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1、灰色系统理论与建模灰色系统理论与建模主讲:门可佩2008.03.18灰色系统理论基础灰色系统理论基础l19821982年年，中中国国学学者者邓邓聚聚龙龙教教授授创创立立的的灰灰色色系系统统理理论论，是是一一种种研研究究少少数数据据、贫贫信信息息不不确确定定问问题题的的新新方方法法。灰灰色色系系统统理理论论以以“部部分分信信息息已已知知、部部分分信信息息未未知知”的的“小小样样本本”、“贫贫信信息息”不不确确定定系系统统为为研研究究对对象象，主主要要通通过过对对部部分分已已知知信信息息的的生生成成、开开发发，提提取取有有价价值值的的信信息息、实实现现对对系系统统运运行行行行为为、演演化化规规律律
2、的的正正确确描描述述和和有有效效监监控控。灰灰色色系系统统模模型型对对实实验验观观测测数数据据没没有有什什么么特特别别的要求和限制，因此应用领域十分宽广。的要求和限制，因此应用领域十分宽广。GM(1,1)模型的一般过程模型的一般过程1.累加生成。设累加生成。设 为原始序列为原始序列 对对 进行一次累加生成，得生成序列进行一次累加生成，得生成序列其中其中,GM(1,1)模型的一般过程模型的一般过程2.建模。建模。由由 构造背景值序列构造背景值序列其中，其中，一般取一般取=0.5,建立白化方程建立白化方程(影子方程影子方程)为为 称之为称之为GM(1,1)模型的原始形式模型的原始形式GM(1,1)
3、模型的一般过程模型的一般过程这里，符号这里，符号GM(1,1)的含义如下：的含义如下：G M （1，1）Grey Model 1阶方程阶方程 1个变量个变量 将上式离散化，微分变差分，得到将上式离散化，微分变差分，得到GM(1,1)微微分方程如下：分方程如下：称之为称之为GM(1,1)模型的基本形式。模型的基本形式。GM(1,1)模型的一般过程模型的一般过程 其中其中a,ba,b为待定系数，分别称之为发展系数和灰色为待定系数，分别称之为发展系数和灰色作量作量,a,a的有效区间是的有效区间是(-2,1)(-2,1)。3.3.求解参数。求解参数。应用最小二乘法可经下式得：应用最小二乘法可经下式得：
4、其中其中,GM(1,1)模型的一般过程模型的一般过程4.建立预测公式建立预测公式GM(1,1)模型的一般过程模型的一般过程5.检验模型检验模型求出求出 与与 之相对误差之相对误差 ，残差，残差求出原始数据平均值求出原始数据平均值 ,残差平均值残差平均值 :GM(1,1)模型的一般过程模型的一般过程l求出原始数据方差求出原始数据方差 与残差方差与残差方差 的均方差比值的均方差比值C和小误差概率和小误差概率p:l当当 ，时，模型精度时，模型精度为一级。当发展系数为一级。当发展系数 时时,则所建则所建GM(1,1)模型则可用于中长期预测。模型则可用于中长期预测。GM(1,1)模型的一般过程模型的一般
5、过程 精度检验等级参照表精度检验等级参照表相对误差相对误差 关联度关联度均方差比值均方差比值小误差概率小误差概率一级一级二级二级三级三级四级四级0.010.010.050.050.100.100.200.200.900.900.800.800.700.700.600.600.350.350.500.500.650.650.800.800.950.950.800.800.700.700.600.60例题例题 设原始序列为：设原始序列为：试用试用GM(1,1)模型对模型对 进行模拟。进行模拟。第一步第一步对对 作一阶累加作一阶累加第二步第二步对对 作紧邻均值生成。令作紧邻均值生成。令得得于是，第三
6、步第三步对参数列对参数列 进行最小二乘估计。进行最小二乘估计。得得第四步第四步确定模型确定模型及时间相应式及时间相应式第五步第五步求求 的模拟值的模拟值第六步第六步还原求出还原求出 的模拟值的模拟值得得第七步第七步检验误差。检验误差。残差平方和残差平方和平均相对误差平均相对误差 误差检验表误差检验表序号序号实际数据实际数据模拟数据模拟数据残差残差相对误差相对误差12343.2783.3373.3903.6793.2303.35453.48173.61360.0460-0.0175-0.09170.06541.40%0.52%2.71%1.78%残差修正残差修正GM(1,1)若用若用 修正修正
