《贵州省铜仁市铜仁2023学年高三第一次模拟考试数学试卷含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《贵州省铜仁市铜仁2023学年高三第一次模拟考试数学试卷含解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答
2、题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1由实数组成的等比数列an的前 n 项和为 Sn，则“a10”是“S9S8”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2已知,x y满足001xyxyx，则32yx的取值范围为（）A3,42 B(1,2 C(,02,)D(,1)2,)3复数()(1)2zii的共轭复数为（）A33i B33i C1 3i D1 3i 4已知复数z满足32i zi（i是虚数单位），则z=（）A23i B23i C 23i D 23i 5一个陶瓷圆盘的半
3、径为10cm，中间有一个边长为4cm的正方形花纹，向盘中投入 1000 粒米后，发现落在正方形花纹上的米共有 51 粒，据此估计圆周率的值为（精确到 0.001）（）A3.132 B3.137 C3.142 D3.147 6刘徽(约公元 225 年-295 年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形(如图所示)，当 n 变得很大时，这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的
4、思想，得到sin2的近似值为（）A90 B180 C270 D360 7关于函数()sin|cos|f xxx有下述四个结论：（）f x是偶函数；f x在区间,02上是单调递增函数；f x在R上的最大值为 2；f x在区间2,2上有4 个零点.其中所有正确结论的编号是（）A B C D 8 已知函数()xef xaxx，(0,)x，当21xx时，不等式 1221f xf xxx恒成立，则实数 a 的取值范围为（）A(,e B(,)e C,2e D,2e 9已知复数z 满足iizz,则z在复平面上对应的点在()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 10 设()f x为定义在R上的奇函数
5、，当0 x 时，22()log(1)1f xxaxa(a为常数)，则不等式(34)5fx的解集为（）A(,1)B(1,)C(,2)D(2,)11如图，平面四边形ACBD中，ABBC，ABDA，1ABAD，2BC，现将ABD沿AB翻折，使点D移动至点P，且PAAC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（）A8 B6 C4 D8 23 12甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A丙被录用了 B乙被录用了 C甲被录用了 D无法确定谁被录用了 二、填空题：本题共
6、 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13在回归分析的问题中，我们可以通过对数变换把非线性回归方程21c xyce，（10c）转化为线性回归方程，即两边取对数，令lnzy，得到21lnzc xc.受其启发，可求得函数39logxyx（0 x）的值域是 _.14已知半径为R的圆周上有一定点A，在圆周上等可能地任意取一点与点A连接，则所得弦长介于R与3R之间的概率为_ 15若随机变量的分布列如表所示，则E（）_，21D_ -1 0 1 P a 14 2a 16如图，己知半圆O的直径8AB，点P是弦AC（包含端点A，C）上的动点，点Q在弧BC上若OAC是等边三角形，且满足0OQ OP，则OP B
7、Q的最小值为_.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知函数 21ln2,R2xaxax afx.（1）讨论 f x的单调性；（2）若 f x在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数12,x x，使得 123f xf x，证明：122xx.18（12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，60ADC，PAD为等边三角形，平面PAD 平面 ABCD，M，N 分别是线段 PD 和 BC 的中点.（1）求直线 CM 与平面 PAB 所成角的正弦值；（2）求二面角 D-AP-B 的余弦值；（3）试判断直线 MN 与平面
8、 PAB 的位置关系，并给出证明.19（12 分）设函数 f xxaxb，（1）当1a，2b，求不等式 6f x 的解集；（2）已知0a，0b，f x的最小值为 1，求证：14921214ab.20（12 分）如图，在三棱柱ADEBCF中，ABCD是边长为 2 的菱形，且60BAD，CDEF是矩形，1ED，且平面CDEF 平面ABCD，P点在线段BC上移动（P不与C重合），H是AE的中点.（1）当四面体EDPC的外接球的表面积为5时，证明：/HB.平面EDP（2）当四面体EDPC的体积最大时，求平面HDP与平面EPC所成锐二面角的余弦值.21（12 分）已知非零实数,a b满足ab （1）求证
9、：332222aba bab；（2）是否存在实数，使得2211baabab恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由 22（10 分）已知椭圆2222:1(0)xyabab过点2(2,)2，设椭圆的上顶点为B，右顶点和右焦点分别为A，F，且56AFB（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线:(1)l ykxn n 交椭圆于P，Q两点，设直线BP与直线BQ的斜率分别为BPk，BQk，若1BPBQkk，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
