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1、7.1 线段上的植树问题第七单元 数学广角课题引入 今年植树节时欢欢和乐乐在20米的花园边上栽树，如果每5米栽一棵，两端都栽的话可以栽多少棵？请同学们小组内交流一下，可以利用线段图画一画。【解析解析】教学新知方法一：画出了线段图并数出了栽5棵树。方法二：数出有4个间隔，和我们课前练习的小手指一样，栽的树的数量比间隔数多1。方法三：求间隔数可以用总长除以间隔的米数，205=4。知识梳理知识点1：两端都栽的植树问题。间隔数间隔数=全长全长 间距间距 栽的棵数栽的棵数=间隔数间隔数1 1 知识梳理例题：同学们在全长150米的小路一边植树。每隔10米栽一棵（两端要栽）。一共需要多少棵数苗？【方法小结方
2、法小结】在解决植树问题时要充分理解题意，然后再利用规律进行计算。在解决植树问题时要充分理解题意，然后再利用规律进行计算。【解析解析】这是植树问题中这是植树问题中“两端都栽两端都栽”的情况。根据规律的情况。根据规律“全长全长间隔长度间隔长度=间隔数间隔数”可以先求出间隔数，再用间隔数可以先求出间隔数，再用间隔数1 1就等于所需的棵数。列式计算就等于所需的棵数。列式计算为：为：15015010=15 15+1=1610=15 15+1=16（棵），所以一共需要（棵），所以一共需要1616棵数。棵数。知识梳理【小练习】在植树活动中，要在公园与动物园之间的马路一旁植树（如下图），每两棵树之间相距5米，
3、一共要植多少棵树？（两端都栽）答案：4005+1=81（棵）知识梳理知识点2：两端都不栽的规律。棵数棵数=间隔数间隔数-1 -1 间隔数间隔数=棵数棵数+1+1 知识梳理例题：用一根长18米的绳子剪跳绳，每3米剪一根，一共要剪几次？【方法小结方法小结】解决植树问题要与生活联系起来，具体问题具体分析，要灵活解决植树问题要与生活联系起来，具体问题具体分析，要灵活运用规律。运用规律。【解析】本题属于植树问题中【解析】本题属于植树问题中“两端都不栽两端都不栽”的情况。的情况。1818米是全长，米是全长，3 3相当相当于间隔数，根据规律可列式计算为：于间隔数，根据规律可列式计算为：18183-1=53-
4、1=5（次），一共要剪（次），一共要剪5 5次。次。知识梳理【小练习】平昌村的村道长1000米，在村道一旁安装路灯，村头村尾都不装，每隔20米安装一盏，一共需要多少盏路灯？答案：100020-1=49（盏）知识梳理知识点3：只栽一端的规律。棵数棵数=间隔数间隔数例题：环卫工人要在3千米的公路的两旁安放垃圾桶（一端安一端不安）。每150米放一个，一共需要放多少个垃圾桶。【方法小结方法小结】在解决植树问题时要分析问题属于三种情况中的哪一种，然在解决植树问题时要分析问题属于三种情况中的哪一种，然后再选择适合的规律进行计算，解决问题。后再选择适合的规律进行计算，解决问题。【解析】这道题的关键词是【解析
5、】这道题的关键词是“两旁两旁”、“一端安一端不安一端安一端不安”，根据规律，根据规律“间隔数间隔数=棵数棵数”列式计算为：列式计算为：3000300015015020 2020 202=402=40（个），一共需要（个），一共需要4040个垃圾桶。个垃圾桶。课堂练习1.社区要在300米的道路两侧安装路灯，每隔10米安装一盏（两端都安），一共需要多少盏路灯？【讲评讲评】这是植树问题中两端都栽的情况，根据规律】这是植树问题中两端都栽的情况，根据规律“全长全长间隔长度间隔长度=间隔间隔数数”，先求出一侧的数量，然后再将一侧的结果乘，先求出一侧的数量，然后再将一侧的结果乘2 2求得两侧共需要路灯数。求
6、得两侧共需要路灯数。列式计算为：列式计算为：30030010101 13131（盏）（盏）31 312 26262（盏）（盏），两侧一共需要两侧一共需要6262盏盏路灯。路灯。课堂练习 2.植树节到了，少先队员要在相距72米的两幢楼房之间种8棵杨树。如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？【讲评讲评】这道题是求间隔距离，要想求间隔距离就要知道间隔数，题中告】这道题是求间隔距离，要想求间隔距离就要知道间隔数，题中告诉了种诉了种8 8棵杨树，并且是两幢楼房之间种的，所以间隔数为棵杨树，并且是两幢楼房之间种的，所以间隔数为8+1=98+1=9，那么间，那么间隔距离隔距离=72=729=89
