离散化时间步长：从一个时层到下一个时层的间隔时间步长：从一个时层到下一个时层的间隔 称为时间步长称为时间步长x m-1,m,m+1 Mi+10ii-1(m+1,i(m+1,i)(m-1,i)(m-1,i)(m,i)(m,i+1(m,i+1)(m,i-1)(m,i-1)xm-1,m,m+1 M0m+1m+1mmm-1m-1表示形式表示形式37第四章导热问题的数值解法一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方程的建立过程一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方程的建立过程Taylor Taylor 展开法展开法以以(m,i)点为例，
23、首先考察非稳态项：点为例，首先考察非稳态项：向前差分向前差分向后差分向后差分中心差分中心差分 i i+1 i-138第四章导热问题的数值解法热平衡法热平衡法1 假设温度分布线型 温度的阶梯型分布如右图所示，即温度的分布是跳跃的，并不是连续的。t 阶梯分布首先考察左下角的分布形式，则非稳态项扩散项：t 阶梯分布显示格式39第四章导热问题的数值解法xi+1im m+1m-1源项：非稳态项：扩散项：守恒方程：离散方程：以网格尺寸 为特征尺度的Fourier 数显式格式t 阶梯分布显示格式40第四章导热问题的数值解法非稳态项：扩散项：源项：守恒方程：离散方程：xi+1im m+1m-1t阶梯分布隐式格
24、式41第四章导热问题的数值解法显式隐式非稳态导热差分方程的稳定性条件：(1)主对角占优;(2)的系数必须大于或等于零.两种差分格式的特点：方程数较少时，显式差分格式计算速度快，但对时间步长和空间步长有限制，如果 和 取得不好，很有可能导致计算结果发散，这是由于隐式差分格式则没有这类稳定性的问题42第四章导热问题的数值解法用热平衡法建立边界节点的离散方程用热平衡法建立边界节点的离散方程边界节点也有显式格式和隐式格式，下面只针对显式格式，考察一无限大平板，其右侧面为第三类边界条件，针对边界节点，建立其离散方程43第四章导热问题的数值解法44第四章导热问题的数值解法稳定性条件：稳定性条件：内节点的稳
25、定性条件：内节点的稳定性条件：所以，边界节点的稳定性条件比内节点的要苛刻所以，边界节点的稳定性条件比内节点的要苛刻对于绝热边界条件对于绝热边界条件,可令边界上的对流换热量为零可令边界上的对流换热量为零即令 于是，上面方程变为：45第四章导热问题的数值解法作业：作业：4-10，4-15说明：说明：4-15：只列出：只列出1，2，4三个节点的离散三个节点的离散方程即可，无需化简，也不用求解方程即可，无需化简，也不用求解46第四章导热问题的数值解法（1）推导节点3的隐式格式的离散方程（2）右侧绝热时，推导节点4的离散方程In-Class Problems如下图所示，内热源为常数，OxDxD2341X
26、47第四章导热问题的数值解法思考题：思考题：1.1.节点的概念节点的概念.2.2.向前差分向前差分,先后差分先后差分,中心差分的概念中心差分的概念.3.3.利用能量守恒定律和傅立叶定律利用能量守恒定律和傅立叶定律,推导内点和边界推导内点和边界.点离散方程的基本方法点离散方程的基本方法.4.4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起,不计接触不计接触 热阻热阻,如何推导接触面上节点离散方程如何推导接触面上节点离散方程.5.5.显式差分方程及稳定性判据显式差分方程及稳定性判据.6.6.显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别显式差分方程和隐式差分方程在求解时的差别.48第四章导热问题的数值解法49第四章导热问题的数值解法50第四章导热问题的数值解法51第四章导热问题的数值解法52第四章导热问题的数值解法53第四章导热问题的数值解法54第四章导热问题的数值解法55第四章导热问题的数值解法