2023届天津市第二十五高三第三次模拟考试数学试卷含解析.pdf

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1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项:1 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 05 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知向量(1,2)a,(4,1)b,且ab,则()A12 B14 C1 D2

2、2下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是()A12 B13 C41 D42 3已知函数()sin()(0,)2f xx 的最小正周期为,f x的图象向左平移6个单位长度后关于y轴对称,则()6f x的单调递增区间为()A5,36kkkZ B,36kkkZ C5,1212kkkZ D,63kkkZ 4若实数,x y满足不等式组121210 xyxyxy ,则234xy的最大值为()A1 B2 C3 D2 5对于正在培育的一颗种子,它可能 1 天后发芽,也可能 2 天后发芽,.下表是 20

3、颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数 1 2 3 4 5 6 7 8 种子数 4 3 3 5 2 2 1 0 A2 B3 C3.5 D4 6要得到函数1cos2yx的图象,只需将函数1sin 223yx的图象上所有点的()A横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向左平移3个单位长度 B横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再向右平移6个单位长度 C横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向左平移6个单位长度 D横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再向右平移3个单位长度 7历史上有不少数学家都对圆周率作过研究,第一个用科学方法寻

4、求圆周率数值的人是阿基米德,他用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,开创了圆周率计算的几何方法,而中国数学家刘徽只用圆内接正多边形就求得的近似值,他的方法被后人称为割圆术近代无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种值的表达式纷纷出现,使得值的计算精度也迅速增加华理斯在 1655 年求出一个公式:22446621 3 3 5 57 ,根据该公式绘制出了估计圆周率的近似值的程序框图,如下图所示,执行该程序框图,已知输出的2.8T,若判断框内填入的条件为?km,则正整数m的最小值是 A2 B3 C4 D5 8已知向量(,4)am,(,1)bm(其中m为实数),则“2m”是“ab”的()A充分

5、不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9已知复数11zai aR,212zi(i为虚数单位),若12zz为纯虚数,则a()A2 B2 C12 D12 10已知曲线cos(2)|2Cyx:的一条对称轴方程为3x,曲线C向左平移(0)个单位长度,得到曲线E的一个对称中心的坐标为,04,则的最小值是()A6 B4 C3 D12 11数列na满足:3111,25nnnnaaaa a,则数列1nna a前10项的和为 A1021 B2021 C919 D1819 12若 是第二象限角且sin=1213,则tan()4=A177 B717 C177 D717 二、填空题:本题共

6、4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13在长方体1111ABCDABC D中,1AB,2AD,11AA,E为BC的中点,则点A到平面1ADE的距离是_.14若函数()sin2cos2f xxx在0,2m和3,m上均单调递增,则实数m的取值范围为_ 15已知单位向量,a b的夹角为23,则|2|ab=_.16已知3cos24sin()4,(4,),则sin2_ 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:22221xyab(ab0)的离心率为12且经过点(1,32),A,B 分别为椭圆 C 的左、右顶点,

7、过左焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 D,E 两点(其中 D 在 x 轴上方)(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)若 AEF 与 BDF 的面积之比为 1:7,求直线 l 的方程 18(12 分)已知三棱锥 P-ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形 ABCD 为边长等于2的正方形,ABE和BCF均为正三角形,在三棱锥 P-ABC 中:(1)证明:平面PAC 平面 ABC;(2)若点 M 在棱 PA 上运动,当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时,求直线 MA 与平面 MBC 所成角的正弦值.19(12 分)如图,平面四边形ABCD中,/,90,120BCADADCABC,

8、E是AD上的一点,2,ABBCDE F是EC的中点,以EC为折痕把EDC折起,使点D到达点P的位置,且PCBF.(1)证明:平面PEC 平面ABCE;(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.20(12 分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:2sin2 cos0aa.过点2,4P 的直线l:222242xtyt (t为参数)与曲线C相交于M,N两点.(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若MNPNPMMN,求实数a的值.21(12 分)自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来,武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏,全国各地纷纷驰

9、援.截至 1 月 30 日 12 时,湖北省累计接收捐赠物资 615.43 万件,包括医用防护服 2.6 万套 N95 口軍 47.9 万个,医用一次性口罩 172.87 万个,护目镜 3.93 万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务,该运输队有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车,6 辆载重为 10t 的 B 型卡车,10 名驾驶员,要求此运输队每天至少运送 720t 物资.已知每辆卡车每天往返的次数:A 型卡车 16 次,B 型卡车 12 次;每辆卡车每天往返的成本:A 型卡车 240 元,B 型卡车 378 元.求每天派出 A 型卡车与 B 型卡车各多少辆,运输队所花的成本最低?22