10、题目要求的。1C【解析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：若an是等比数列，则89891,0SaaSqq，若10a，则898910SaaSq，即98SS成立，若98SS成立，则898910SaaSq，即10a，故“10a”是“98SS”的充要条件，故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.2C【解析】设32ykx，则k的几何意义为点(,)x y到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论.【详解】解：设32ykx，则k的几何意义为点(,)P x y到点(2,3)D的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图
11、：由图可知当过点D的直线平行于x轴时，此时302ykx成立；32ykx取所有负值都成立；当过点A时，32ykx取正值中的最小值，1(1,1)0 xAxy，此时3132212ykx；故32yx的取值范围为(,02,)；故选：C.【点睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键 对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在 3D【解析】直接相乘，得1 3i，由共轭复数的性质即可得结果【详解】21()()1 3ziii 其共轭复数为1 3i.故选：D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.4A【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘
12、除运算化简得答案【详解】解：由32i zi，得 2323223iiiziii，23zi 故选A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 5B【解析】结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图，由几何概型公式可知：224513.137101000SS正圆.故选：B【点睛】本题考查随机模拟的概念和几何概型，属于基础题 6A【解析】设圆的半径为r,每个等腰三角形的顶角为360n,则每个等腰三角形的面积为21360sin2rn,由割圆术可得圆的面积为221360sin2rnrn,整理可得3602sinnn,当180n 时即可为所求.【详解】由割圆术可知当 n 变得很
13、大时,这 n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为r,每个等腰三角形的顶角为360n,所以每个等腰三角形的面积为21360sin2rn,所以圆的面积为221360sin2rnrn,即3602sinnn,所以当180n 时,可得3602sinsin218018090,故选:A【点睛】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.7C【解析】根据函数 f x的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析，由此得出正确结论的编号.【详解】f x的定义域为R.由于 fxf x，所以 f x为偶函数，故正确.由于3132sincos,sincos66624442ff，64ff，所以 f
14、 x在区间,02上不是单调递增函数，所以错误.当0 x 时，sincossincos2sin24fxxxxxx，且存在4x，使sincos2444f.所以当0 x 时，2f x；由于 f x为偶函数，所以xR时 2f x，所以 f x的最大值为2，所以错误.依题意，(0)sin 0cos01f，当02x时，3sincos,0,2223sincos,22xxxxf xxxx或，所以令sincos0 xx，解得74x，令sincos0 xx，解得54x.所以在区间0,2，f x有两个零点.由于 f x为偶函数，所以 f x在区间2,0有两个零点.故 f x在区间2,2上有4 个零点.所以正确.综上
15、所述，正确的结论序号为.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8D【解析】由 1221f xf xxx变形可得1122x fxx fx,可知函数()()g xxf x在(0,)x为增函数,由()20 xg xeax恒成立,求解参数即可求得取值范围.【详解】(0,),x 1122x f xx f x,即函数2()()xg xxf xeax在(0,)x时是单调增函数.则()20 xg xeax恒成立.2xeax.令()xem xx,则2(1)()xxem xx(0,1)x时,()0,()m xm x单调递减,(1,)x时()0
16、,()m xm x单调递增.min2()(1),2eam xmea 故选:D.【点睛】本题考查构造函数,借助单调性定义判断新函数的单调性问题,考查恒成立时求解参数问题,考查学生的分析问题的能力和计算求解的能力,难度较难.9A【解析】设(,)zabi a bR，由iizz 得：()(1)abi iabi，由复数相等可得,a b的值，进而求出z，即可得解.【详解】设(,)zabi a bR，由iizz 得：()(1)abi iabi，即(1)aibabi，由复数相等可得：1baab，解之得：1212ab，则1122zi，所以1212zi，在复平面对应的点的坐标为1 1(,)2 2，在第一象限.故选
17、：A.【点睛】本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题.10D【解析】由(0)0f可得1a，所以22()log(1)(0)f xxxx，由()f x为定义在R上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知()yf x在R上单调递增，注意到(2)(2)5ff ，再利用函数单调性即可解决.【详解】因为()f x在R上是奇函数.所以(0)0f，解得1a，所以当0 x 时，22()log(1)f xxx，且0,)x时，()f x单调递增，所以()yf x在R上单调递增，因为(2)5(2)5ff，故有342x，解得2x .故选：D.【点睛】本题考查利用
