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1、试卷第 1 页，共 7 页 贵州省贵阳市 2022 届高三适应性考试（一）数学（理）试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题 1若全集 U和集合 A，B的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（）AUAB BUBA CUAB DUAB 2已知复数z满足22i0 z zz，则z（）A1i B1 i C1 i D1 i 3已知双曲线C：222210,0 xyabab的一条渐近线为3yx，则C的离心率为（）A2 B3 C2 D5 4如图是某几何体的三视图，每个小正方形的边长均为 1，则该几何体的体积为（）A56 B C43 D2 5已知向量a，b，c满足3,0a，0,4b，1cabR，则
2、c的最小值为（）A56 B125 C365 D485 62021年10月16日，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻天和核心舱，中国空间站试卷第 2 页，共 7 页 开启有人长期驻留时代，而中国征服太空的关健是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式01lnemvvm，其中v为火箭的速度增量，ev为喷流相对于火箭的速度，0m和1m分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量.在未来，假设人类设计的某火箭ev达到5公里/秒，01mm从100提高到200，则速度增量v增加的百分比约为（）（参考数据：ln20.7，ln51.6）A13%B15%C17%D19%7函数 2sin 2logyx
3、x的图象大致是（）A B C D 8斐波那契数列 na满足121aa，123nnnaaan，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出2221220212021aaaa是斐波那契数列的第（）项.A2020 B2021 C2022 D2023 92021 年 7 月 24 日，中共中央办公厅国务院办公厅印发关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见，要求学校做好课后服务，结合学生的兴趣爱好，开设体育、美术、音乐、书法等特色课程.某初级中学在课后延时一小时开设相关课程，为了解学生选课情况，在该校全体学生中随机抽取 5
4、0 名学生进行问卷调查，试卷第 3 页，共 7 页 得到如下数据：（附：计算得到2K的观测值为8.333k.）喜欢音乐 不喜欢音乐 喜欢体育 20 10 不喜欢体育 5 15 20P Kk 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 根据以上数据，对该校学生情况判断不正确的是（）A估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占25 B从这 30 名喜欢体育的学生中采用随机数表法抽取 6 人做访谈，则他们每个个体被抽到的概率为15 C从不喜欢体育的 20 名学生中任选 4 人做访谈，则事件“至少有 2 人喜欢音乐”与“至多有
5、 1 人不喜欢音乐”为对立事件 D在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系 10已知252524a，501.02b，1001.01c，则（）Aabc Bbca Ccab Dbac 11设矩形ABCD ABBC的周长为 20，把ABC沿 AC 向ADC折叠，AB折叠后交 DC于点P，则线段 AP的长度最小值为（）A104 2 B10 5 18 C10 3 13 D10 210 12已知定义在R上的函数 f x，fx为其导函数，满足 2f xfxx，当0 x 时，21 0fxx.若不等式221331fxxxf x有实数解，则其解集为（）A2,3 B2,0,3
6、 C0,D2,0,3 二、填空题 13设 na是公差不为 0 的等差数列，其前n项和为nS，且11a，1a，2a，5a成等比试卷第 4 页，共 7 页 数列，则9S _.14在 2022 年北京冬奥会和冬残奥会城市志愿者的招募项目中，有一个“国际服务”项目截止到 2022 年 1 月 25 日还有 8 个名额空缺，需要分配给 3 个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是_.15已知点2,1A，2,1B，直线 AM，BM相交于点 M，且直线 AM 的斜率与直线BM的斜率之差为 1，过 M作圆 C：2241xy的切线 MP，P 为切点，则MP的最小值为_.16如图，在正方
7、体1111ABCDABC D中，点 E 在 BD 上，点 F 在1BC上，且BECF.则下列四个命题中所有真命题的序号是_.当点 E是 BD中点时，直线/EF平面11DCC D；当2DEEB时，EFBD；直线 EF 分别与直线 BD，1BC所成的角相等；直线 EF 与平面 ABCD所成的角最大为6.三、解答题 17已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且3 sincos3aC cAc，A为锐角.(1)求A；(2)在ABC的面积为2 3，12AB AC，BABCAC这三个条件中任选一个补充在下面问题的横线上.问题：若2a，bc，_，求 b，c 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按