7、=8（棵）。（棵）。课堂练习 3.把一根钢管锯成小段，一共锯了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管锯成了多少段？【讲评讲评】题中告诉了锯开一次的时间，那么我们先求出锯的次数，为】题中告诉了锯开一次的时间，那么我们先求出锯的次数，为28284=74=7次，而锯的段数要比锯的次数多次，而锯的段数要比锯的次数多1 1，所以锯了，所以锯了7+1=87+1=8段。段。课后作业1.直接写得数。10063 3.21.68 80.4 147.4 1.920.04 0.32500 0.654.35 0.5117 32.819 5.21.3 1.60.4 4.90.7 15 612 0.870.49374
8、.883.26.64816050.0351.840.643.430.20.50.38课后作业 2.在一条长2500米的公路一侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两端都不架设，共需电线杆多少根？答案：250050-1=49（根）课后作业 3.街心公园一条甬道长200米，在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉，共栽种美人蕉82棵，每两棵美人蕉相距多少米？答案：822-1=40 20040=5（米）课后作业 4.红领巾公园内一条林荫大道全长800米，在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶，每两个垃圾桶之间相距长多少米？答案：41-1=40 80040=20（米）课后作业 5.一座宿舍的走廊长1
9、5米，插有6面彩旗。照这样计算，办公大楼走廊长27米，要插多少面彩旗？答案：15（6-1）=3（米）273+1=10（面）知识拓展 在一条公路上每隔16米架设一根电线杆，不算路的两端共用电线杆54根，这条公路全长多少米？答案：（54+1）16=880（米）7.2 封闭图形上的植树问题第七单元 数学广角课题引入 欢欢的邻居张伯伯，虽然年纪大了可他是个不折不扣的环保人士，每年他都要在植树节时回乡下栽树，他准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m如果每隔10m栽1棵，一共需要栽多少棵？你能帮他算算么？【解析】教学新知方法一：用圆表示池塘，缩小池塘的周长。假设周长是40米，每隔10米栽1棵，能栽几
10、棵数？通过画图得出的是4棵。【解析】方法二：选择了40米，并把图拉直，得到的结论是封闭图形上的植树问题就相当于线段上的植树问题中的只栽端的情况。【解析】方法三：用列表的方法对栽树的情况进行了展示，并发现栽树的棵数与间隔数一一对应。周长/全长（米）间距（米）间隔数（个）棵数（棵）401044601066901099120101212【解析】方法四：根据找到的规律直接计算，12010=12（棵），要栽12棵树。【方法小结方法小结】封闭图形上的植树问题就相当于线段上的植树问题中的只封闭图形上的植树问题就相当于线段上的植树问题中的只栽一端的情况，所栽的树的数目与间隔数是一一对应的，只要求出间隔栽一端的
11、情况，所栽的树的数目与间隔数是一一对应的，只要求出间隔数就能求出所栽的树的棵数。数就能求出所栽的树的棵数。知识梳理知识点：封闭图形上的植树问题。封闭图形上的植树问题类似于线段上的植树问题中的只栽封闭图形上的植树问题类似于线段上的植树问题中的只栽一端的情况，所以只要求出间隔数就可以了。一端的情况，所以只要求出间隔数就可以了。间隔数间隔数=周长周长（全长）（全长）间距，所栽棵数间距，所栽棵数=间隔数。间隔数。知识梳理例题：一条手链长18厘米，每隔3厘米就有一颗玛瑙，这条手链上共有多少颗玛瑙？【方法小结方法小结】在解决封闭图形上的植树问题时，要找到图形的周长，然后在解决封闭图形上的植树问题时，要找到
12、图形的周长，然后求间隔数。有时图形的周长题中直接告诉，有时是需要计算的。求间隔数。有时图形的周长题中直接告诉，有时是需要计算的。【解析解析】这是一道生活中的封闭图形的植树问题。根据题中给出的条件得这是一道生活中的封闭图形的植树问题。根据题中给出的条件得知，要想求出共用多少颗玛瑙，就要求出间隔数，要用周长（全长）除以知，要想求出共用多少颗玛瑙，就要求出间隔数，要用周长（全长）除以间隔数，周长为间隔数，周长为1818厘米，间距为厘米，间距为3 3厘米，所以列式为：厘米，所以列式为：18183=63=6（颗），这（颗），这条手链上共有条手链上共有6 6颗玛瑙。颗玛瑙。知识梳理【小练习】看图填空。植树
