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1、第三章第三章 整式及其加减整式及其加减 初中数学（北师大版）初中数学（北师大版）七年级 上册知识点一知识点一代数式的概念代数式的概念代数式是用运算符号把数和字母连接起来的式子.注意(1)单独的一个数或一个字母也是代数式;(2)代数式中除了可以有数、字母和运算符号外,还可以含有括号,用以表示运算顺序;(3)注意代数式与等式和不等式的区别,代数式中不能含有“=”“”“”等符号,例如a+b=b+a,s=vt中含有“=”,所以它们不是代数式.例例1以下各式中不是代数式的为()A.8B.x2-3x+2C.m+n=n+mD.-ab2解析解析代数式是用运算符号把数和字母连接起来的式子,其中不能含有“=”,所
2、以选项C不是代数式.答案答案C知识点二知识点二列代数式及代数式的意义列代数式及代数式的意义列代数式就是把问题中的一些数量关系用代数式表示出来.列代数式的实质就是把文字语言转化为数学符号语言.列代数式应遵循下列几点:(1)抓住“多”“少”“大”“小”“和”“差”“积”“商”“倍”“分”“平方”“比”“几分之几”“除”“除以”等关键词,弄清各量之间的关系.(2)明确数量关系中的运算顺序,一般是先说的先算,后说的后算,如“和的积”是加在乘之前,而“积的和”是乘在加之前.(3)准确理解“的”和“与”划分的语句层次.“的”表示从属关系,“与”表示并列关系.代数式的意义:(1)若将代数式中的数、字母及运算
3、符号赋予具体的含义,则代数式就表示某些实际意义.(2)解释一个代数式的实际意义时,可联系生活,创造问题情境,使所叙述的数量关系与代数式中的数量关系一致.如代数式的实际意义可解释为“购买甲种糖果2千克,乙种糖果1千克,已知甲种糖果每千克a元,乙种糖果每千克b元,则平均每千克糖果的价格是元”.例例2用代数式表示:(1)a除以b(b不为零)的商与c的和;(2)比a的2倍与b的差小6的数;(3)a、b两数和的平方与它们差的平方的和;(4)三个连续的偶数(用同一个字母表示),以及它们的和.解析解析(1)+c.(2)(2a-b)-6.(3)(a+b)2+(a-b)2.(4)设n是整数,则三个连续的偶数可表
4、示为2n-2,2n,2n+2,它们的和为(2n-2)+2n+(2n+2).(答案不唯一)点拨点拨解决这类问题的关键是掌握好列代数式的方法及代数式的书写格式.知识点三知识点三求代数式的值求代数式的值例例3当x=-0.5,y=2时,求代数式x(x-y)2的值.分析求代数式的值的步骤:一代入,二计算.解析解析把x=-0.5,y=2代入,得x(x-y)2=-0.5=-(-3)2=-9=-.题型一按照程序求值例例1按如图3-2-1所示的程序计算,若开始输入x=3,则最后输出的结果是()图3-2-1A.6B.21C.156D.231解析解析第一次:输入x=3时,=6,因为6100,所以不能输出结果,进入“
5、否”程序,回到“输入”,再进行计算;第二次:输入x=6(第一次的计算结果变为此次输入的数)时,=21,因为21100,所以进入“是”程序,输出结果231,故选D.答案答案D点拨点拨解决此类问题的关键是理解程序中所限定的条件,符合条件时才能输出.题型二应用代数式知识解决实际生活中的问题例例2由于党的惠民政策,人民富裕了,越来越多的人外出旅游,某地区欲组织x(x3)人前往A市旅游,甲、乙旅行社定价均为每人a元,现甲旅行社承诺给予七五折优惠,乙旅行社给予3人免费,其他人八五折优惠,请回答:(1)随甲、乙旅行社前往A市各需多少元?(用代数式表示)(2)当x=40,a=2000时,应选择哪家旅行社?为什
6、么?分析(1)根据甲旅行社承诺给予七五折优惠列出代数式即可,根据乙旅行社给予3人免费,其他人八五折优惠列出代数式即可;(2)把x、a的值代入,求出代数式的值后比较即可.解析解析(1)甲旅行社的费用为0.75ax元,乙旅行社的费用为0.85a(x-3)元.(2)应选甲旅行社.理由:当x=40,a=2000时,甲旅行社的费用为0.75402000=60000元,乙旅行社的费用为0.852000(40-3)=62900元,62900元60000元,应选甲旅行社.点拨点拨运用代数式解决实际生活中的问题时要注意:准确求出代数式的值;根据题意作出相关判断.易错点求代数式的值时,代入出错例例当x=-2,y=
7、1时,求代数式-xy+1的值.错解错解当x=-2,y=1时,-xy+1=-21+1=-2+1=-1.正解正解当x=-2,y=1时,-xy+1=-(-2)1+1=2+1=3.错因分析错因分析在求代数式的值时,若代入的值为负数,则一定要加上括号.知识点一知识点一代数式的概念代数式的概念1.(2016陕西西安尊德中学月考)在式子3,a,3x=4,a-3b,4(x+y)中,代数式的个数为()A.5B.4C.3D.2答案答案B由代数式是用运算符号把数和字母连接而成的式子,且代数式中不含有等号知,3x=4不是代数式,其他均是代数式.故选B.2.下列式子符合书写要求的是()A.xy2B.-1xC.x2yD.
