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1、第2章 插值法第1页，本讲稿共74页应用：例如程控加工机械零件等。应用：例如程控加工机械零件等。这样确定的这样确定的 就是插值函数。就是插值函数。第2页，本讲稿共74页二、一般概念二、一般概念第3页，本讲稿共74页第4页，本讲稿共74页从几何上看，插值法就是求曲线y=p(x),使其通过给定的n+1个点(xi,yi),i=0,1,n,并用它近似已知曲线y=f(x).y1ynxx1xnyx0图 2-1第5页，本讲稿共74页2.1.2 2.1.2 多项式插值多项式插值设在区间a,b上给定n+1个点 ax0 x1xnb上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,n),求次数不超过n的多项（1,2）使 p(
2、xi)=yi,i=0,1,n.(1.3)由此可得到关于系数a0,a1,an的n+1元线性方程组（1.4）第6页，本讲稿共74页此方程组的系数矩阵为A=称为范德蒙德（Vandermonde)矩阵，由于xi(i=0,1,n)互异，故detA =因此，线性方程组（1.4）的解a0,a1,an存在且唯一，于是有下面的结论：定理一定理一 满足条件（满足条件（1.3）的插值多项式）的插值多项式p(x)是存在唯一的。是存在唯一的。（1.5）第7页，本讲稿共74页2 2 拉格朗日插值拉格朗日插值一、线性插值和抛物插值一、线性插值和抛物插值对给定插值点,求出形如的插值多项式的方法有多种.几何意义：就是通过两点（
3、xk,yk)与（xk+1,yk+1)的直线，如图2-2所示y=L1(x)y=f(x)yk+1ykxk+1xkyx0第8页，本讲稿共74页第9页，本讲稿共74页yx0 xkxk+1111图 2-3第10页，本讲稿共74页几何上就是通过三点（xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1)的抛物线。第11页，本讲稿共74页yx0 xkXk+1Xk-11图 2-4第12页，本讲稿共74页第13页，本讲稿共74页2.2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式第14页，本讲稿共74页第15页，本讲稿共74页需要指出需要指出(2.3)(2.3)式与（式与（2.52.5）式是当）式是当n=1n
4、=1和和n=2n=2时的特殊情形。时的特殊情形。第16页，本讲稿共74页注意：n次插值多项式Ln(x)通常是次数为n的多项式，特殊情况下次数可能小于n.第17页，本讲稿共74页练习练习 给定数据表给定数据表 xi 0 1 2 3 yi 0 1 5 14求三次拉格朗日插值多项式求三次拉格朗日插值多项式L3(x).第18页，本讲稿共74页2.2.3 插值余项与误差估计插值余项与误差估计定义：若在a,b上用Ln(x)近似f(x)，则其截断误差为Rn(x)=f(x)-Ln(x)，也称为插值多项式的余项余项。第19页，本讲稿共74页证明：由给定条件知Rn(x)在节点xk(k=0,1,，n)上为零，即Rn
5、(xk)=0(k=0,1,，n)，于是 其中K(x)是与x有关的待定函数。现把x看成a,b上的一个固定点，作函数（2.13）第20页，本讲稿共74页根据 f 的假设可知 在a,b上连续，在(a,b)内存在，根据插值条件及余项定义，可知 在点 及 x 处均为零，故 在a,b上有n+2个零点，根据罗尔定理，在 的两个零点间至少有一个零点，故 在a,b内至少有n+1个零点，对 再应用罗尔定理，可知 在a,b内至少有n个零点。依此类推，在(a,b)内至少有一个零点，记为 ，使于是将它代入（2.13）式，就得到余项表达式（2.12）。证毕。注意：余项表达式只有在f(x)的高阶导数存在时才能应用。第21页
6、，本讲稿共74页第22页，本讲稿共74页利用余项表达式（2.12），当f(x)=xk(kn)时，由于f n+1(x)=0,于是有由此得（2.17）特别当k=0时，有（2.18）第23页，本讲稿共74页例例1 1 已知已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用线性插值计算和用线性插值计算和抛物插值计算抛物插值计算sin0.3367的值的值,并估计误差并估计误差.第24页，本讲稿共74页例例1 1 已知已知sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛物插值计算用抛物插值计
