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1、主要内容主要内容(1 1）什么是灰色系统？）什么是灰色系统？（2 2）灰色系统理论的应用范畴？）灰色系统理论的应用范畴？（3 3）灰色系统的分析方法）灰色系统的分析方法关联分析关联分析（4 4）生成数生成数的生成方法的生成方法（5 5）如何建立灰色系统如何建立灰色系统GMGM（1,11,1）模型？模型？（6 6）如何利用灰色系统实现预测？）如何利用灰色系统实现预测？什么是灰色系统？什么是灰色系统？从信息的完从信息的完备备性与模型的构建上看，工程技性与模型的构建上看，工程技术术等系等系统统具有具有较较充足的信息量，其充足的信息量，其发发展展变变化化规规律明律明显显，定量描述，定量描述较较方便，方
2、便，结结构与参数构与参数较较具体，人具体，人们们称之称之为为白色系白色系统统；一个系一个系统统的内部特性的内部特性全部未知，全部未知，则则称之称之为为黑色系黑色系统统。对对另一另一类类系系统诸统诸如社会系如社会系统统、农业农业系系统统、生、生态态系系统统等，人等，人们们无法建立客无法建立客观观的物理原型，其作的物理原型，其作用原理亦不明确，内部因素用原理亦不明确，内部因素难难以辨以辨识识或之或之间间关系关系隐隐蔽，人蔽，人们们很很难难准确了解准确了解这类这类系系统统的行的行为为特征，因此特征，因此对对其定量描述其定量描述难难度度较较大，大，带带来建立模型的困来建立模型的困难难。这类这类系系统统
3、称之称之为为灰色系灰色系统统。灰色系灰色系统统理理论论就是研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，就是研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何如何对实际问题进对实际问题进行分析和解决。行分析和解决。区区别别白色系白色系统统与灰色系与灰色系统统的重要的重要标标志是系志是系统统内各因素之内各因素之间间是否具有确定关系是否具有确定关系。运运动动学中物体运学中物体运动动的速度、加速度与其所的速度、加速度与其所受到的外力有关，其关系可用牛受到的外力有关，其关系可用牛顿顿定律以明确的定量来定律以明确的定量来阐阐明，明，因此，物体的运因此，物体的运动动便是一个白色系便是一个白色系统统。当然，当然，白、灰、黑是相白、
4、灰、黑是相对对于一定的于一定的认识层认识层次而言的，因而次而言的，因而具有相具有相对对性性。某人有一。某人有一 天去他朋友家做客，天去他朋友家做客，发现发现当外面的汽当外面的汽车车开开过过来来时时，他朋友家的狗就，他朋友家的狗就躲躲到屋角里瑟瑟到屋角里瑟瑟发发抖。抖。他他对对此莫名此莫名其妙。但其妙。但对对他朋友来他朋友来讲讲，狗的，狗的这这种行种行为为是可以理解的，因是可以理解的，因为为他他知道，狗在前不久曾被汽知道，狗在前不久曾被汽车车撞撞伤过伤过。显显然，同然，同样对样对于于“狗的惧怕狗的惧怕行行为为”，客人因不知内情而面，客人因不知内情而面临临一个一个 黑箱，而主人黑箱，而主人则则面面
5、临临一个一个灰箱。灰箱。灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：（1 1）灰色关联分析；）灰色关联分析；（2 2）灰色预测灰色预测：人口预测；初霜预测；：人口预测；初霜预测；灾变预测灾变预测.等等；等等；（3 3）灰色决策；）灰色决策；（4 4）灰色预测控制。）灰色预测控制。灰色系统理论的应用范畴？灰色系统理论的应用范畴？灰色系统的分析方法？灰色系统的分析方法？进行关联分析进行关联分析 客客观观世世界界中中的的事事物物往往往往现现象象复复杂杂，因因素素繁繁多多。我我们们往往往往需需要要对对系系统统进进行行因因素素分分析析，这这些些因因素素中中哪哪些些对对系系
6、统统来来讲讲是是主主要要的的，哪哪些些是是次次要要的的，哪哪些些需需要要发发展展，哪哪些些需需要要抑抑制制，哪哪些些是是潜潜在在的的，哪哪些些是是明明显显的的。一一般般来来讲讲，这这些些都都是是我我们们极极为为关关心心的的问问题题。事事实实上上，因因素素间间关关联联性性如如何何、关关联联程程度度如如何何量量化化等等问问题题是是系系统统分分析析的关键和起点。的关键和起点。因因素素分分析析的的基基本本方方法法过过去去主主要要采采取取回回归归分分析析等等办办法法，但但是是这这种种方方法法需需要要大大量量数数据据作作为为基基础础，计计算算量量大大。而而灰灰色色系系统统理理论论采采用用的的关关联联分分析
7、析方方法法可可以以克克服服这这个个弊弊端。端。灰灰色色系系统统理理论论进进行行关关联联分分析析的的两两种种方方法法：一一 根根据数据的据数据的几何关系分析法几何关系分析法；二；二 利用利用关联公式分析法关联公式分析法生成数的生成方法生成数的生成方法生成方法生成方法应用相关应用相关公式公式一次累加时间一次累减时间均值生成时间+其他问题引入问题引入某地区最近17年来年度平均降雨量数据（单位：mm）序列为：X=(390.6，412.0，320.0，559.2，380.8，542.4，553.0，310.0，561.0，300.0，632.0，540.0，406.2，313.8，576.0，586.6
8、，318.5)如果将年平均降雨量低于320mm时认为旱灾发生，试根据上述数据预测下一次旱灾发生在几年后？如何建立灰色系统如何建立灰色系统 GMGM（1 1，1 1）模型？模型？GM(1,1)模型G表示grey（灰色）M表示model（模型）GM（1，1）表示1阶的、1个变量的模型。设 其中 则称 为GM(1,1)模型的基本形式。定义定义1.1定理定理1.1 设有非负序列：为 的1-AGO（即一次累加）序列：其中 ；为 的紧邻均 值生成序列：其中 若 为参数列，且 则GM(1,1)模型 的最小二乘估计参数列满足 定义定义1.2设 为非负序列，为 的1-AGO（即一次累加）序列，为 的紧邻均值生成