8、xy2答案答案CA项应写成2xy;B项应写成-x;D项应写成;只有C项正确.故选C.知识点二知识点二列代数式及代数式的意义列代数式及代数式的意义3.设甲数为x,乙数为y,用代数式表示:(1)甲、乙两数的差除以两数的积:;(2)甲数的立方与乙数的3倍的和:;(3)甲、乙两数的积与乙数平方的差:;(4)甲数与乙数差的立方的一半:.答案答案(1)(2)x3+3y(3)xy-y2(4)解析解析列代数式时注意运算顺序.4.体育委员带500元钱去买体育用品,已知一个足球a元,一个篮球b元,则代数式500-3a-2b表示的意义为.答案答案体育委员买3个足球,2个篮球后剩余的钱解析解析依题意,买足球花了3a元
9、,买篮球花了2b元,代数式500-3a-2b即为体育委员买3个足球,2个篮球后剩余的钱.知识点三知识点三求代数式的值求代数式的值5.(2016贵州六盘水二十一中联考)当x=1时,代数式4-3x的值为()A.1B.2C.3D.4答案答案A当x=1时,4-3x=4-31=4-3=1.6.(2017甘肃张掖四中期中)图3-2-1是一“数值转换机”,若输入的x为-5,则输出的结果为.图3-2-1答案答案21解析解析由已知得,若输入x,则输出的代数式为-3(x-2),当x=-5时,输出的结果为-3(-5-2)=-3(-7)=21.7.(2016辽宁丹东七中期中)学校需要到印刷厂印刷x份材料,甲印刷厂提出
10、:每份材料收0.2元印刷费,另收500元制版费;乙印刷厂提出:每份材料收0.4元印刷费,不收制版费.(1)两印刷厂的收费各是多少元?(用含x的代数式表示)(2)学校要印刷2400份材料,若不考虑其他因素,选择哪家印刷厂比较合算?试说明理由.解析解析(1)甲印刷厂的收费为(0.2x+500)元,乙印刷厂的收费为0.4x元.(2)选择乙印刷厂.理由:当x=2400时,甲印刷厂的收费为0.22400+500=980(元),乙印刷厂的收费为0.42400=960(元).因为980960,所以选择乙印刷厂比较合算.1.下列说法中,正确的是()A.2+5不是代数式B.(a+b)2的意义是a的平方与b的平方
11、的和C.“比a的倍大1”用代数式表示为aD.“x与3的差的2倍”用代数式表示为2(x-3)答案答案DA中,2+5是代数式;B中,(a+b)2的意义是a与b的和的平方;C中,“比a的倍大1”用代数式可表示为a+1.故选D.2.当x分别等于2或-2时,代数式x2-3x-4的两个值()A.相等B.互为相反数C.互为倒数D.不同于以上答案答案答案B当x=2时,x2-3x-4=22-32-4=4-6-4=-6;当x=-2时,x2-3x-4=(-2)2-3(-2)-4=4+6-4=6.故选B.3.爸爸的体重比妈妈的2倍少30kg,若妈妈的体重为pkg,用代数式表示爸爸的体重为kg;当p=50时,爸爸的体重
12、为kg.答案答案(2p-30);70解析解析由题意得爸爸的体重为(2p-30)kg.当p=50时,2p-30=250-30=70.4.某种水果第一天以2元的价格卖出a斤,第二天以1.5元的价格卖出b斤,第三天以1.2元的价格卖出c斤.(1)这三天共卖出水果斤;(2)这三天共得元;(3)求这三天的平均售价,并计算当a=30,b=40,c=50时的平均售价.解析解析(1)(a+b+c).(2)(2a+1.5b+1.2c).(3)这三天的平均售价为元/斤.当a=30,b=40,c=50时,=1.5.所以a=30,b=40,c=50时的平均售价为1.5元/斤.5.(1)计算并填表:(2)观察上表,描述