13、节学校组织五年级同学植树（如上图），每隔相等的一段栽一棵，三角形四周被分成了（）段，一共栽了（）棵。因此，在封闭路线上植树，棵树和间隔数（）。99相等课堂练习 1.圆形体育馆每隔20米有一颗射灯，一共安装了45颗，这个体育馆的周长为多少米？【讲评讲评】这道题是封闭图形上的植树问题的逆向思考题。题第隔】这道题是封闭图形上的植树问题的逆向思考题。题第隔2020米就是米就是间隔距离，间隔距离，4545颗射灯就是间隔数，颗射灯就是间隔数，周长就等于间隔距离周长就等于间隔距离间隔数，间隔数，202045=90045=900（米）。（米）。2.同学们围成正方形做游戏，每边站10人，求做这个游戏需要多少人？
14、【讲评讲评】正方形是一个封闭图形，封闭图形的间隔数等于棵树也就相当于】正方形是一个封闭图形，封闭图形的间隔数等于棵树也就相当于人数，只要求出一边的间隔数就可以知道四条边的间隔数。所以列式计算人数，只要求出一边的间隔数就可以知道四条边的间隔数。所以列式计算为（为（10-110-1）4 43636（人）。（人）。3.一个正方形水池，边长50米，要在这个水池四周每隔2.5米栽一棵月季花，要用多少棵月季花？【讲评讲评】题中给出了一条边的长，所以就可以先求出周长，然后再求间隔】题中给出了一条边的长，所以就可以先求出周长，然后再求间隔数，即要栽的花的数量。列式计算为数，即要栽的花的数量。列式计算为5050
15、4 42.5=802.5=80（棵）。（棵）。课后作业1.直接写得数。10063 3.21.68 2.80.4 147.4 1.920.04 0.32500 0.654.35 105.4 420 3.5200 1.50.06 0.7515 0.40.8 40.25 0.361.54 374.881.126.64816054.60.27001.440.050.3211.9课后作业 2.学校召开运动会前，在100米直跑道外侧每隔10米插一面彩旗，在跑道的一端原有一面彩旗还需备面彩旗?答案：10010=10（面）课后作业 3.把一根圆木锯成2米长的小段，一共花了15分钟，已知每锯下一段需要3分钟，这
16、根圆木长多少米？答案：（153+1）2=12（米）课后作业 4.一个圆形养鱼池全长200米，现在水池周围种上杨树25棵，隔几米种一棵才能都种上?答案：20025=8（米）课后作业 5.一个长方形池塘，长100米，宽50米，每隔5米栽种一棵柳树，需要树苗多少株?答案：（100+50）25=60（株）知识拓展 一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树，共栽了40棵，水池的周长是多少米?植树问题第1课时1 1、学会用线段图来表示植树问题中的两端都栽的情况，培养学生分析问题的能力；、学会用线段图来表示植树问题中的两端都栽的情况，培养学生分析问题的能力；2 2、建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类
17、似的问题分类，并试着应用、建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类似的问题分类，并试着应用模型中间隔与棵数的关系解决问题。模型中间隔与棵数的关系解决问题。【重难点】理解间隔数与棵数之间的规律，并运用规律解决问题。学习目标同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？你能帮他们解决这个问题吗？你都知道了什么？你认为一共要栽多少棵树？同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？这样对不对，有什么方法验证一下？100520（棵）试着举几个简单的例子。20米可以栽几棵？画图表示20米5米 5米 5米 5米2054（段）两
18、端都要栽415（棵）试着举几个简单的例子。25米可以栽几棵？画图表示25米2555（段）两端都要栽516（棵）5米 5米 5米 5米5米你发现了什么规律？两端都栽：棵数间隔数1运用发现的规律，计算30米、35米要栽几棵树？3056（段）617（棵）3557（段）718（棵）同学们在全长100m的小路一边植树，每隔5m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？解决问题1005121（棵）间隔数棵数1=答：一共要栽21棵树。在两头种的情况下，棵数为什么会比间隔数多1呢？这个1多在哪了？1 12 23 34 45 5191920202121100米多的1根据棵数间隔数1还可以得到什么？间隔数棵数1200