8、第一个解答计分.18某省在新高考改革中，拟采取“3+1+2”的考试模式，其中“2”是指考生从政治、化学、生物、地理中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：考生原始成绩（满分 100 分）从高到低划分为 A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为 15%，30%，35%，15%，5%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将 A 至 E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到86,100，71,85，试卷第 5 页，共 7 页 56,70，41,55，26,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级分满分为 100 分.具体如下表：等级 A B C D E 比例 1
9、5%30%35%15%5%赋分区间 86,100 71,85 56,70 41,55 26,40 转换公式：2211YYTTYYTT，其中1Y，2Y分别表示某个等级所对应原始分区间的下限和上限，1T，2T分别表示相应等级的等级分区间的下限和上限，Y表示某等级内某生的原始分，T表示相应等级内该考生的等级分（需四舍五入取整）.例如某学生的政治考试原始成绩为 60 分，成绩等级为 C 级，原始分区间为50,65，等级分区间为56,70，设该学生的等级分为T，根据公式得：656070605056TT，所以65T.已知某学校高二年级学生有 200 人选了政治，以政治期末考试成绩为原始分参照上述等级赋分规
10、则转换本年级的政治等级分，其中所有获得A等级的学生原始分区间82,94，其成绩统计如下表：原始分 94 93 92 91 90 89 88 87 86 85 84 83 82 人数 1 1 1 2 3 1 2 3 2 2 3 4 5 (1)已知某同学政治原始成绩为 91 分，求其转换后的等级分；(2)从政治的等级分不小于 95 分的学生中任取 3 名，设这 3 名学生中等级分不小于 97分人数为X，求X的分布列和期望.19如图，AC，BD 为圆柱OO底面O的两条直径，PA为圆柱OO的一条母线，且APAC.试卷第 6 页，共 7 页(1)证明：ABPD；(2)若3AOB，求二面角BPCD的正弦值
11、.20已知椭圆C：221164xy与直线l（不平行于坐标轴）相切于点00,M x y，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于,0A m，0,Bn两点.(1)证明：直线001164x xy y与椭圆C相切；(2)当点M运动时，点,P m n随之运动，求点P的轨迹方程：若O，M，P不共线，求三角形OMP面积的最大值.21已知函数 12exf xx（e是自然对数的底）.(1)求 fx的单调区间；(2)若 12f xf xa，求证：12022xxa.22在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2sin，直线l的极坐标方程为sin24.(1)求C与l的直
12、角坐标方程；(2)设点M是曲线C上的一个动点，点P满足2OPOM，点P的轨迹记为1C，求1C与l的交点极坐标,，其中0,2，0.23已知函数 12f xxx，xR.(1)画出 f x的图象，若 g xxm与 yf x的图象有三个交点，求实数m的取值范围；试卷第 7 页，共 7 页(2)已知函数 f x的最大值为n，正实数a，b，c满足12nacbc，求证：233abc.答案第 1 页，共 18 页 参考答案：1A【解析】【分析】由题设韦恩图判断阴影部分与集合 A、B的关系，直接写出集合表达式即可.【详解】由图知：阴影部分属于 A，不属于 B，故为UBA.故选：A 2A【解析】【分析】利用复数运
13、算求得z.【详解】设i,Rzab a b，依题意22i0 z zz，ii2i2i0ababab，22222i0abab，所以22201220abaabb，所以1 iz .故选：A 3C【解析】【分析】结合渐近线求得C的离心率.【详解】依题意3ba，所以离心率212bea.答案第 2 页，共 18 页 故选：C 4C【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆锥，半球的半径为 1，圆锥的底面半径为 1，高为 2，再由球与圆锥的体积公式求解【详解】由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆锥，半球的半径为 1，圆锥的底面
14、半径为 1，高为 2，则该几何体的体积3214141122333V 故选：C 5B【解析】【分析】首先求向量c的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.【详解】由条件可知3,44c，则222944253216c 216144252525，当1625时，min125c.故选：B 6B【解析】【分析】答案第 3 页，共 18 页 计算出当01100mm、01200mm时速度的增量，进而可求得速度增量v增加的百分比.【详解】当01100mm时，速度的增量为15ln100v，当01200mm时，速度的增量为25ln 2005ln1005ln 2v，所以，2115ln2ln2ln215%5ln
