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1、专题五余弦定理、正弦定理知识精讲一知识结构图内容考占P八、关注点余弦定理、正弦定理余弦定理知三求一用正弦定理解三角形知三求一，解得个数的判断三角形形状的判断边角互化正弦定理、余弦定理在实际测量中的应用构造合适的三角形二.学法指导1 ,余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例.2 .用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)已知三边解三角形.(2)已知两边及一角解三角形.3 .已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍.4 .适用正弦定理的两种情形：(1)已知三角形的任意两角与一边.已知三角形的任意两边与其中一边的对角5 .判
2、断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与 角的关系.6 .利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解 决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用， 如六需等7 .已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据 已知两边的大小情况来确定该角有个值还是两个值.或者根据该正弦值(不等丁T时)在(T18CT范围内求 角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.8 .正弦、余弦定理在实际测量中
3、的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三.知识点贯通知识点1 已知两边与一角或已知三边，利用余弦定理解三角形余弦定理及其推论文字表述三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍公式表达= =2 +_ 22cCOS_A，/=a2 + /2accos_B， c2=4+2abeos_C变形序 + c2
4、cos A一出；层 + c2 庐cos B- 2qc ；层+/一。2 cos C lab例 1.（1）在BC 中，已知/?=60cm, c=60y/ cm, 则 Q=cm；【答案】60【解析】由余弦定理得:a=（2）602+（603）2 - 2x60x6073 xcos|=60（cm）.在aABC 中，已知 4=2玳，b=6+2& c=4小，求 A, B, C.【解析】根据余弦定理，cosA = +，一（6 + 2小）2 + （4小）2 （2 加）2 S2bc2x（6+23）x47371VAe（0,兀），_ 一 +。2 _ （2加）2 + （6 + 2小）2 （4小）2 _ 啦C0S C 2a
5、b _2x276x（6+273）- 271兀 兀 7VCe（0, 7t）,。=不8=兀一4一。=兀一%一1=五余弦定理及其推论文字表述三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍公式表达= =2 +.2 - 22cCOS_A,/ = +02 - 2CCOS_g，C2 = + 卜2 - 2/7cos_C变形廿 + 2 cosA一出;2 +。2 / cos 3一叁；届十.2 2cos C c 1 lab例题2：在A3C中，若(q ccosB)sinB=SccosA)sinA,判断ABC的形状.【解析】V(d?c-cos B)-sin B=(Z?c-cos A
6、).sin A,由余弦定理可得：(/ + / -Z?2(/?2 + / 9-。2ac兴=(2bc J整理得：(。2 + /72 02)2 = 32 + 82 ，)“2,即(a2b2)(a2+b2c2)=0,A a2+b2c2=0 或 a2=b2.H+尻=。2或 a=b.故ABC为直角三角形或等腰三角形知识点三用正弦定理解三角形1在43C中，=熹=舟三=2R.（R为ABC外接圆的半径） sin sni D Sill Lx变形:人_生sin A 2,=2Rsin Asin B 餐=2Rsin Bc=2Rsin C.例题 3 .已知 AABC 中，a=10, A = 30, C=45,求角& 边 b
7、, c.【答案】3=105。，b=5(y/6+y/2)9 c=10y/2.【解析】VA = 30, C=45,.*.B=180-(A + O=105o,又由正弦定理得：c=黑手=18/1 sin /Ib=b=sin Bsin A昔 =20sin(60+45 ) = 5(%+的.*.B=105, /?=5（V6+V2）, c=l（）V2.知识点四三角形的面积三角形的面积公式为S=；/?sin C=；acsin B=bc-sn A.例题4.在ABC中，若a=2, C=, cos ?=苧，求ABC的面积【答案w【解析】【解析】B 2#? B 3Acos B=2cos /匚/AsinB=1. T，7J
8、2/. sin A = sin (3+0 = sin 3cos C+cos Bsin* sin A sin CasinC_2_ 范史-sin A - 76X 2 - 710S=1csinS=1csin八1八10 4B=2x2xx-知识点五测量距离问题三角形中与距离有关问题的求解策略:解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所 求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.（2）解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决.例题5.海上有A,