19、05040（个）40141（盏）41282（盏）答：一共要安装82盏路灯。1 1.在一条全长2km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔50m安一盏。一共要安装多少盏路灯？12112（段）12113（个）答：一共设有13个车站。2 2、5路公共汽车行驶路线全长12km 相邻两站之间的路程都是1km。一共设有多少个车站？（36-1）6210（m）间隔数 间隔长度路长答：从第1棵到最后一棵的距离是210m。3 3、园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔6m种一棵，一共种了36棵。从第1棵到最后一棵的距离有多远？要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。棵数=间隔数+1间隔数=棵数-125
20、-1=24（棵）答：一共要栽24棵银杏树。4 4、马路一边栽了25棵梧桐树。如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵？路的长度间隔数50间隔数=棵数-114-1=13（段）答：这条路有650米。5013=650（米）5 5、在沿河路的一边，设有14个节能路灯（两端都设），每隔50米设一个路灯，这条路有多少米？同学们，这节课你们都学会了哪些知识？两端都栽：棵数间隔数1间隔数棵数1路的长度间隔数每个间隔长同学们，这节课你们都学会了哪些知识？当遇到较为复杂的数学问题时，可以先从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。植树问题第2课时1 1、学会用线段图来表示植树问题中的两端
21、不种的情况，培养学生分析问题的能、学会用线段图来表示植树问题中的两端不种的情况，培养学生分析问题的能力；力；2 2、建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类似的问题分类，并试、建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类似的问题分类，并试着应用模型中间隔与棵数的关系解决问题。着应用模型中间隔与棵数的关系解决问题。【重难点】理解间隔数与棵数之间的规律，并运用规律解决问题。学习目标绿化队要在相距60m的小路一边植树（两端都栽），相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？603121（棵）间隔数棵数1=答：一共要栽21棵树。大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端
22、不栽），相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？你能帮他们解决这个问题吗？你都知道了什么？你认为一共要栽多少棵树？大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？两端都不栽，栽的棵数和间隔数有什么关系？对比找规律20米可以栽几棵？两端都栽20米5米 5米 5米 5米20515（棵）两端都不栽20米5米 5米 5米 5米20513（棵）你发现了什么规律？两端都不栽：棵数间隔数1大象馆和猴山相距60m。绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3m。一共要栽多少棵树？解决问题603119（棵）间隔数棵数
23、1答：一共要栽38棵树。19238（棵）在两头都不种的情况下，棵数为什么会比间隔数少1呢？这个1少在哪了？少的11 12 23 34 45 51919181860m根据棵数间隔数1还可以得到什么？间隔数棵数11.小明家门前有一条35m的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5m栽一棵树（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？1 12 23 34 45 57 76 635m分析问题一端栽：棵数间隔数3557（棵）答：一共要栽7棵。1.小明家门前有一条35m的小路，绿化队要在路旁栽一排树。每隔5m栽一棵树（一端栽一端不栽）。一共要栽多少棵？13248（个）817（盆）答：一共要放7盆植物。22、一条走廊长