15、1002ln102 ln2ln5vvv.故选：B.7A【解析】【分析】判断函数的奇偶性，可判断 C,D 的正误；利用在(0,)之间的函数零点的个数即可判断 A,B的正误.【详解】设 2()sin 2logf xyxx，则2()sin2log()fxxxf x，故 2()sin 2logf xxx为奇函数，故 C,D 错误；而令 2sin 2log0yxx时，在(0,)之间的函数零点有1,2两个，故 B 错误，故选：A 8C【解析】【分析】由斐波那契数列的递推关系可得21121nnnnnaaaaa，应用累加法求2222021122021Taaa，即可求目标式对应的项.【详解】由12nnnaaa，
16、则1222111()nnnnnnnnaaaaaaaa，又1a 21a，所以2121aa a，223221aa aa a，234332aa aa a，220212021202102222020aaaaa，答案第 4 页，共 18 页 则222022021122021202221Taaaaa，故2221220212021202220212021.aaaTaaa.故选：C 9C【解析】【分析】根据古典概率公式即可判断 AB，根据对立事件定义可判断 C，由独立性检验定义可判断D【详解】对 A 选项，估计该校既喜欢体育又喜欢音乐的学生约占202505，正确；对 B 选项，每个个体被抽到的概率为61305
17、，正确；对 C 选项，“至少有 2 人喜欢音乐”与“至多有 1 人喜欢音乐”为对立事件，则 C 错；对 D 选项，由28.3337.879K，则在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为“喜欢体育”与“喜欢音乐”有关系，故 D 正确 故选：C 10B【解析】【分析】利用指数幂的性质比较各指数式的大小.【详解】由10025050501.01(1.01)1.02011.02cb，又1004251.01(1.01)c，而41.011.0406251.041724，故ac，综上，bca.故选：B 11D【解析】【分析】答案第 5 页，共 18 页 利用二倍角公式，诱导公式求得AP的表达式，结合基
18、本不等式求得AP的最小值.【详解】设,2220,10ABa BCb ababba，设B折叠后为1B，设,2,22CABPABDAP，在RtABC中，22222222222sin,cos,sin22babaabababababab，222cos2sin22abab，在Rt ADP中，222222cos22ADbabAPabaab 2221022010050501021010 21022aaaaaaaaaa，当且仅当50,5 2aaa时等号成立.此时105 2ba.故选：D 12D【解析】【分析】通过构造函数法，结合导数来求得不等式的解集.【详解】构造函数 2F xf xxx，当0 x 时，210
19、,FxfxxF x 递增，由于 2f xfxx，答案第 6 页，共 18 页 所以 22f xxxfxxx ，即 FxF x，所以 F x是偶函数，所以当0 x 时，F x递减.不等式221331fxxxf x等价于：22212121111fxxxf xxx，即211FxF x，所以211xx，两边平方并化简得320 xx，解得23x 或0 x，所以不等式221331fxxxf x的解集为2,0,3.故选：D 1381【解析】【分析】根据已知条件求得公差d，由此求得9S.【详解】设等差数列的公差为d，由于1a，2a，5a成等比数列，所以22215,1114,aa add 由于d不为0，故解得2
20、d，所以9193697281Sad.故答案为：81 1412【解析】【分析】首先确定各单位名额互不相同的分配方式种数，再应用全排列求每种方式的分配方法数，即可得结果.【详解】各单位名额互不相同，则 8 个名额的分配方式有1,2,5、1,3,4两种，答案第 7 页，共 18 页 对于其中任一种名额分配方式，将其分配给 3 个单位的方法有33A种，所以每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数为33212A 种.故答案为：12.1511【解析】【分析】设(,)M m n，利用斜率的两点式及已知可得24mn，再由圆切线长的性质有222|MPCPr，最后由二次函数的性质求最小值即可.【详解
21、】令(,)M m n，由题设有2114(1)1224AMBMnnnkkmmm，即24mn，又圆心(0,4)C且半径1r，则222222|(4)1(2)11MPCPrmnn，所以，当2n 时min|11MP.故答案为：11.16【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对四个命题逐一分析，从而确定其中的真命题.【详解】设正方体的边长为2，建立如图所示空间直角坐标系，设,02 2BECFtt，当E是BD的中点时，F是1BC的中点，1,1,0,1,2,1,0,1,1EFEF，平面11DCC D的一个法向量为11,0,0n，0n EF，由于EF 平面11DCC D，所以/EF平面11DCC D，为
