《大学数学(高数微积分)第四章矩阵第六节课件(课堂讲义).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学数学(高数微积分)第四章矩阵第六节课件(课堂讲义).ppt（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、主要内容第六节 初 等 矩 阵初等矩阵的定义初等矩阵的定义初等矩阵的性质初等矩阵的性质两个矩阵的等价关系两个矩阵的等价关系求逆矩阵的初等行变换法求逆矩阵的初等行变换法三种初等变换对应着三种初等矩阵.一、初等矩阵的定义定义 13 由单位矩阵由单位矩阵 E E 经过一次初等变换得经过一次初等变换得到的矩阵称到的矩阵称为为初等矩阵.这一节我们来建立矩阵的初等变换与矩阵乘法的联系，并在这个基础上，给出用初等变换求逆矩阵的方法.等矩阵,记为 P(i,j).第 i 行第 j 行1.对调两行或对调两列把单位矩阵中第 i,j 两行对调(ri rj),得初得初等矩阵,记为 P(i(c).2.以数 c 0 乘某行
2、或某列以数 c 0 乘单位矩阵 E 的第 i 行(ri c),第 i 行初等矩阵,记为 P(i,j(k).3.以数 k 乘某行(列)加到另一行(列)上去以 k 乘 E 的第 j 行加到第 i 行上(ri+krj)或以 k 乘 E 的第 i 列加到第 j 列上(cj+kci),得第 i 行第 j 行第 i 列第 j 列的右边乘以相应的的右边乘以相应的 n n 级初等矩阵级初等矩阵.二、初等矩阵的性质引理 设设 A A 是一个是一个 s s n n 矩阵矩阵,对对 A A 施行一次施行一次初等行变换初等行变换,相当于在相当于在 A A 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 s s 级初级初等矩阵等矩阵
3、;对对 A A 施行一次初等列变换施行一次初等列变换,相当于在相当于在 A A 证明我们只看行变换的情形，列变换的情形可同样证明.令 B=(bij)为任意一个 s s 矩阵,A1,A2,As 为 A 的行向量.由矩阵的分块乘法,第 i 行第 j 行特别，令 B=P(i,j),得这相当于把 A 的 i 行与 j 行互换.第 i 行第 j 行令 B=P(i(c),得第 i 行这相当于用 c 乘 A 的第 i 行.令 B=P(i,j(k),得这相当于把 A 的 j行的 k 倍加到 i 行.1)P(i,j)-1=P(i,j);2)3)P(i,j(k)-1=P(i,j(-k).推论 初等矩阵都是可逆知阵
4、初等矩阵都是可逆知阵,且且 在第二章第五节我们看到，用初等变换可以化简矩阵.如果同时用行与列的初等变换，那么还可以进一步化简.为了方便，我们引入：定义 14 矩阵矩阵 A A 与与 B B 称为称为等价，如果，如果 B B 可以可以由由 A A 经过一系列初等变换得到经过一系列初等变换得到.三、两个矩阵的等价关系1.定义 2.等价关系的性质 (i)反身性 A A;(ii)对称性 若 A B,则 B A;(iii)传递性 若 A B,B C,则 A C.记为记为 A A B B.4.矩阵与其标准形的关系定理 5 任意一个任意一个 s s n n 矩阵矩阵 A A 都与它的标准都与它的标准形等价，
5、并且其标准形的主对角线上形等价，并且其标准形的主对角线上 1 1 的个数等于的个数等于矩阵矩阵 A A 的秩的秩 (1(1 的个数可以是零的个数可以是零).).证明如果 A=O，那么它已经是标准形了.以下无妨假设 A O.经过初等变换，A 一定可以变成一左上角元素不为零的矩阵.当 a11 0 时，把其余的行减去第一行的(i=2,3,s)倍，其余的列减去第一列的(j=2,3,s)倍.然后，用乘第一行，A就变成A1 是一个(s-1)(n-1)的矩阵.对 A1 再重复以上的步骤.这样下去就可得出所要的标准形.显然，标准形矩阵的秩就等于它主对角线上 1的个数.而初等变换不改变矩阵的秩，所以 1 的个数
6、也就是矩阵 A 的秩.证毕例 1 任意输入一个矩阵，用初等变换把它化为标准形.单单 击击 这这 里里 开开 始始5.两个矩阵等价的充要条件根据引理，对一矩阵作初等变换相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵.因此，矩阵矩阵 A A，B B 等价等价的充分必要条件是有初等矩阵的充分必要条件是有初等矩阵 P P1 1,P Pl l,QQ1 1,QQt t使使A A=P P1 1 P P2 2 P Pl l B B QQ1 1 QQ2 2 QQt t .(1)n 级可逆矩阵的秩为 n，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也是对的.由(1)即得定理 6 n n 级矩阵级矩阵 A A 为可逆的充分必要条
7、件是为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：它能表成一些初等矩阵的乘积：A A=QQ1 1 QQ2 2 QQm m .(2)由此即得推论 1 两个两个 s s n n 矩阵矩阵 A A，B B 等价的充分必等价的充分必要条件是，存在可逆的要条件是，存在可逆的 s s 级矩阵级矩阵 P P 与可逆的与可逆的 n n 级级矩阵矩阵 QQ 使使A=PBQA=PBQ.推论 2 可逆矩阵总可以经过一系列的初等行可逆矩阵总可以经过一系列的初等行变换化成单位矩阵变换化成单位矩阵.证明设 A 为可逆矩阵，则由定理 6 知，存在初等矩阵 Q1,Q2,Qm 使A=Q1 Q2 Qm,把它改写一个，有Qm-
8、1 Qm-1-1 Q1-1A=E.因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵，同时在矩阵 A 的左边乘初等矩阵就相当于对 A 作初等行变换，所以结论得证.证毕用分块矩阵形式,(i)、(ii)两式可合并为:四、求逆矩阵的初等行变换法当|A|0 时,由 A=P1P2.Pl,有Pl-1Pl-1-1.P1-1A=E,(i)及 Pl-1Pl-1-1.P1-1E=A-1.(ii)(i)式表明 A 经一系列初等行变换可变成 E,(ii)式表明 E 经这同一系列初等行变换即变成 A-1.Pl-1Pl-1-1.P1-1(A E)=(E A-1),求矩阵 A-1B.由 A-1(A B)=(E A-1B)可知,若对矩阵(A
9、B)施行初等行变换,当把A 变为 E 时,B 就变为 A-1B.A变成 E 时,原来的 E 就变成 A-1.即对 n 2n 矩阵(A E)施行初等行变换,当把利用初等行变换求逆矩阵的方法,还可用于 例 2 设矩阵用初等行变换法,判断 A 是否可逆?若可逆,求 A-1.解单单 击击 这这 里里 开开 始始所以 例 3 任意输入一个 3 级矩阵 A,判断其是否可逆,若可逆,求其逆矩阵 A-1.解所以单单 击击 这这 里里 开开 始始 例 4 任意输入一个 4 级矩阵 A,判断其是否可逆,若可逆,求其逆矩阵 A-1.解所以单单 击击 这这 里里 开开 始始 例 5 用初等行变换法解矩阵方程 AX=B
10、,解初等行变换初等行变换故其中本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回
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