9、序列，则称微分方程 为（，）模型（灰色方程）的 白化方程，也叫影子方程。定理定理.2设 如定理1.1中所述，其中 ,则.白化方程 的解（也称时间响应函数）为.GM(1,1)模型 的时间响应序列为.还原值2.例题 设有原始数据序列 X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5)=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)试用GM(1,1)模型对X0进行模拟第一步第一步：对X0作 1-AGO，得 X1=(X1(1),X1(2),X1(3),X1(4),X1(5)=(2.874,6.152,9.489,12.897,16.558 )第二步：第二步：对X1作紧邻
10、均值生成。令得Z1=(Z1(2),Z1(3),Z1(4),Z1(5)=(4.513,7.820,11.184,14.718 )可得B,Y第三步：第三步：对参数列 进行最小二乘估计，得 =-0.0372 3.06536第四步：第四步：确定模型为时间响应式为第六步第六步：还原出 的模拟值，由得对比原数据 X0=(x0(1),x0(2),x0(3),x0(4),x0(5)=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679 )第五步第五步：求X1的模拟值如何利用灰色系统如何利用灰色系统实现预测？实现预测？灰色预测是指灰色预测是指利用利用 GM 模型模型对系统行为特征的对系统行为特征的发发展
11、变化规律展变化规律进行进行估计预测估计预测，同时也可以对行为特征的，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将这些工作实质上是将“随机过程随机过程”当作当作“灰色过灰色过程程”，“随机变量随机变量”当作当作“灰变量灰变量”，并主要以灰色，并主要以灰色系统理论中的系统理论中的GM(1,1)模型模型来进行来进行处理处理。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领
12、域中都有广泛的应用。特别是环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据依据目前已有的数据对对未来的发展趋势未来的发展趋势做出做出预测分析预测分析。灰色预测的步骤1.数据的检验与处理 首先，为了保证建模方法的可行性，需要对已知数据序列做必要的检验处理。2.建立模型 按照上节的方法建立灰色模型GM(1,1),则可以得到预测值3检验预测值4预测预报 由模型 GM(1,1)所得到的指定时区内的预测值，根据实际问题的需要，给出相应的预测预报。定义 设原始数据序列 相应的预测模型模拟序列:残差序列:相对误差序列:灰色灾害预测应用灰色灾害预测实质上是异常值预测，什么样的值算作异常值，往往
13、是人们凭经验主观确定。灰色灾害预测的任务是给出下一个或几个异常值出现的时刻，以便人们提前准备，采取对策。定义：设原始序列 X=(x(1),x(2),x(n)，给定上限异常值（灾变值）a,称X的子序列 Xa(x(q(1),x(q(2),x(q(m)=x(q(i)=a,i=1,2,m 为上灾变序列。同理，可定义下灾变序列。二者统一称为灾变序列。定义：设X为原始序列，称 Q0=(q(1),q(2),q(m)为灾变日期序列。灾变预测就是要通过对灾变日期序列的研究，寻找其规律性，预测以后若干次灾变发生的日期，灰色系统的灾变预测是通过对灾变日期序列建立GM(1,1)模型实现的。例 某地区最近17年来的年度
14、平均降雨量数据（单位：mm）序列为X=(390.6,412.0,320.0,559.2,380.8,542.4,553.0,310.0,561.0,300.0,632.0,540.0,406.2,313.8,576.0,586.6,318.5)如果将年平均降雨量低于320mm时认为旱灾发生，试根据上述数据预测下一次旱灾发生在几年后？解：取灾变值为a=320,得下限灾变序列为Xa=(x(3),x(8),x(10),x(14),x(17)=(320.0,310.0,300.0,313.8,318.5)与之对应的灾变日期序列为Q0=(q(1),q(2),q(3),q(4),q(5)=(3,8,10,
15、14,17 )其1-AGO序列为 Q1=(3,11,21,35,52)的紧邻均值生成序列为 Z1=(7,16,28,43.5)设q(k)+az1(k)=b,易知B,Y,由最小二乘法得a,b=-0.253661 6.258339故灾变日期序列的GM(1,1)序号响应式为即由此可得Q0的模拟序列为由得残差序列为再由相对误差序列由此可计算出平均相对误差为平均相对精度为1-=97.81%，故可用进行预测，即从最近一次旱灾发生的日期算起，5年以后，可能发生旱灾。为了提高预测的可靠程度，可以取若干个不同的异常值，建立多个模型进行预测。计算的 MATLAB 程序如下：clc,cleara=390.6,412
16、,320,559.2,380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5;t0=find(a=320);t1=cumsum(t0);n=length(t1);B=-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end),ones(n-1,1);Y=t0(2:end);r=BYy=dsolve(Dy+a*y=b,y(0)=y0);y=subs(y,a,b,y0,r(1),r(2),t1(1);yuce1=subs(y,t,0:n+1)digits(6),y=vpa(y)%为提高预测精度，先计算预测值，再显示微分方程的解yuce=diff(yuce1);yuce=t0(1),yuce