13、所求得的这一列数的变化规律;(3)当n非常大时,的值接近于什么数?n12345610102103解析解析(1)从左到右依次为1,.(2)观察可得,随着n的增大,这一列数也逐渐增大.(3)当n非常大时,的值接近于2.1.某商店进了一批商品,每件商品的进价为a元,若要获利20%,则每件商品的售价应定为()A.20%a元B.(a-20%a)元C.元D.(a+20%a)元答案答案D若要获利20%,则每件商品的利润为20%a元,则每件商品的售价应定为(a+20%a)元.2.(2015福建漳州中考)在数学活动课上,同学们利用如图3-2-2所示的程序进行计算,发现无论x取何正整数,结果都会进入循环,下面选项
14、一定不是该循环的是()图3-2-2A.4,2,1B.2,1,4C.1,4,2D.2,4,1答案答案D当最初输入的数是4时,因为x=4是偶数,所以对应的值是=2;x=2是偶数,所以对应的值是=1;x=1是奇数,所以对应的值是3x+1=4,既而以4,2,1为一个循环节进入循环.故当最初输入的数是2时,将以2,1,4为一个循环节进入循环;当最初输入的数是1时,将以1,4,2为一个循环节进入循环.故选D.3.若代数式5x2-4x+6的值为26,则x2-x的值为()A.0B.4C.8D.26答案答案B当5x2-4x+6=26时,5x2-4x=20,所以x2-x=4,故选B.4.某汽车行驶时油箱中的余油量
15、Q(升)与时间t(小时)的关系如下表:(1)写出用时间t表示余油量Q的代数式;(2)当t=时,余油量Q的值为多少?(3)根据所列代数式回答,汽车行驶之前油箱中有多少升油?(4)油箱中原有汽油可供汽车行驶多少小时?行驶时间t(小时)余油量Q(升)140-5240-10340-15440-20540-25解析解析(1)根据题中的表格知,余油量Q随时间t的变化规律为当t=1时,Q=40-51;当t=2时,Q=40-52;当t=3时,Q=40-53;,所以Q=40-5t,即用时间t表示余油量Q的代数式为40-5t.(2)当t=时,Q=40-5=32.5,即当t=时,余油量Q为32.5升.(3)当t=0
16、时,Q=40-50=40,即汽车行驶之前油箱中有40升油.(4)当Q=0时,0=40-5t,5t=40,t=8,即油箱中原有汽油可供汽车行驶8小时.1.代数式3v表示什么?下列解释:火车每小时走v千米,3小时走3v千米;西红柿每千克3元,买v千克西红柿用钱3v元;一个瓶子的容积为v升,3个同样的瓶子的容积之和是3v升;一把椅子的价格为v元,一张桌子的价格是一把椅子的3倍,则一张桌子的价格为3v元.其中,正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案答案A四种情况都符合代数式3v的实际意义.故选A.2.(2016甘肃甘谷期末)在下列代数式的写法中,表示正确的一个是()A.“负x的平方”记作-x
17、2B.“y与1的积”记作1yC.“x的3倍”记作x3D.“a除以2b的商”记作答案答案D“负x的平方”应记作(-x)2,所以A错误;“y与1的积”应记作y,所以B错误;“x的3倍”应记作3x,所以C错误.故选D.3.代数式2017-a2的最大值为,代数式a2-2017的最小值为.答案答案2017;-2017解析解析因为a2为非负数,即a20,所以当a2取最小值0时,2017-a2的最大值为2017,a2-2017的最小值为-2017.4.如图所示,在一块长为2x,宽为y(2xy)的长方形铁皮的四个角上,分别截去半径都为的圆的.(1)试计算剩余铁皮的面积(阴影部分面积);(2)当x=6,y=8时