18、函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.11C【解析】由题意可得PA 面ABC，可知PABC，因为ABBC，则BC 面PAB，于是BCPB.由此推出三棱锥PABC外接球球心是PC的中点，进而算出2CP，外接球半径为 1，得出结果.【详解】解：由DAAB，翻折后得到PAAB，又PAAC，则PA 面ABC，可知PABC 又因为ABBC，则BC 面PAB，于是BCPB，因此三棱锥PABC外接球球心是PC的中点 计算可知2CP，则外接球半径为 1，从而外接球表面积为4 故选：C.【点睛】本题主要考查简单的几何体、球的表面积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力
19、、运算求解能力及创新意识，属于中档题 12C【解析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1313，【解析】转化39logxyx(0 x)为233log(log1)1yx,即得解.【详解】由题意：3log9xyx（）(0 x)23333331loglog
20、log 9log2log(log1)113yxxxxxy .故答案为：13，【点睛】本题考查类比法求函数的值域，考查了学生逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.1413【解析】在圆上其他位置任取一点 B，设圆半径为 R，其中满足条件 AB弦长介于R与3R之间的弧长为 132R，则 AB 弦的长度大于等于半径长度的概率 P=1232RR=13；故答案为：13 1514 114 【解析】首先求得 a 的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得 D的值，由方差的性质计算21D的值即可.【详解】由题意可知2114aa，解得32a （舍去）或12a.则 11111012444E ，则 2221
21、111111110142444416D ，由方差的计算性质得 112144DD.【点睛】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.161【解析】建系，设APm，表示出P点坐标，则()162OP BQOP OQOBOP OBm，根据m的范围得出答案【详解】解：以O为原点建立平面坐标系如图所示：则(4,0)A，(4,0)B，(2C，2 3)，设(04)APmm，则1(42Pm，3)2m，1(42OPm，3)2m，(4,0)OB，0OQ OP，()162OP BQOP OQOBOP OBm，显然当m取得最大值 4 时，OP BQ
22、取得最小值 1 故答案为：1 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）当12a 时，f x在0,1上递增，在1,上递减；当112a时，f x在0,1上递增，在11,21a上递减，在1,21a上递增；当1a 时，f x在0,上递增；当1a 时，f x在10,21a上递增，在1,121a上递减，在1,上递增；（2）证明见解析【解析】（1）对 f x求导，分12a，112a，1a 进行讨论，可得 f x的单调性；（2）f x在定义域内是是增函数，由（1）可知1a，21ln22fxxxx，设12xx，可得
23、 12321 f xf xf，则1201xx，设 23,0,1g xfxf xx，对 g x求导，利用其单调性可证明122xx.【详解】解：f x的定义域为0,，因为 21ln22axfxxax，所以 2121121211212xaxaxaxaxxxxfax，当12a 时，令 00fxx，得01x，令 00fxx，得1x；当112a时，则1121a，令 00fxx，得01x，或121xa，令 00fxx，得1121xa；当1a 时，0fx，当1a 时，则10121a，令 00fxx，得1121xa；综上所述，当12a 时，f x在0,1上递增，在1,上递减；当112a时，f x在0,1上递增，
24、在11,21a上递减，在1,21a上递增；当1a 时，f x在0,上递增；当1a 时，f x在10,21a上递增，在1,121a上递减，在1,上递增；（2）f x在定义域内是是增函数，由（1）可知1a，此时 21ln22fxxxx，设12xx，又因为 12321 f xf xf，则1201xx，设 23,0,1g xfxf xx，则 223112 12022 xxxgxfxfxxxxx对于任意0,1x成立，所以 g x在0,1上是增函数，所以对于0,1x，有 12130 g xgf，即0,1x，有 230 fxf x，因为101x，所以 11230 fxf x，即 212f xfx，又 f x
25、在0,递增，所以212xx，即122xx.【点睛】本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合性大，属于难题.18（1）1510（2）55（3）直线/MN平面PAB，证明见解析 【解析】取AD中点O，连接OC，则OCAD，再由已知证明OP 平面ABCD，以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PAB的一个法向量n（1）求出CM的坐标，由n与CM所成角的余弦值可得直线CM与平面PAB所成角的正弦值；（2）求出平面PAD的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角DAPB的余弦值；（