7、算sin0.3367的值的值,并估计误差并估计误差.第25页，本讲稿共74页2.3 2.3 差商与牛顿插值差商与牛顿插值2.3.1 插值多项式的逐次生成插值多项式的逐次生成利用插值基函数很容易得到拉格朗日多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为重要.但当插值节点增减时，计算要全部重新进行，甚为不便。第26页，本讲稿共74页第27页，本讲稿共74页2.3.2 均差及其性质第28页，本讲稿共74页差商的基本性质:第29页，本讲稿共74页第30页，本讲稿共74页第31页，本讲稿共74页第32页，本讲稿共74页由(3.4)得差商表:kxkf(xk)一阶差商 二阶差商 三阶差商 01234x0 x1x2x
8、3x4f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)fx0,x1fx1,x2 fx0,x1,x2fx2,x3 fx1,x2,x3 fx0,x1,x2,x3fx3,x4 fx2,x3,x4 fx1,x2,x3,x4 第33页，本讲稿共74页2.3.3 牛顿插值多项式牛顿插值多项式第34页，本讲稿共74页（3.7）（3.8）牛顿均差插值多项式第35页，本讲稿共74页kxkf(xk)一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商012341234514786 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/24第36页，本讲稿共74页第37页，本讲稿共74页2.3.4 2.3.4 差分与等
9、距节点插值差分与等距节点插值上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分一、差分及其性质一、差分及其性质第38页，本讲稿共74页第39页，本讲稿共74页差分的基本性质:第40页，本讲稿共74页第41页，本讲稿共74页差分表:2f0 2f1 2f2 f0f1f2f3f0f1f2f3f401234 2 3 fkk第42页，本讲稿共74页二、等距节点插值公式二、等距节点插值公式第43页，本讲稿共74页第44页，本讲稿共74页第45页，本讲稿共74页2.4 2.4 埃尔米特插值埃尔米特插值第46页，本讲稿共74页第47页，本讲稿共74页第48页，本讲稿
10、共74页第49页，本讲稿共74页第50页，本讲稿共74页第51页，本讲稿共74页2.5 2.5 分段低次插值分段低次插值一、高次插值的病态性质一、高次插值的病态性质上面我们用插值多项式Ln(x)近似f(x),一般认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好，实际并非如此。龙格给出了一个等距节点插值多项式Ln(x)不收敛于 f(x)的例子。他给出的函数为f(x)=1/(1+x2),它在-5,5上各阶导数均存在。在-5,5上取n+1个等距节点所构造的拉格朗日插值多项式为如下表所示，第52页，本讲稿共74页n 2 4 6 81012141618200.1379310.0663900.054463
11、0.0496510.0470590.0454400.0443340.0435300.0429200.042440 0.759615-0.356826 0.607879-0.831017 1.578721-2.755000 5.332743-10.173867 20.123671-39.952449-0.621864 0.423216-0.553416 0.880668-1.531662 2.800440-5.288409 10.217397-20.080751 39.994889龙格证明了，存在一个常数c3.63,使得第53页，本讲稿共74页下面取n=10，根据计算画出可以看出，在x=5附近这
12、说明用高次插值多项式Ln(x)近似f(x)效果并不好，因而通常不用高次插值，而用分段低次插值。-51.5yx501.00.5第54页，本讲稿共74页二、分段线性插值二、分段线性插值所谓分段线性插值就是用通过插值点的折线段逼近f(x).第55页，本讲稿共74页第56页，本讲稿共74页第57页，本讲稿共74页二、分段三次埃尔米特插值二、分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数导数间断，若已知节点上函数值和导数，可构造一个导数连续的插值函数Ih(x)，满足第58页，本讲稿共74页第59页，本讲稿共74页第60页，本讲稿共74页根据以上证明可得：第61页，本讲稿共74页7 7 样条插值样条插值问题背景一、样条插值的概念一、样条插值的概念第62页，本讲稿共74页第63页，本讲稿共74页第64页，本讲稿共74页二、三次样条插值函数的建立二、三次样条插值函数的建立第65页，本讲稿共74页第66页，本讲稿共74页第67页，本讲稿共74页第68页，本讲稿共74页第69页，本讲稿共74页第70页，本讲稿共74页第71页，本讲稿共74页第72页，本讲稿共74页第73页，本讲稿共74页三、误差界与收敛性三、误差界与收敛性作业作业 P60,20(1)只列出方程组;20(2)应得结果.第74页，本讲稿共74页