18、,剩余铁皮的面积是多少?(取3.14)解析解析(1)剩余铁皮的面积为2xy-=2xy-.(2)当x=6,y=8时,剩余铁皮的面积为268-3.14824=45.76.5.(2017广东深圳锦华实验学校期中)学校组织同学们到博物馆参观,小丹因事未能与同学们同时出发,于是准备在学校门口搭乘出租车赶去与同学们会合,出租车的收费标准是:起步价为12元,3千米后每千米收1.2元,不足1千米的按1千米计算.请你回答下列问题:(1)小丹乘车3.8千米,应付费元;(精确到0.1元)(2)小丹乘车x(x是大于3的整数)千米,应付费多少元?(列代数式)(3)小丹身上仅有20元钱,乘出租车到距学校8千米远的博物馆的
19、车费够不够?请说明理由.解析解析(1)小丹乘车3.8千米,应付费12+1.2=13.2(元).故填13.2.(2)12+1.2(x-3).(3)够.因为12+1.2(8-3)=18(元),1820,所以够到博物馆的车费.一、选择题1.(2018辽宁本溪南芬中学第二次月考,3,)甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价5%,乙超市一次降价10%,在哪个超市购买这种商品合算?下列选项中正确的是()A.甲超市B.乙超市C.两个超市一样D.与商品的价格有关答案答案B设商品的定价为a元,则在甲超市购买这种商品的价格为a=a(元),在乙超市购买这种商品的价格为a=a(元),所以在乙超市购
20、买这种商品合算,故选B.二、填空题2.(2018河南郑州五中月考,17,)若|a+2|与(b-3)2互为相反数,则ab+a(3-b)=.答案答案-8解析解析由|a+2|与(b-3)2互为相反数,得|a+2|+(b-3)2=0,所以a+2=0且b-3=0,所以a=-2,b=3,所以ab+a(3-b)=(-2)3+(-2)(3-3)=-8.三、解答题3.(2018广东深圳耀华实验学校期中,19,)根据题意列代数式:(1)a与b的一半的和;(2)x与y的和的2倍减去它们的差;(3)一个三位数a放在一个两位数b的左边构成一个五位数,用含a、b的代数式表示这个五位数.解析解析(1)a+.(2)2(x+y
21、)-(x-y)或x+3y.(3)100a+b.4.(2017山东枣庄台儿庄期中,20,)台儿庄某食品厂销售一种蔬菜,如果不加工直接出售每千克卖y元;如果经过加工,质量将减少20%,每千克价格则增加40%.(1)x千克这种蔬菜加工后可卖多少钱?(2)如果这种蔬菜1000千克,不加工直接出售每千克可卖1.50元,问加工后原1000千克这种蔬菜可卖多少钱?比加工前多卖多少钱?解析解析(1)x千克这种蔬菜加工后可卖(1+40%)y(1-20%)x=1.12xy元.(2)1000(1-20%)1.50(1+40%)=1680(元).1680-1.501000=180(元).答:加工后原1000千克这种蔬
22、菜可卖1680元,比加工前多卖180元.1.(2018山东枣庄山亭期中,12,)若a是一位数,b是两位数,把b放在a的左边,所得的三位数可以表示为()A.10a+bB.10b+aC.100a+bD.ab答案答案B一个两位数乘10则变成三位数,由题意知,所得的三位数为10b+a.2.(2018陕西宝鸡长岭中学期中,14,)当x=-时,代数式1-4x2的值是.答案答案0解析解析当x=-时,1-4x2=1-4=1-4=0.3.(2018山东枣庄峄城期中,25,)按下列程序计算,把答案填写在表格里,然后看看有什么规律,想想为什么会有这个规律.(8分)x平方+x2-x2-x答案(1)填写表内空格:输入x
