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1、第二章随机变量及其分布一、基本内容与公式1.随机变量的概念随机变量是这样的一种变量，它是随随机试验结果的不同而变化，当试验结果确定后， 它的值也就相应地唯一确定。注：随机变量与高等数学中函数的比拟：(1)它们都是实值函数，但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将 取哪个值；(2)因试验结果的出现具有一定的概率，故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一 定的概率.随机变量因其取值方式不同，通常分为离散型和非离散型两类。而非离散型随机变量中 最重要的是连续型随机变量。2 .离散型随机变量定义：假设一个随机变量在试验结果中仅可能取得有限个或可数个数值，那么称此随机变量 为离散型随机变
2、量。 离散型随机变量的概率分布：设离散型随机变量X所有可能取值为%(i = 1,2,),X取各个可能值的概率，即事件(X=xJ的概率为化，亦即产(X=%,) = Pj (1 = 1,2,)那么称上式为离散型随机变量X的概率分布(或分布律)，通常也可用如下形式的表格来 表示：Xx.X.xnPiPxPlPn其中p,满足：OKp/.Wl。= 1,2,)；Zp,=1。i.几种重要的离散型随机变量的分布X 01“01”分布：Pi l - p p二项分布 XB(n, p)随机变量X的概率分布为:p(x =m) = C：pm(1- py-m,加=0,1,2， 泊松分布 XP(2) 泊松分布 XP(2)随机变
3、量X的概率分布为:随机变量X的概率分布为:P(X=m) =(根=0,1,2，几0)ml 几何分布随机变量X的概率分布为:随机变量X的概率分布为:p(X=Xi)= p.q, (g = l 4.连续型随机变量 定义：如果一个随机变量在试验结果中可能取得某一区间内的任何数值，并且它取得任 一可能值的概率等于零，这样的随机变量称为连续型随机变量。 概率密度：对于随机变量X,如果存在非负可积函数)(x), (evxv+s),使对任意实数,都有P(ax 0 ； 2)J -O05.几种重要的连续型随机变量的分布 均匀分布：假设连续型随机变量X的概率密度为/(x)=1 b-a 0,ax00, 其它.那么称X服
4、从参数为A的指数分布.记为X6(团. 正态分布：假设随机变量X的概率密度为/(x) =其中和b(b0)都是常数，那么称X服从参数为4和的正态分布.记为特别，当二0,。二1时，其概率密度为:特别，当二0,。二1时，其概率密度为:05)=-00 x 00.称X服从标准正态分布，记为XN(0,l)。假设XN(.2),那么有PQ X %)=(三3)_(五二幺)淇中(x) =(x) =e 2力称为拉普拉斯函数,满足:1)(0) = 0.5 ； 2)(+oo) = 1 ,(-oo) = 0； 3)(-X)= 1-(x)。6.分布函数分布函数的定义：设X为一随机变量，x是任意常数，称函数F(x) = P(X
5、 x)(oo x v +oo)为随机变量X的分布函数。 分布函数的性质：1) 0 F(x) 1 ；2) P(x, X x2) = F(x2)-F(Xj)；3)尸(x)是x的非减函数，即对任意两实数不，(为%)，有/()工尸()；4) F(-oo) = lim F(x) = 0 , F(+oo) = lim F(x) = 1 o 离散型随机变量的分布函数：设X的概率分布为：P(X=%) = Pi (i = L2,),那么X的分布函数为：尸(x) = P(XWx) = Zp/。XjX 连续型随机变量的分布函数：P(x x) = F(x) =/力oJ-O0其中：,f(x)2 0； ffxdx = 1
6、 ； Fx) = /(x) o J007.随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布：设随机变量X的分布为：/天;P(X=x,)p p2 pn 随机变量Y是随机变量X的函数Y = g(X),那么Y的概率分布：YP(Y = X)x=g(x) %=8() = g(z)PtPl . Pn假设g(x,)的值全不相等，那么上表就是随机变量y的概率分布；假设g(七)的值中有相等的, 那么应把那些相等的值分别合并起来，同时把对应的概率p,相加。 连续型随机变量函数的分布1)当函数y = g(x)及其导数g(x)在X的取值区间内是连续的，那么当g(x)是单调函 数时，随机变量y = g(X)的概率密度为：4
