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1、第第 四四 节节镜镜 象象 法法 求求 解解 静静 电电 场场(Method of Images)课的类型课的类型：讲授课讲授课教学目的：教学目的：学习一种求解静电场学习一种求解静电场的特殊方法的特殊方法镜像法（简洁明了）镜像法（简洁明了）教学方法教学方法：讲解法讲解法重点：重点：用镜像法求解静电场。用镜像法求解静电场。难点：难点：确定像电荷的数目、每确定像电荷的数目、每个像电荷的电量的大小与位置。个像电荷的电量的大小与位置。v一、相关内容回顾一、相关内容回顾v四、总结与讨论四、总结与讨论v三、镜像法应用举例三、镜像法应用举例v二、镜像法求解静电场的基本思想二、镜像法求解静电场的基本思想唯一性
2、定理给出静电场可以唯一唯一性定理给出静电场可以唯一求解的条件。求解的条件。1、相关内容回顾、相关内容回顾唯一性定理：唯一性定理：在可均匀分区的区在可均匀分区的区域域V V内给定自由电荷分布内给定自由电荷分布，区域区域V V内的电场由内的电场由V V的边界的边界S S上的电势或上的电势或者电势法向导数唯一地确定。者电势法向导数唯一地确定。如果如果V V内含有导体区域内含有导体区域 ，将导体表，将导体表面视为边界面。如果不是给定导体面视为边界面。如果不是给定导体边界上的电势或者电势法向导数，边界上的电势或者电势法向导数，而是给定每个导体上的总电荷，唯而是给定每个导体上的总电荷，唯一性定理同样成立。
3、这是由电荷与一性定理同样成立。这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。电场之间的制约关系决定的。（1 1）分离变量法）分离变量法（）（2 2）镜象法（）镜象法（?）（3 3）格林函数法（）格林函数法（?）（4 4）多极矩展开法（）多极矩展开法（?）静电学的基本问题是求满足给定静电学的基本问题是求满足给定边界条件的泊松方程的解。主要边界条件的泊松方程的解。主要方法有四种：方法有四种：分离变量法：分离变量法：适用于所考虑的区域适用于所考虑的区域内没有自由电荷分布的情况，求解内没有自由电荷分布的情况，求解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。镜像法适用范围？镜像法适用范围？a)a)所求区域内有少许几个点电荷所求
4、区域内有少许几个点电荷;b)b)导体边界面形状比较规则，具有导体边界面形状比较规则，具有 一定对称性一定对称性;c)c)给定边界条件。给定边界条件。1.1.镜像法概念镜像法概念二、镜象法求解静电场的基本思想二、镜象法求解静电场的基本思想 用用假假想想点点电电荷荷来来等等效效地地代代替替导导体体边边界界面面上上的的面面电电荷荷分分布布，然然后后用用空空间间点点电电荷荷和和等等效效点点电电荷荷叠叠加加给给出出空空间间电电势势分分布布。这这种种等等效效电电荷荷称称为为镜镜像像电电荷荷，这这种种求求解解方方法称为法称为镜像法镜像法。2.2.镜象法的理论依据镜象法的理论依据 唯一性定理是镜像法的理论依唯
5、一性定理是镜像法的理论依据。据。3.3.镜象法的基本思想镜象法的基本思想 在求解区域之外引入像电荷取在求解区域之外引入像电荷取代感应电荷，但不改变求解区域代感应电荷，但不改变求解区域的边值关系和边界条件。的边值关系和边界条件。三、镜象法应用举例三、镜象法应用举例例例1 1 接地无限大平面导体板附近接地无限大平面导体板附近有一点电荷有一点电荷Q Q，求空间中的电势。求空间中的电势。解：解：电荷电荷：一个点电荷：一个点电荷界面界面：接地无穷大导体：接地无穷大导体区域区域：上半空间（下半空间：上半空间（下半空间电势为零）电势为零）已知界面电势为零，满足唯已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确
6、定一性定理的要求，可以确定电势。电势。上半空间电势特征：上半空间电势特征：导体表面是等势面导体表面是等势面电场线垂直于导体电场线垂直于导体表面表面点电荷点电荷Q Q使导体表面产生异号的感应使导体表面产生异号的感应电荷电荷 Q Q 。整个电场是由整个电场是由Q Q和和 Q Q共同共同产生的。产生的。QQ/Pz从物理问题的对称从物理问题的对称性和边界条件考虑，性和边界条件考虑，假想电荷应在左半假想电荷应在左半空间空间 z z 轴上。轴上。Q和和a如何确定？如何确定？舍去正号解？舍去正号解？QQ接地导接地导体外有体外有一点电一点电荷的电荷的电势分布势分布图图例例2 2 真空中有一半径为真空中有一半径
7、为R0的接地导体的接地导体球，距球心为球，距球心为a（aR0）处有一点电处有一点电荷荷Q，求空间各点的电势（如图）。求空间各点的电势（如图）。解：解：电荷：电荷：一个点电荷一个点电荷界面：界面：导体球面导体球面区域：区域：球面外区域球面外区域已知界面电势为零，满足唯已知界面电势为零，满足唯一性定理的要求，可以确定一性定理的要求，可以确定电势。电势。点电荷点电荷Q使导体表面产生异号的使导体表面产生异号的感应电荷感应电荷Q。整个电势是由整个电势是由Q和和Q共同产生的。共同产生的。（1）根根据据对对称称性性分分析析，假假想想电电荷荷应应在在圆圆心心和和点点电电荷荷的的连连线线上上，即极轴上。即极轴上
8、。球坐标系球坐标系PROZ和和 如何确定？如何确定？（2 2）由边界条件确定）由边界条件确定 任意，可得任意，可得 解取解取？点电荷点电荷和接地和接地导体球导体球之间电之间电场线示场线示意图意图？讨论讨论：导体球接地后，感应电荷总量不为零？导体球接地后，感应电荷总量不为零？球面感应电荷分布球面感应电荷分布 （4 4）若导体不接地，电势不为零，）若导体不接地，电势不为零，该怎么分析？该怎么分析？（5 5）若若导导体体不不接接地地，导导体体上上带带上上自自由电荷，又如何分析？由电荷，又如何分析？（6 6）点点电电荷荷和和导导体体球球之之间间的的相相互互作作用力，如何求解用力，如何求解?1)1)根据
9、唯一性定理要求的条件求解电磁场根据唯一性定理要求的条件求解电磁场泊松方程边值问题；泊松方程边值问题；2)2)在求解区域之外引入象电荷取代感应电在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷，保持求解区域电荷分布不变；荷，保持求解区域电荷分布不变；3)3)引入镜象电荷，不改变求解区域边值关引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和边界条件。系和边界条件。1 1、镜象法的基本要领、镜象法的基本要领四、总结与讨论四、总结与讨论1)1)两种方法都是根据边值关系和边两种方法都是根据边值关系和边界条件进行求解；界条件进行求解；2)2)可解的条件都是唯一性定理所要可解的条件都是唯一性定理所要求的分区均匀介质和边界条件。求的分区均匀介质和边界条件。2 2、与分离变量法比较、与分离变量法比较共同点：共同点：不同点：不同点：求解区域没有（或求解区域没有（或者经过变换没有）者经过变换没有）自由电荷分布自由电荷分布求解区域有一个求解区域有一个或者几个自由点或者几个自由点电荷电荷分离变量求解拉分离变量求解拉普拉斯方程普拉斯方程求解区域之外引入求解区域之外引入象电荷取代感应电象电荷取代感应电荷荷分离变量法分离变量法镜象法镜象法电荷分布电荷分布具体方法具体方法