10、(10 分)已知数列na的前n项和为nS,且满足21(*)nnSanN()求数列na的通项公式;()证明:21143nkka 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1A【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程求得的值.【详解】由于向量(1,2)a,(4,1)b,且ab,所以 1 4210 解得12.故选:A【点睛】本小题主要考查向量垂直的坐标表示,属于基础题.2C【解析】令圆的半径为 1,则2241SPS,故选 C 3D【解析】先由函数()sin()f xx的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数()

11、sin()f xx的解析式,从而得出()6f x的解析式,再根据正弦函数()sinf xx的单调递增区间得出函数()6f x的单调递增区间,可得选项.【详解】因为函数()sin()(0,)2f xx 的最小正周期是,所以2,即2,所以()sin 2f xx,()sin 2f xx的图象向左平移6个单位长度后得到的函数解析式为sin 2+sin 2+63yxx,由于其图象关于y轴对称,所以+2,32kkZ,又2,所以6,所以()sin 26f xx,所以sin 2(+)6sin 2666xfxx,因为()sinf xx的递增区间是:2,222kk,kZ,由+222262kxk,kZ,得:63kx

12、k,kZ,所以函数()6f x的单调递增区间为,63kk(kZ).故选:D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性,对称性,单调性,图象的平移,在进行图象的平移时,注意自变量的系数,属于中档题.4C【解析】作出可行域,直线目标函数对应的直线l,平移该直线可得最优解【详解】作出可行域,如图由射线AB,线段AC,射线CD围成的阴影部分(含边界),作直线:2340lxy,平移直线l,当l过点(1,1)C时,234zxy取得最大值 1 故选:C 【点睛】本题考查简单的线性规划问题,解题关键是作出可行域,本题要注意可行域不是一个封闭图形 5C【解析】根据表中数据,即可容易求得中位数.【详解】由图表可知,

13、种子发芽天数的中位数为343.52,故选:C.【点睛】本题考查中位数的计算,属基础题.6C【解析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系,即可容易求得.【详解】为得到11sin222ycosxx,将1sin 223yx横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),故可得1sin23yx;再将1sin23yx 向左平移6个单位长度,故可得111sinsin236222yxxcosx.故选:C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移,涉及诱导公式的使用,属基础题.7B【解析】初始:1k,2T,第一次循环:22822.8133T,2k,继续循环;第二次循环:8441282.833545T,3k,此时2.8T

14、,满足条件,结束循环,所以判断框内填入的条件可以是3?k,所以正整数m的最小值是 3,故选 B 8A【解析】结合向量垂直的坐标表示,将两个条件相互推导,根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.【详解】由2m,则(2,4)(2,1)440a b ,所以ab;而 当ab,则2(,4)(,1)40abmmm ,解得2m 或2m .所以“2m”是“ab”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本小题考查平面向量的运算,向量垂直,充要条件等基础知识;考查运算求解能力,推理论证能力,应用意识.9C【解析】把1211 2zai aRzi ,代入12zz,利用复数代数形式的除法运算化简,由实部为 0 且虚部不为 0

15、 求解即可【详解】1211 2zai aRzi ,121(1)(1 2)1 221 2(1 2)(1 2)55zaiaiiaaiziii,12zz为纯虚数,1 2020aa,解得12a 故选 C【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算,考查复数的基本概念,是基础题 10C【解析】cos(2)yx在对称轴处取得最值有2cos()13,结合|2,可得3,易得曲线E的解析式为cos 223yx,结合其对称中心为04可得()26kkZ即可得到的最小值.【详解】直线3x是曲线C的一条对称轴.2()3kk Z,又|2.3.平移后曲线E为cos 223yx.曲线E的一个对称中心为04.22()432kkZ.(

16、)26kkZ,注意到0 故的最小值为3.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用,涉及到函数的平移、函数的对称性,考查学生数形结合、数学运算的能力,是一道中档题.11A【解析】分析:通过对 anan+1=2anan+1变形可知1112nnaa,进而可知121nan,利用裂项相消法求和即可 详解:112nnnnaaa a,1112nnaa,又31a=5,3112 n32n1naa,即121nan,111111222121nnnna aaann,数列1nna a前10项的和为1111111110112335192122121,故选 A 点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很

17、难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1)11 11n nkknnk;(2)1nkn 1nknk;(3)111121 212 2121nnnn;(4)11122n nn 11112n nnn;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.12B【解析】由 是第二象限角且 sin=1213知:25cos1 sin13 ,5t n1a2 所以tantan 457tan()41tantan 4517 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。1363【解析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中,11