22、真命题.，当2DEEB时，111,33BEBE CFCB,答案第 8 页，共 18 页 4 4222 2 2,0,2,3 3333 3 3EFEF，2,2,0B，0EF DB，所以EFBD，所以正确.，22222 2,2 2,02,2,02222Etttt，22,2,22Ftt，2222,22EFttt，2222222234 2422EFttttt，112,2,0,2,2,2,0,2,0,2,0,2BBCCB，222 2423 24cos,34 242 234 242 2tttEF DBtttt，1222 2423 24cos,34 242 234 242 2tttEF CBtttt，1cos
23、,cos,EF DBEF CB，所以直线 EF分别与直线 BD，1BC所成的角相等.，平面ABCD的法向量为0,0,1m，设直线EF与平面ABCD所成角为，222sin34 24tEF mEFmtt，当2 2t 时，11sin23，由于02，所以6，错误.故答案为：答案第 9 页，共 18 页 【点睛】涉及立体几何的“多小题”模式的题型，可结合向量法，对各个“小题”进行分析.如本题中，每个命题，都可以利用向量法来进行判断，针对不同的问题，都采用向量法进行求解，可简化解题过程.17(1)6；(2)4b，2 3c(各条件所得结果相同).【解析】【分析】（1）利用正弦定理的边角关系及辅助角公式可得3
24、sin()62A，结合A为锐角，即可求A.（2）由三角形面积公式，由向量数量积的定义可得8 3bc，再由余弦定理可得2228bc，结合已知即可求 b、c；若D是AC中点，根据向量加法的几何意义及已知条件可得2 BDAC，再应用余弦定理可得23cb、2228bc，即可求 b、c.(1)由题设及正弦定理，3sinsinsincos3sinACCAC，又sin0C，所以3sincos3AA，即3sin()62A，又02A，即2663A，答案第 10 页，共 18 页 所以63A，即6A.(2)由1sin2 324ABCbcSbcA，即8 3bc，由3cos122bcAB ACcbA，即8 3bc，又
25、2222243cos2216 3bcabcAbc，即2228bc，又bc，将8 3cb代入2228bc整理得：22(16)(12)0bb，可得4b 或2 3b，当4b 时，2 3c；当2 3b 时，4c(舍).综上，4b，2 3c；若D是AC中点，由2BABCBD，又BABCAC，即2 BDACb，所以2bBD，故在ABD中，222()()322cos2bbccAbcb，即23cb，又2222243cos2216 3bcabcAbc，即2228bc，又bc，所以4b，2 3c；18(1)97 分(2)分布列见解析，9356【解析】(1)该同学政治原始成绩为 91 分，在区间82,94上，赋分区
26、间为86,100，答案第 11 页，共 18 页 故转换后的等级分为949110091 8286TT,解得97T 分，(2)设等级分为 95 分对应的原始分为x，由题意得9410095829586xx，解得89.7x 分，设等级分为 97 分对应的原始分为y，由题意得9410097829786yy，解得91.4y 分，即政治的等级分不小于 95 分的学生有 8 人，政治等级分不小于 97 分人数为 3 人，则X的取值可以为 0,1,2,3，3538C50C28P X,215338CC151C28P X,125338CC152C56P X,3338C13C56P X,则X的分布列为 X 0 1
27、2 3 P 528 1528 1556 156 其期望为 51593282815110123565656E X .19(1)证明见解析(2)4 7035【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得ABPD.（2）利用向量法求得二面角BPCD的余弦值，进而求得其正弦值.答案第 12 页，共 18 页(1)根据圆柱的几何性质，可建立如图所示空间直角坐标系，设圆柱的底面半径为1，则高为2，则0,0,2,0,2,0,0,1,0PCO，设,0,02B x yx，D点与B点关于O点对称，所以,2,0Dxy，2222222211,11,20,2OBxyxyxyyxyy，222,2,2,220PD
28、xyAB PDxyyxyy ，所以ABPD.(2)若3AOB，则三角形AOB是等边三角形，所以3 13 3,0,02222BD，0,2,2PC，3 33 1,0,02222BCDC，设平面BPC的法向量为1111,xny z，则11111133022220n BCxyn PCyz，故可设13,1,1n，同理可求得平面DPC的法向量21,3,3n，设二面角BPCD为，由图可知，为钝角，所以121233cos5735n nnn 23324 70sin1 cos1353535.答案第 13 页，共 18 页 20(1)证明见解析(2)2210936xyxy；152【解析】【分析】（1）通过联立直线0
29、01164x xy y与椭圆221164xy，结合判别式证得结论成立.（2）根据已知条件列方程，化简求得P的轨迹方程.求得三角形OMP面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.(1)M在椭圆C上，所以2222220000001,416,416164xyxyyx，由002211641164x xy yxy得0022416416x xy yxy，0022416416y yx xxy 22200221616416y yx xxy，22200224416416yyx xyx，222002216416416xyx xyx，22200161616xxx x，整理得2222000020,440 xx x