7、则称修正后的时间响应式则称修正后的时间响应式为残差修正为残差修正GM(1,1)模型，简称残差模型，简称残差GM(1,1)新陈代谢新陈代谢GM(1,1)设原始序列为：设原始序列为：设设 为最新信息，置入最新信息，去掉最老信为最新信息，置入最新信息，去掉最老信息息 ，称用，称用 建立的模型为新陈代谢建立的模型为新陈代谢GM(1,1)GM(1，1)模型的变换模型的变换1.GM增量模型增量模型 对原始据时间序列采用特殊的预处理，即先进行一累对原始据时间序列采用特殊的预处理，即先进行一累减算子运算，分离出增量部分减算子运算，分离出增量部分 再对增量序列建立普通再对增量序列建立普通GM(1,1)预测模型，
8、最后再经预测模型，最后再经 式式 还原成总量。我们称经过还原成总量。我们称经过 这种变换的模型为灰色增量这种变换的模型为灰色增量模型模型(IGM模型模型)。2.新初值新初值GM模型模型以以 为初始条件的为初始条件的GM模型模型 根据灰色系统理论的新信息优先原理，把根据灰色系统理论的新信息优先原理，把 的第的第n个分量作为灰色微分模型的初始条件，可以个分量作为灰色微分模型的初始条件，可以使模型精度有所提高。灰色微分方程使模型精度有所提高。灰色微分方程 的时间响应的时间响应函数为函数为 还原值还原值3.离散离散GM模型模型称为称为离散离散GM(1,1)模型，即模型，即DGM(1,1)模型。模型。时
9、间响应函数：时间响应函数：这里，这里，还原值还原值 DGM(1,1)模型是灰色预测模型的一种新形式，可模型是灰色预测模型的一种新形式，可以全面解释原以全面解释原GM(1,1)模型从离散形式到连续形式模型从离散形式到连续形式转变问题，用转变问题，用DGM(1,1)做纯指数增长序列预测模做纯指数增长序列预测模拟，结果完全符合增长规律，解决了预测稳定性拟，结果完全符合增长规律，解决了预测稳定性问题。问题。灰色关联分析灰色关联分析 灰色关联分析的基本思想灰色关联分析的基本思想 根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就
10、越大，是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。反之就越小。关联度关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法，在计算关联度前应计算关联系数。法，在计算关联度前应计算关联系数。（1）关联系数：）关联系数：设设则关联系数定义为：则关联系数定义为：式中：式中：为第为第k个点个点 和和 的绝对误差的绝对误差 为两极最小差为两极最小差 为两极最大差为两极最大差 成为分辨率，成为分辨率，一般取一般取对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应对单位不一，初值不同的序列，在计算相关系数前应首先进行初始化，即对该序列所有数据分别除以第首先进行
11、初始化，即对该序列所有数据分别除以第一个数据一个数据（2）关联度）关联度 和和 的关联度的关联度灰色绝对关联度灰色绝对关联度设系统行为序列设系统行为序列 与与 长度相同，长度相同，则称则称为为 与与 的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。（其中，（其中，与与 为为 与与 的始点零化像的始点零化像 灰色相对关联度灰色相对关联度 设序列长度设序列长度 相同，且初值皆不等于零，相同，且初值皆不等于零，分别为分别为 的初值像，则称的初值像，则称 与与 的灰色的灰色绝对关联度为绝对关联度为 与与 的灰色相对关联度，的灰色相对关联度，简称为相对关联度，记为简称为相对关联度，记为