7、(y) = ./x/z(y).W(y)|。(其中x = /z(y)是 y = g(%)的反函数)2)当函数y = g(x)不是单调函数时，可先求Y = g(X)的分布函数 FY(y) = P(Yy),然后再求(y)对y的导数，即得丫的分布密度人理(外。(分 布函数法)二 教学基本要求1 .理解随机变量及其分布的概念。2 .理解随机变量分布函数的定义、性质，并会利用分布函数求随机事件的概率。3 .理解离散型随机变量及其概率分布的定义、性质，会求离散型随机变量的概率分布和分 布函数。4 .掌握几个常用离散型随机变量及其概率分布，即两点分布、二项分布、泊松分布。5 .理解连续型随机变量及其概率密度的
8、定义、性质。会求连续型随机变量的分布函数和概 率密度。6 .掌握几个常用的连续型随机变量及其概率分布，即均匀分布、指数分布和正态分布。7 .会求离散型随机变量函数的概率分布。8 .会求连续型随机变量的简单函数的概率密度和分布函数。教学重点：1 .离散型随机变量及其概率分布及分布函数。2 .连续型随机变量及其概率密度，概率密度与分布函数的关系。3 .二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布及正态分布。4 .随机变量函数的分布。教学难点：连续型随机变量函数的分布。三、典型例题分析例1设有一个均匀的陀螺，在其圆周的半圈上均匀地标明刻度为区间0上的各个数字，而另一半圈上都标明刻度为lo在桌面上旋转这个陀
9、螺，设X表示陀螺停下时圆周与桌面 接触点的刻度，问X是否为随机变量？或是的话，是离散型还是连续型？解：根据随机变量的概念知，X是随机变量，且有P（0X2 = 0,2 = 2o (2 = 0舍)，仅取4 = 2。1!21!24所以 P(X=4) = 了6-2 =0 0902 o例6设某运发动投篮投中的概率为 =0.3,求一次投篮时投中次数的概率分布及分布函数。解：设X表示在一次投篮时投中的次数，那么X为一随机变量，X的概率分布为:，那么X服从0-1分布。0.7 03)其分布函数为：当x。时，尸(x) = P(XWx) = 0；当0K% vl时,F(x) = P(X x) = P(X =0) =
10、0.7 ；当时，/(x) = P(Xx) = P(X=0) + P(X=l) = 0.7 + 0.3 = l。例 7 设/(犬)=/0, xQ K.(I)证明了(元)是某个随机变量X的分布密度函数。(2)求X的分布函数。(3)求尸(0 4 XVI)解:(1)因为/(x)20；解:(1)因为/(x)20；又口小公可+00 - X2e 2adi)-e。 2a2a所以/(X)是某个随机变量的密度函数。(2) F(x) = P(Xx)=(X f(x)dx ；J oo当x0 o 0,x0ii_J_(3) P(0 X 1) = j()f(x)dx = -edx = l-/五。例8某工厂生产的电子器件的寿命
11、X (小时)服从N(160q2)，假设要求P(120 Xv 200)2 0.8,问允许。的最大值为多少？解：因为XN(160,b2),所以c V 、小/200 -16。、120 160、P(120 X 0.8 ccc4040故中(一)20.9n (L29) = 0.9015n 2L29nb31,所以允许。的最大值为31。例9某地抽样调查结果说明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为72分,96分以上的考生为总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分到84分之间的概率.解：设考生的外语成绩为X,那么XN(q2)，由题设条件，可知从=72 .又由X72 96-7224P(X 96)
12、 = 1 P( X 96) = 1 P( ) = 1-(一)=0.023,(T(7(T2424。即()=0.977 渣表得一=2nb = 12 .因此,X N(72,122).于是,aa84-7264-72P(60 X 84) = 0()-P( 2 ) = 21 = 0.6827T TT例10设随机变量X (1)在区间(-一,一)上服从均匀分布；(2)在区间0,句上服从均匀 2分布，分别求丫 = sin X的分布密度。TT 7T解：（1）因为X在区间（-一,一）上服从均匀分布，所以其分布函数 2 27171X 22其它TT TT而丫 = 5皿*在（-一,一）上为单调上升函数，它的反函数X=arcsiny,于是由公式111-一，-1 y 1人（y） = /x（g（y）g（y） = JJi-V 71o, 其它（2）因为在0,%y = sinX不是单调函数，所以先求出分布函数4（丁）再求分布密度。当 y0 时，FY(y) = P(Yy) = 0.当 0y兀.= - arcsmy ；71当y与时，4（了）二 1。o, y。2即：4(y) =一arcsiny, 0 y 1，2,-/),0 y i所以分布密度4(y) = 4 (y)= ijl V0 ，其它