30、xxx，有唯一解，所以直线001164x xy y与椭圆C相切.(2)，依题意可知直线001:164lx xy y与坐标轴不平行，所以000,0 xy，答案第 14 页，共 18 页 直线l的斜率为00001644xxyy，所以直线AB的斜率为004yx，直线AB的方程为00004yyyxxx，令0 x，解得003,03nnyyn ；令0y 解得0034,043mmxxm，所以224331164mn，2210936mnmn，所以P点的轨迹方程为2210936xyxy.，由知003,34Pxy，00,M x y，且2200416xy，2200OMxy，直线OM的方程为00yyxx，即000y x
31、x y，P到直线OM的距离为00000022220000315344x yx yx ydxyxy，所以0022000022001511154228OMPx ySOMdxyx yxy，22000000004111 162422222xyx yxyxy，当且仅当0022 2xy时等号成立，所以001515154882OMPSx y.【点睛】求解圆锥曲线中三角形面积的最值问题的求解思路是：首先求得三角形面积的表达式，然后结合表达式的结构，考虑基本不等式、二次函数的性质、三角换元、导数等知识来求得面积的最值.21(1)fx的单调减区间是,0，单调增区间是0,；(2)证明见解析.【解析】答案第 15 页
32、，共 18 页【分析】（1）利用导数研究 fx的单调区间；（2）由（1）的结论，讨论210 xx、210 xx，构造()()()g xf xfx并应用导数研究单调性可得22()()f xfx，结合 fx的单调性及已知条件证120 xx，再应用分析法，将证1222xxa转化为22(1)()4exxh xx 在R上递减，应用导数研究单调性即可证结论.(1)由题设，e1()exxfx，当0 x 时()0fx，当0 x 时()0fx，所以()f x在,0上递减，在0,上递增.(2)由（1）知：1a，当210 xx时有1a，此时12022xxa成立；当210 xx，令111()()()22eeee2xx
33、xxg xf xfxxxx，所以21)21(e()eee0 xxxxg x，即()g x单调递减，所以2()(0)0g xg，即22()()f xfx，故212()()()f xf xfx，因为(,0上()f x递减，则12xx，故120 xx；要使1222xxa，又210 xx，即证2221221211(2)2)()()xxxxxaxxx，整理得222121(22)(22)axxxxa，即证222121(22)(22)22axaaxxax，而1111()2exf xx2221()2exf xxa，即证212221212(1)2(1)44eexxxxxx，令22(1)()4exxh xx，又2
34、10 xx，只需()h x在R上递减即可，由 1210exhxx，即()h x在R上递减，即1222xxa，得证；答案第 16 页，共 18 页 综上，12022xxa.【点睛】关键点点睛：第二问，首先构造()()()g xf xfx结合导数研究单调性，并结合 fx单调性和已知条件证120 xx，再应用分析法将1222xxa转化为22(1)()4exxh xx 在R上递减.22(1)2220 xyy，y2 20 x；(2)2 2,2和32,4.【解析】【分析】（1）由公式法求C与l的直角坐标方程；（2）若(,)P x y，00(,)M xy可得002222xxyy，结合（1）求得P的轨迹记为1
35、C，再联立直线l求交点的直角坐标，进而转化为极坐标即可.(1)由题设，曲线C为22 sin，即222xyy，故2220 xyy；直线l为2sin(sincos)242，即2()22yx，故2 20 xy.(2)若(,)P x y，00(,)M xy，又2OPOM，易得00(,)2(,)x yxy，即002222xxyy，由（1）知：222 20 xyy为P的轨迹1C，联立2 20yx，整理得：23 24(2 2)(2)0yyyy，可得2 2y 或2y.当2 2y 时0 x；当2y 时2x ，即交点坐标为(0,2 2)，(2,2).答案第 17 页，共 18 页 所以1C与l的交点极坐标为2 2
36、,2，32,4.23(1)图像见解析，2,1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分类讨论将 f x化为分段函数并画出函数图象，利用数形结合即可求出m的取值范围；（2）将已知条件变形利用柯西不等式证明即可.(1)当1x时，12f xxx 123xx ，当12x 时，12f xxx 1221xxx，当2x 时，12f xxx 123xx，则 3,221,123,1xf xxxx ，f x的图象如下图所示：g xxm可以看成yx向上或向下平移得到，如下图所示，由图可知，实数m的取值范围为2,1.答案第 18 页，共 18 页 (2)由（1）可知函数 f x的最大值为3，则3n，即123acbc，由柯西不等式得 23abc 12214223 acbbcacc 211422322bcacbcac3，故233abc.