9、 8两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和5岛成60。的视角，从B岛望C岛和A岛成B.yj海里D. 5观海里B.yj海里D. 5观海里75。的视角，则以 C间的距离是（）A. Kh/3海里C. 5也海里【答案】D【解析】根据题意，可得如图.在“3。中，A = 60, 5=75。，AB=10,。=45。.由正弦定理可得需彳=第，即堂，BC=5晌海里）.22知识点六测量高度问题解决测量高度问题的一般步骤：(1)画图：根据已知条件画出示意图.(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知 识与平面几何知识，注意方程
10、思想的运用.例题6.济南泉城广场上的泉标模仿的是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.李明同学想 测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端的仰角为60。，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到 达3点，又测得泉标顶部仰角为80。.你能帮助李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【解析】 如图所示，点C,。分别为泉标的底部和顶端.依题意，ZBAD=60, ZCBZ)=80, AB=15.2m,则 /ABD =100,故 ZADB =180-(60 +100)=20.Drya r在ABD中，根据正弦定理，sin 60 = sin ZADB,八 A8sin 60。 15.2x
11、sin 60 _ _、 BD = cQ- cco8.5(rn).sin 20 sin 20 v 7在 RtBCD 中，CD=BDsn 80 = 38.5xsin 8038(m), 即泉城广场上泉标的高约为38 m.知识点七角度问题解决实际问题应注意的问题首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图, 这是最关键最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.例题7.如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45。方向，距A有9海里的5处，并以20海里每小时的速 度沿南偏西15。方向行驶，若甲船沿南偏东。度的方向，
12、并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上 乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin。的值.(结果保留根号，无需求近似值)【解析】设用/小时，甲船追上乙船，且在。处相遇,则在ABC 中，AC=28Z, BC=2Qt, AB=9,ZABC= 180-15-45= 120,由余弦定理得，(28。2=81+ (20/)2- 2x9x20/x-),即 128尸一601-27=0,0解得1=工或t=一而(舍去),AC=21(海里),3c=15(海里).根据正弦定理,.BC sin ZABC 5a/3彳寸 sin BAC AC 4 则 cos/BAC=-J 1 -磊=号.ZBAC=5y28又NA8C=12
13、0。，NBAC 为锐角，：.0=45-ZBAC,sin 9=sin(45 N5AC) = sin 45cos ABACcos 45sin五易错点分析易错一三角形形状的判断例题 8.在ABC 中，若(accos B)-sin B=(b-ccos A).sin A,判断ABC 的形状.【解析】.,(-c,cos B)-sin B=(Z?c-cos A).sin A,由余弦定理可得:&2 + 02_匕2 a-2( Ir+ca2 必飞J、 2bc整理得：(/ + /?2 C2)/?2 = (/ + 尻,即(a2/?2)(a2+/?2c2) = 0,+ ，= 0 或 2 =力2./.cr-b1=c1 a
14、=b.故ABC为直角三角形或等腰三角形.误区警示判断三角形的形状，一种方法，把条件转化成边的关系，然后利用因式分解，整理，找边的关系，进而判 断三角形的形状；另一种方法，把条件转化成角的关系，然后利用三角函数公式，化简变形，求角的值或 范围，进而判断形状。易错二三角形解的个数例题 9.已知 3=30。，b=y2, c=2,求 A, C, a. &刀q 十口+力口,口 . 八 c-sin B 2sin 30 yj2【解析】由正弦定理得：sin C=b=2Vc/2,0C180,=45。或 135.当。=45。时，A=105,sin A 也 sin 105 r- a= sinB = sin 30 =73+ 1,当 C=135。时,A=15,sin A / sin 15r-_a= sin B = sin 30 =3-L错误区警示用正弦定理解三角形时，已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况: 可能无解，也可能一解或两解.首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于。小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两 个值.