23、32-2输出答案0(2)你发现的规律是;(3)用简要过程说明你发现的规律的正确性.解析解析(1)将2、-2、分别代入程序中计算,即可输出结果,如下表所示.(2)输入任何数的结果都为0.(3)因为输入x后,输出的答案为-x2-x=x2+x-x2-x=0,所以无论x取何值,结果都为0,即输出的答案与输入的x的取值无关.输入x32-2输出答案00001.(2017重庆中考A卷,6,)若x=-,y=4,则代数式3x+y-3的值为()A.-6B.0C.2D.6一、选择题答案答案Bx=-,y=4,3x+y-3=3+4-3=-1+4-3=0,故选B.2.(2015福建厦门中考,7,)某商店举办促销活动,促销
24、的方法是将原价x元的衣服以元出售,则下列说法中,能正确表达该商店促销方法的是()A.原价减去10元后再打8折B.原价打8折后再减10元C.原价减去10元后再打2折D.原价打2折后再减10元答案答案B将原价为x元的衣服以元出售,是将原价打8折后再减去10元,故选B.二、填空题3.(2017甘肃庆阳中考,13,)如果m是最大的负整数,n是绝对值最小的有理数,c是倒数等于它本身的自然数,那么代数式m2015+2016n+c2017的值为.答案答案0解析解析由题意可知m=-1,n=0,c=1,m2015+2016n+c2017=(-1)2015+20160+12017=-1+1=0.(2016甘肃天水
25、中考,9,)有一根40cm的金属棒,欲将其截成x根7cm的小段和y根9cm的小段,剩余部分作废料处理,若使废料最少,则正整数x、y应分别为()A.x=1,y=3B.x=4,y=1C.x=3,y=2D.x=2,y=3答案答案C由题意得剩余部分的长度为40-(7x+9y)cm.在A选项中,当x=1,y=3时,剩余部分的长度为40-(17+39)=6(cm);在B选项中,当x=4,y=1时,剩余部分的长度为40-(47+19)=3(cm);在C选项中,当x=3,y=2时,剩余部分的长度为40-(37+29)=1(cm);在D选项中,当x=2,y=3时,剩余部分的长度为40-(27+39)=-1(cm
26、),不符合生活实际.故选C.1.定义新运算“*”:a*b=当x=3时,计算(2*x)-(4*x)的结果为.答案答案8解析解析当x=3时,(2*x)-(4*x)=(2*3)-(4*3)=33-(4-3)=9-1=8.2.已知代数式ax5+bx3+3x+c,当x=0时,该代数式的值为-1.(1)求c的值;(2)已知当x=1时,该代数式的值为-1,试求a+b+c的值.解析解析(1)根据题意,把x=0代入代数式,得c=-1.(2)根据题意,把x=1代入代数式,得a+b+3+c=-1,a+b+c=-4.1.自从有了用字母表示数后,我们发现表达有关的数和数量关系更加简便,有助于我们发现更多有趣的结论,请你
27、按要求试一试:(1)用代数式表示:a与b的差的平方;a与b两数的平方和与a,b两数积的2倍的差;(2)当a=3,b=-2时,求第(1)题中所列的代数式的值;(3)由第(2)题的结果,你发现了什么结论?(4)利用你发现的结论,求20142-40282013+20132的值.解析解析(1)(a-b)2.a2+b2-2ab.(2)当a=3,b=-2时,(a-b)2=25;a2+b2-2ab=32+(-2)2-23(-2)=25.(3)(a-b)2=a2+b2-2ab.(4)20142-40282013+20132=20142-220142013+20132=(2014-2013)2=1.2.某超市出售一种商品,其原价为a元,现有三种调价方案:先提价20%,再降价20%;先降价20%,再提价20%;先提价15%,再降价15%.(1)问这三种方案调价结果是否一样?(2)最后是不是都恢复了原价?解析解析(1)(1+20%)(1-20%)a=0.96a;(1-20%)(1+20%)a=0.96a;(1+15%)(1-15%)a=0.9775a.前两种方案调价结果一样.(2)由(1)可知,这三种方案最后的价格与原价都不一样.