26、3）求出MN的坐标，由0n MN，结合MN 平面PAB，可得直线/MN平面PAB【详解】底面ABCD是边长为 2 的菱形，60ADC，ACD为等边三角形 取AD中点O，连接OC，则OCAD，PAD为等边三角形，OPAD，又平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，OP平面ABCD 以O为坐标原点，分别以OC，OD，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系 则(0A，1，0)，(0D，1，0)，(3C，0，0)，(3B，2，0)，(0P，0，3)，(0M，12，3)2，(3N，1，0)(0,1,3)AP，(3,1,0)AB，设平面PAB的一个法向量为n(x,y,z)由3030n
27、 APyzn ABxy，取3y，得(1,3,1)n（1）证明：设直线CM与平面PAB所成角为，13(3,)22CM，则|315sin|cos,|1052|n CMn CMnCM，即直线CM与平面PAB所成角的正弦值为1510；（2）设平面DAP的一个法向量为(1,0,0)m，由15cos,|551n mn mnm，得二面角DAPB的余弦值为55；（3）33(3,)22MN，3 333022n MN，又MN 平面PAB，直线/MN平面PAB【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题 19（1）5|
28、2x x 或72x；（2）证明见解析【解析】（1）将 f x化简，分类讨论即可；（2）由（1）得1ab，14114(21)(21)21214 2121ababab，展开后再利用基本不等式即可.【详解】（1）当1a 时，21,1()213,1221,2xxf xxxxxx ，所以1()6216xf xx 或1236x 或2216xx 解得52x 或72x，因此不等式 6f x 的解集的5|2x x 或72x （2）()|()()|1f xxaxbxaxbab 根据 21214ab 14114(21)(21)21214 2121ababab 1214(21)542121baab 19(52 4)4
29、4，当且仅当15,66ab时，等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.20（1）证明见解析（2）78【解析】（1）由题意，先求得P为BC的中点，再证明平面/HMB平面EDP，进而可得结论；（2）由题意，当点P位于点B时，四面体EDPC的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.【详解】（1）证明：当四面体EDPC的外接球的表面积为5时.则其外接球的半径为52.因为ABCD时边长为 2 的菱形，CDEF是矩形.1ED，且平面CDEF 平面ABCD.则EDABCD 平面，5EC.则EC为四面体EDPC外接球的直径
30、.所以90EPC，即CBEP.由题意，CBED，EPEDE，所以CBDP.因为60BADBCD，所以P为BC的中点.记AD的中点为M，连接MH，MB.则MBDP，MHDE，DEDPD，所以平面/HMB平面EDP.因为HB 平面HMB，所以/HB平面EDP.（2）由题意，ED 平面ABCD，则三棱锥EDPC的高不变.当四面体EDPC的体积最大时，DPC的面积最大.所以当点P位于点B时，四面体EDPC的体积最大.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则0,0,0D，0,0,1E，3,1,0B，31 1,22 2H，0,2,0C.所以3,1,0DB，31 1,22 2DH，0,2,
31、1EC，3,1,1EB.设平面HDB的法向量为111,mx y z.则1111130,3110,222DB mxyDH mxyz 令11x，得1,3,2 3m.设平面EBC的一个法向量为222,nx y z.则2222220,30,EC nyzEB nxyz 令23y，得3,3,6n.设平面HDP与平面EPC所成锐二面角是，则7cos8m nm n.所以当四面体EDPC的体积最大时，平面HDP与平面EPC所成锐二面角的余弦值为78.【点睛】本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题 21（1
32、）见解析（2）存在，1,3 【解析】（1）利用作差法即可证出.（2）将不等式通分化简可得2222babaa bab，讨论0ab 或0ab，分离参数，利用基本不等式即可求解.【详解】3322221222aba bababaabbab ab 2222324babaabbabab,0abab 又223024bab 332222aba bab 22211baabab 即3322babaa bab 即 2222*babaa bab 当0ab 时，*即22221bababaa bab恒成立 22bab aaba b（当且仅当ab时取等号），故3 当时 0,*ab 22221bababaa bab恒成立 2
33、2bababaababab （当且仅当 ab时取等号），故1 综上，1,3 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想，属于基础题.22（1）2214xy （2）直线l过定点，该定点的坐标为(2,1)【解析】（1）因为椭圆过点2(2,)2，所以222112ab，设O为坐标原点，因为56AFB，所以6BFO，又22|BFcba，所以12ba，将联立解得21ab（负值舍去），所以椭圆的标准方程为2214xy （2）由（1）可知(0,1)B，设11(,)P x y，22(,)Q xy 将ykxn代入2214xy，消去y可得222(14)8440kxknxn，则22222(8)4(14)(44)16(41)0knknkn，122814knxxk，21224414nx xk，所以12212121121212121211()()2(1)()BPBQyyx kxnxx kxnxkx xnxxkkxxx xx x 222224482(1)8(1)214141444(1)(1)114nknknk nkkknnnnk，所以21nk，此时22164(21)1640kkk ，所以k0，此时直线l的方程为21ykxk，即(2)1yk x，令2x，可得1y ，所以直线l过定点，该定点的坐标为(2,1)