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1、 凡是由因果关系决定的光学响应函数，其实部和虚部之间并不完全独立，由此得出一系列关系式描述光学常数之间的内在联系，这些关系被称为克喇末-克朗尼格（Kramas-Kronig）关系，简称KK关系。2.4.1 光学响应函数及其性质 KK关系的物理基础是因果性原理，其内函是物理结果 只能发生在作用之后，而不是在其前。在常用光强范围内，可以假定极化响应是线性的，即(2.28)2.4 克喇末克喇末(Kramas-Kronig)-克朗尼格（克朗尼格（KK）变换变换 ，的傅里叶(Fourier)成分 ，具有相同的光学响应规律。令 表示在主轴方向的极化分量,它是时间的函数，表示与 相同方向上 的分量，上述因果
2、关系可以表示为 (2.29)上式的意思是 与 t 时刻之前所有的 有关。一般地说，一个广义作用力 引起的广义位移 ，由以下运动方程决定我们来讨论线性响应函数T()的性质。(2.30)广义作用力 和广义位移 可以表示为 (2.31)叫做响应函数。对于一个线性无源系统，根据Lorentz理论，T()可以表示为一组阻尼谐振子响应的叠加(2.33)由式(2.30)得过且过 (2.32)响应函数有如下性质；解析性，引进的复平面=r+ii，则上响应函数在上半复平面是解析的，极点在下半复平面，即(2.34)收敛性，当时，/一致地趋近于0，因此，/沿着的上半复平面的一个无限半圆上的积分为零。奇偶性，由于 在时
3、间和空间上的均匀性，不显含 t 和 r(或波矢)，它仅仅是频率的函数。可以证明 T*(-)=T()(2.35)对于实的，的实部Tr()是偶函数，其虚部Ti()是奇函数。为了说明上述因果关系，引入函数形式的作用场，一个函数形式的作用场引起的极化可以表示为 (2.36)是函数形式作用场，也就是单位作用场引起的极化，对于任意形式的作用场 ，例如简谐形式的作用场，引起的极化可以表示为 (2.37)(2.37)由 得(2.38)(2.39a)(2.39b)式(2.38)的傅里叶反变换为(2.40)讨论：1.若t 0，函数（）-1在的下半复平面有奇异点，积分 不等于零。定义复变函数根据复变函数理论可得采取
4、如图2.11所示的积分线路，容易得到(2.41)（2.42）(2.44)2.4.2 极化率和介电系数的KK变换其中科西积分的主值定义为(2.44)将 ，有 (2.45)利用 的奇偶性以及积分换域公式，最后得到极化率和电介函数KK关系(2.46)(2.47)利用光电导谱r()代替i()谱更为方便，由i()=r()0得(2.48)图2.12 （a）Te（碲）晶体的光电导谱,(b)虚线为计算的r()谱，实线为测得的r()谱r()r()r()r()r()r()r()r()r()Te（碲）晶体的光电导谱如图2.12(a)所示，由(2.48)式表示的KK关系，计算出r()谱以虚线示于图2.12(b)，同时
5、给出实验曲线。用波长代替频率，式(2.8)变为对于多个吸收峰的情况，设每个吸收峰的平均波长为j，它们对光学响应的贡献可以看成r(j)积分强度的加权求和，于是上述积分化为(2.49)(2.50)(2.50)式也叫做四参量 公式。对于长波区，可进一步简化为(2.51)对NaCl晶体，在可见光区有4个吸收峰，每个吸收峰的波长j与吸收强度Aj分别为 j 0.0347 0.1085 0.1584 61.67(m)Aj 0.052 1.005 0.271 3.535利用公式(2.51)可以得到静态介电常数(0)=5.86，用其它实验方法测量得(0)=5.90。对于金属中自由电子，固有频率0=0,公式(2.
6、47)需要加以修正。因为当0=0时，响应函数 在=0时，响应函数 在=0处有奇点。要解决此问题，可定义一个新函数 (2.52)其中函数T（）在上半复平面包括实轴是解析的，而且当时收敛，因此可以对其直接使用KK公式，得(2.53a)进一步可以得到(2.53b)另一种处理办法是将i()的零点留数0/0从中扣除，可以得到(2.53b)式。其中0=Ne2/m为静态光电导。n 同一样，在的上半复平面无极点。当时 ，因而 ，是收敛的；其次n的奇偶关系也与相同。因此可以直接 写出 n 和之间的KK关系2.4.3 折射率和消光系数的KK变换（2.54）由吸收系数=4/，可以将上述关系式化为更简洁的形式：(2.