18、112 1 1=323AADEV ,221115,2,3ADDEEAA AAE,所以22211A DDEA E,所以1DEAE,11623=22A DES 设点A到平面1ADE的距离为h 1161=323A A DEVh,解得6=3h 故答案为:63【点睛】此题考查求点到平面的距离,通过在三棱锥中利用等体积法求解,关键在于合理变换三棱锥的顶点.145,244 【解析】化简函数,求出 f x在0,上的单调递增区间,然后根据 f x在0,2m和3,m上均单调递增,列出不等式求解即可【详解】由()sin2cos22sin(2)4f xxxx知,当0,x时,f x在0,8和5,8上单调递增,f x在

19、0,2m和3,m上均单调递增,28538mm,5244m,m的取值范围为:5,24 4 故答案为:5,24 4 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,关键是根据函数的单调性列出关于 m 的方程组,属中档题 157【解析】因为单位向量,a b的夹角为23,所以21|cos32 a bab,所以|2|ab=2214414()42 aa bb=7.1619【解析】先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得2 2sincos3,平方可得sin2.【详解】3cos24sin()4,3(cossin)(cossin)2 2(cossin),则2 2sincos3,平方可得1sin29 故答案为:19

20、.【点睛】本题主要考查三角恒等变换,倍角公式的合理选择是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(1)22143xy(2)3344yx【解析】(1)利用离心率和椭圆经过的点建立方程组,求解即可.(2)把面积之比转化为纵坐标之间的关系,联立方程结合韦达定理可求.【详解】解:(1)设焦距为 2c,由题意知:22222191412abbacca;解得22431abc,所以椭圆的方程为22143xy.(2)由(1)知:F(1,0),设 l:1xmy,D(1x,1y),E(2x,2y),2y01y 1112221()372=713()

21、()2BDFAEFac ySyyySyacy,22221(34)6903412xmymymyxy,2144(1)0m,122634myym;122934y ym;由得:2292(34)mym,1221002(34)mymm,代入得:222221899164(34)349mmmm,又0m,故43m,因此,直线 l 的方程为3344yx【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题,椭圆方程一般利用待定系数法,建立方程组进行求解,面积问题的合理转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.18(1)见解析(2)2 2211【解析】(1)设AC的中点为O,连接,BO PO.由展开图可知2PAP

22、BPC,1PO,1AOBOCO.O为AC的中点,则有POAC,根据勾股定理可证得POOB,则PO平面ABC,即可证得平面PAC 平面ABC(2)由线面成角的定义可知BMO是直线BM与平面PAC所成的角,且1tanBOBMOOMOM,BMO最大即为OM最短时,即M是PA的中点 建立空间直角坐标系,求出AM与平面MBC的法向量m利用公式|sin|AM mAMm即可求得结果.【详解】(1)设 AC 的中点为 O,连接 BO,PO 由题意,得2PAPBPC,1PO,1AOBOCO 在PAC中,PAPC,O 为 AC 的中点,POAC,在POB中,1PO,1OB,2PB,222POOBPB,POOB A

23、COBO,,AC OB 平面,PO平面 ABC,PO 平面 PAC,平面PAC 平面 ABC (2)由(1)知,BOPO,BOAC,BO 平面 PAC,BMO是直线 BM 与平面 PAC 所成的角,且1tanBOBMOOMOM,当 OM 最短时,即 M 是 PA 的中点时,BMO最大 由PO平面 ABC,OBAC,POOB,POOC,于是以 OC,OB,OD 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立如图示空间直角坐标系,则(0,0,0),O(1,0,0),C(0,1,0),B(1,0,0),A(0,0,1),P11,0,22M,(1,1,0),BC(1,0,1),PC 31,0,22MC11

24、,0,22AM,设平面 MBC 的法向量为111,mxyz,直线 MA 与平面 MBC 所成角为,则由00m BCm MC得:1111030 xyxz.令11x,得11y,13z,即(1,1,3)m.则|22 22sin11|1112AM mAMm.直线 MA 与平面 MBC 所成角的正弦值为2 2211.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查线面成角问题,借助空间向量是解决线面成角问题的关键,难度一般.19(1)见解析;(2)55【解析】(1)要证平面PEC 平面ABCE,只需证BF 平面PEC,而PCBF,所以只需证BFEC,而由已知的数据可证得BCE为等边三角形,又由于F是EC的中点,所以

25、BFEC,从而可证得结论;(2)由于在Rt PEC中,122PEDEPFECa,而平面PEC 平面ABCE,所以点P在平面ABCE的投影恰好为EF的中点,所以如图建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.【详解】(1)由/,90,2BCADADCABBCDE,所以平面四边形ABCD为直角梯形,设24ABBCDEa,因为120ABC.所以在RtCDE中,32 3,4,tan3DECDa ECaECDCD,则30ECD,又90ADCBCD,所以60BCE,由4ECBCABa,所以BCE为等边三角形,又F是EC的中点,所以BFEC,又,BFPC EC PC平面,PEC ECPCC,则有BF 平面PEC,