24、32m，每隔4m摆放一盆植物（两端不放）。一共要放多少盆植物？属于植树中两端都不栽的情况！10514（次）8432（分钟）答：一共要花32分钟。33、一根木头长10 m，要把它平均分成5段。每锯下一段需要8分钟，锯完一共要花多少分钟？属于植树问题中一端栽问题 间隔数棵数42314（处）答：全程一共有14处这样的服务点。44、马拉松比赛全程约42km。平均每3km设置一处饮水服务点（起点不设，终点设），全程一共有多少处这样的服务点？100520（面）答：需要38面彩旗。19238（面）20119（面）55、学校新建了操场，准备在100米的直跑道的两侧每隔5米插一面彩旗，如果两端不插，那么需要多少
25、面彩旗？同学们，这节课你们都学会了哪些知识？两端都不栽：棵数间隔数1间隔数棵数1 两头种两头种棵数间隔数棵数间隔数1 1100米同学们，这节课你们都学会了哪些知识？棵数间隔数棵数间隔数1 160米两头不种两头不种棵数间隔数棵数间隔数35米一头种植树问题第3课时1 1、学会用线段图来表示植树问题中的首尾封闭的曲线上植树的情况，、学会用线段图来表示植树问题中的首尾封闭的曲线上植树的情况，培养学生分析问题的能力；培养学生分析问题的能力；2 2、建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类似的问题分、建立植树问题的数学模型，能根据这个模型将生活中类似的问题分类，并试着应用模型中间隔与棵数的关系解决
26、问题。类，并试着应用模型中间隔与棵数的关系解决问题。【重难点】理解间隔数与棵数之间的规律，并运用规律解决问题。学习目标回忆有关植树问题的知识！两端都栽两端不栽一端栽一端不栽棵数=间隔数+1棵数=间隔数-1棵数=间隔数 市政公司在一段公路一边放置花，每隔5米放一盆，这段路长为35米，一共放置了几盆花？（一端放一端不放）1 12 23 34 45 57 76 635米一端栽：棵数间隔数答：一共放置了7盆花。3557（盆）张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？你能帮他们解决这个问题吗？你都知道了什么？你认为一共要栽多少棵树？张伯伯准备在圆形池塘周
27、围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？栽一圈，栽的棵数和间隔数有什么关系？画图分析假设周长是40米可以栽几棵？10 m10 m10 m10 m10 m10 m10 m10 m能栽4棵拉直成线段能发现什么？40米10米 10米 10米 10米与一端不栽的情况相同。你发现了什么规律？首尾封闭的曲线植树问题：棵数间隔数张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵树？解决问题答：一共要栽12棵树。1201012（棵）1.圆形滑冰场的一周全长是150m。如果沿着这一圈每隔15m安装一灯，一共需要装几盏灯？1501510（盏）答：
28、一共需要装10盏灯。160512（颗）答：这条项链上共有12颗水晶。22、一条项链长60cm，每隔5cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？如何保证四个角上都有树？画图分析：分别求四条边上各栽多少棵，再求一共栽多少棵。33、小区花园是一个长60m，宽40m的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵间隔5m。一共要栽多少棵树？605224（棵）405216（棵）答：一共要栽40棵树。解决问题241640（棵）33、小区花园是一个长60m，宽40m的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵间隔5m。一共要栽多少棵树？48224（盆）答：一共放了24盆花。44、公园里有一个圆形花坛，它的周长是48米，每隔2米放一盆花，一共放了多少盆花？答：最多栽60棵。300560（棵）55、在一个周长为300米的圆形池塘周围栽树，每隔5米栽1棵，最多能栽多少棵？同学们，这节课你们都学会了哪些知识？首尾封闭的曲线植树问题：棵数间隔数同学们，这节课你们都学会了哪些知识？两端都栽两端不栽一端栽一端不栽首位相连封闭图形棵数=间隔数+1棵数=间隔数-1棵数=间隔数棵数=间隔数