7、55)假设一个以t和x为变数的平面电磁波，一般可以表示为(2.56)由因果关系，若t 0,=0;另一方面，当t 0,由(2.56)式得(2.57)如果0 t 0，在这种情况下，式(2.56)积分仍在的上半复平面进行，则 =0。反射法包括两类：一是通过两个参数的独立测量，来确定n 和 这两未知数；二是通过一个参数在一个尽可能宽领域内的测量，然后通过积分得到另一个参数以及其它所有光学常数。讨论：在正入射下的振幅反射系数为(2.59)其中r是的解析函数，除非n=nr+i=-1，但这不可能，因为根据定义n0,0。2.4.4 反射系数的KK变换因为 ，所以 r 0。,没有 ,则没有 ,因此 r 是一个线
8、性响应函数，满 足 KK 变换的条件。反射光谱R（）易测，r0()=R()1/2。如果 能通过 r0变换得到，测R（）,即可求 t 和 n,等。分析lnr=lnr+i 的解析性。因r（）解析，ln r（）无极点。当 ，积分不为0，KK关系不能直接套用。定义新函数(2.60)利用留数积分公式，采用如图2.11所示的积分环路C，=i,=r，可以得到(2.61)由 ，可知 lnr(i)为实数；由得 lnrr()和 lnr0()是偶函数，而()为奇函数，因此得(2.62a)(2.62b)n()，()与 r0()，()之间的关系为(2.63)图2.13（a）给出垂直入射下InP半导体的反射光谱，利用KK
9、关系得到的n()，()的色散关系示于图2.13(b)。利用分步积分的公式以及(2.64)(2.65)2.5 微分形式的KK变换将积分形式的KK化为微分形式(2.66)(2.67)(2.68)微分因子说明，光学响应函数某一分量的色散曲线中对频率微商极大处，对应光学响应函数另一分量色散曲线上的峰；反之，光学响应函数某一分量的色散曲线中对频率商极小处，对应光学响应函数某一分量的色散曲线中对频率微商极小处，对应光学响应函数另一分量色散曲线上的谷。对于直接光学跃迁的半导体，由此得出r()应在带隙Eg处出现峰；从式(2.67)表示的n()，a()微分KK变换，可以预计，在材料的吸收边a()的斜率极大处，折
10、射率 n 应该出现峰；同理，n()的峰和谷应出现在()上升沿和下降沿的斜率极大处 对于离子晶体，反谱R（）具有类似 于方波的简单结构，从 和R 的微分KK庆系可以得出，对 的贡献主要由于d R d 0 的部分。光学响应函数求和法则指的是光学响应函数在全频域的积分等于某个定数。2.61 高频下光学响应函数的求和法则 当所涉及的频率0,时，可以将()进行泰勒级数展开，其形式为2.6 光学响应函数的求和法则(2.69)(2.70)固有频率0，根据Lorentz理论，代表束缚作用力-m02 ，和阻尼作用力-m ，可以忽略不计。在这种情况下，等离子体振荡决定了介电函数的实部，在介电函数的虚部中不包含与3
11、反比项，即在一级近似下，可将介电函数的虚部i()作为0级小量处理。因此，在高频下主宰体系的光学响应，不是与位移 成正比的束缚力，也非与速度 /dt 成正比的阴尼力，而是与体系的总电子数 见式(1.41)有关的惯性作用。在高频下 (2.71a)(2.71b)结合介电响应函数在高频下的渐近行为(2.69)和(2.70)式，并取一级近似，可以得到介电响应函数的求和法则(2.72a)(2.72b)(2.72c)其中式(2.72a)也叫做振子强度(f)求和法则，式(2.72b)和(2.72c)叫做惯性求和法则，式(2.72b)适合于半导体和绝缘体的束缚电子，式(2.72c)适应于金属中的自由电子。振子强
12、度求和法则也叫做耗散求和法则。如果体系有 j 种谐振子参与某一光学过程，其谐振子强度可以表示为(2.73)定义：neff 为每个原子在光学过程中实际参与的有效电子数，已知：材料的原子量和密度分别为M和，则参与不学过程 的电子密度 从振子强度求和法则可以得到参与光学过程的有效电子数为(2.74)图2.14表示 Si、Ge和Al的效电子数与光子能量的关系。同理，可以导出折射率及其它光学响应函数的求和法则：(2.75a)(2.75b)(2.76)(2.77)由KK关系可以直接得到计算态（）光学常数的方法。由(2.53),令=0，得作为比较，表2.1给出某些材料的带隙与静态介电常数。表2.1 室温下某些材料的禁带宽度与静态介电常数(2.78)材料 带隙Eg(eV)静态介电数 Si Ge PbS PbSe 1.11 0.67 0.37 0.2611.7 16.3 170 2502.6.2 低频下的求和法则静态折射率可以表示为(2.79)