26、而BF 平面ABCE,故平面PEC 平面ABCE.(2)解法一:在Rt PEC中,122PEDEPFECa,取EF中点O,所以POEF,由(1)可知平面PEC 平面ABCE,平面PEC平面ABCEEC,所以PO平面ABCE,以O为坐标原点,OC方向为y轴方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则(0,0,3),(2 3,3,0),(2 3,0),(0,3,0)PaAaaBa aCa,(2 3,3,3),(2 3,3),(0,3,3)PAaaaPBa aaPCaa,设平面PAB的法向量(,)mx y z,由0,0m PAm PB得2 3330,2 330,axayazaxayaz取1x,则(1,0,

27、2)m 设直线PC与平面PAB所成角大小为,则22222 35sin512(3)(3)m PCam PCaa,故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为55.解法二:在Rt PEC中,122PEDEPFECa,取EF中点O,所以POEF,由(1)可知平面PEC 平面ABCE,平面PEC平面ABCEEC,所以PO平面ABCE,过O作OHAB于H,连PH,则由PO平面,ABCE AB 平面ABCE,所以ABPO,又ABOHPOOHO,则AB 平面POH,又PH 平面POH所以ABPH,在Rt POH中,3,2 3POa OHBFa,所以15PHa,设C到平面PAB的距离为d,由C PABP ABCVV

28、,即1133PABBECSdSOP,即111141542 333232aadaaa,可得615da,设直线PC与平面PAB所成角大小为,则6515sin52 3adPCa.故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为55.【点睛】此题考查的是立体几何中的证明面面垂直和求线面角,考查学生的转化思想和计算能力,属于中档题.20(1)220yax a,20 xy;(2)1a.【解析】(1)将cos,sinxy代入2sin2 cosa求解,由222242xtyt (t为参数)消去t即可.(2)将222242xtyt (t为参数)与22yax联立得22 2 48 40ta ta,设M,N两点对应的参数为1t,

29、2t,则122 2 4tta,1 28 4t ta,再根据MNPNPMMN,即2MNPM PN,利用韦达定理求解.【详解】(1)把cossinxy代入2sin2 cosa,得220yax a,由222242xtyt (t为参数),消去t得20 xy,曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是220yax a,20 xy.(2)将222242xtyt (t为参数)代入22yax得22 2 48 40ta ta,设M,N两点对应的参数为1t,2t,则122 2 4tta,1 28 4t ta,由MNPNPMMN得2MNPM PN,所以2121 2ttt t,即2121 25ttt t,所以28

30、45 8 4aa,而0a,解得1a.【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.21每天派出 A 型卡车8辆,派出 B 型卡车0辆,运输队所花成本最低【解析】设每天派出 A 型卡车x辆,则派出 B 型卡车y辆,由题意列出约束条件,作出可行域,求出使目标函数取最小值的整数解,即可得解.【详解】设每天派出 A 型卡车x辆,则派出 B 型卡车y辆,运输队所花成本为z元,由题意可知,861016 612 10720,xyxyxyx yN,整理得86104530,xyxyxyx yN,目标函数240378zxy,如图所示,为不等式

31、组表示的可行域,由图可知,当直线240378zxy经过点A时,z最小,解方程组45300 xyy,解得7.50 xy,7.5,0A,然而,x yN,故点7.5,0A不是最优解.因此在可行域的整点中,点8,0使得z取最小值,即min240 8378 01920z,故每天派出 A 型卡车8辆,派出 B 型卡车0辆,运输队所花成本最低.【点睛】本题考查了线性规划问题中的最优整数解问题,考查了数形结合的思想,解题关键在于列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数,同时注意整点的选取,属于中档题.22()12nna,*nN()见解析【解析】(1)由11,1,2nnnS naSSn,分1

32、n 和2n 两种情况,即可求得数列 na的通项公式;(2)由题,得121 211111()(2)44nnnna,利用等比数列求和公式,即可得到本题答案.【详解】()解:由题,得 当1n 时,11121aSa,得11a;当2n时,112121nnnnnaSSaa,整理,得12nnaa 数列 na是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,111 22nnna,nN;()证明:由()知,121 211111()(2)44nnnna,故22221121111nkknaaaa 1211111()()()444n 11()4114n 4414()3343n 故得证 【点睛】本题主要考查根据,nnaS的关系式求通项公式以及利用等比数列的前 n 项和公式求和并证明不等式,考查学生的运算求解能力和推理证明能力.

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