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1、2022-2023 学年北师大版八年级数学上册第 1 章勾股定理知识点分类复习题（附答案）一勾股定理 1在ABC 中，已知 AB1，AC2，要使B 是直角，则 BC 的长度是（）A1 B C D 2如图，ABC 中，ABAC5，BC6，ADBC，AC 边上中线 BE 交 AD 于点 O，则BCE 的面积为（）A8 B7 C6 D5 3如图，在ABC 中，C90，AC6，AB10，CAB 的平分线交 BC 于点 D，则 SABD为（）A6 B9 C12 D15 4直角三角形三边的长分别为 3、4、x，则 x 可能取的值为（）A5 B6 或 C5 或 D 5已知 RtABC 中，C90，若 a+b
2、14cm，c10cm，则 RtABC 的面积是（）A24cm2 B36cm2 C48cm2 D60cm2 6如图，在 RtABC 中，BCA90，AC10，BC24，分别以它的三边为直径作三个半圆，则阴影部分面积为 7如图，在 RtABC 中，C90，ED 垂直平分 AB 于点 D，BC5，AC10，则 AE的值是 8如图，在 RtABC 中，C90，D 为 AC 上一点若 DADB12，ABD 的面积为 60，求 CD 长度 二勾股定理的证明 9如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 2，直角三角形较长的直角边为 m，较
3、短的直角边为 n，那么（m+n）2的值为（）A23 B24 C25 D26 10观察、思考与验证（1）如图 1 是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 ；（2）如图 2 所示，BD90，且 B，C，D 在同一直线上 试说明：ACE90；（3）伽菲尔德（1881 年任美国第 20 届总统）利用（1）中的公式和图 2 证明了勾股定理（发表在 1876 年 4 月 1 日的新英格兰教育日志上），请你写出验证过程 三勾股定理的逆定理 11在ABC 中，A，B，C 的对边分别记为 a，b，c，下列结论中不正确的是（）A如果ABC，那么ABC 是直角三角形 B如果 a2b2c2，那么ABC 是直角三角
4、形且C90 C如果A：B：C1：3：2，那么ABC 是直角三角形 D如果 a2：b2：c29：16：25，那么ABC 是直角三角形 12在正方形网格中，A、B、C、D 均为格点，则BACDAE 四勾股数 13下列数据不是勾股数的是（）A7，14，16 B5，12，13 C3，4，5 D9，40，41 五勾股定理的应用 14将一根长为 25 厘米的筷子置于底面直径为 5 厘米，高为 12 厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为 h 厘米，则 h 的取值范围是（）A12h13 B11h12 C11h13 D10h12 15由于台风的影响，一棵树在离地面 6m 处折断，树顶落在离树干底部 8m
5、处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A8m B10m C16m D18m 16如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（）A25 海里 B30 海里 C35 海里 D40 海里 17 如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是 13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是 5cm，则小正方形的边长为（）A4cm B5cm C6cm D7cm 18有一块边长为 24 米的正方形绿地，
6、如图所示，在绿地旁边 B 处有健身器材，由于居住在 A 处的居民践踏了绿地，小明想在 A 处树立一个标牌“少走米，踏之何忍”请你计算后帮小明在标牌的“”填上适当的数字是（）A3 米 B4 米 C5 米 D6 米 19如图，一架梯子 AB 长 10 米，底端离墙的距离 BC 为 6 米，当梯子下滑到 DE 时，AD2 米，则 BE 米 六平面展开-最短路径问题 20如图，有一个正方体盒子，棱长为 1cm，一只蚂蚁要从盒底点 A 沿盒的表面爬到盒顶的点 B，蚂蚁爬行的最短路程是（）Acm B3cm Ccm D2cm 21如图，长方体的底面边长为 1cm 和 3cm，高为 6cm如果用一根细线从点
7、A 开始经过 4个侧面缠绕一圈到达 B，那么所用细线最短需要（）A12cm B11cm C10cm D9cm 22如图，圆柱形容器高为 18cm，底面周长为 24cm，在杯内壁离杯底 4cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 2cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为（）A18 B15 C20 D25 23如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为 20、3、2，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到 B点最短路程是 24如图，从帐篷支撑竿 AB 的顶部 A 向
8、地面拉一根绳子 AC 固定帐篷，若绳子的长度为 5.5米，固定点 C 到帐篷支撑杆底部 B 的距离是 4.5 米，现有一根高为 3.2 米的竿，它能否做帐篷的支撑竿，请说明理由 25某中学有一块四边形的空地 ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，ABC90，BC6m，AB8m，AD26m，CD24m（1）求出空地 ABCD 的面积（2）若每种植 1 平方米草皮需要 100 元，问总共需投入多少元？参考答案 一勾股定理 1解：B 是直角，故 AC 为ABC 的斜边，AB 为直角边，BC 故选：D 2解：ABAC5，ABC 是等腰三角形，BC6，ADBC，CDBC3，AD，SABC
9、12，AC 边上中线 BE 交 AD 于点 O，SBCESABC6 故选：C 3解：过点 D 作 DEAB 于 E，在ABC 中，C90，AC6，AB10，则 BC8，AD 是CAB 的平分线，DEAB，C90，CDED，SABC6824，SABD2415，故选：D 4解：当 x 为斜边时，x5；当 4 为斜边时，x x 的值为 5 或；故选：C 5解：a+b14（a+b）2196 2ab196（a2+b2）96 ab24 故选：A 6解：ACB90AC10，BC24，AB26，S阴影（）2+（）2+BCAC（）2（）2+2410（）2120，故答案为：120 7解：ED 垂直平分 AB 于点
10、 D，AEBE，设 AEx，则 BEx，故在 RtECB 中，EC2+BC2EB2，（10 x）2+52x2，解得：x 故答案为：8解：C90，DA12，ABD 的面积为 60，SDABDABC60，即12BC60 BC10 在 RtBCD 中，CD2+BC2BD2，即 CD2+102122，解得 CD2（负值舍去）二勾股定理的证明 9解：大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 2，m2+n213，2mn13211，（m+n）213+1124，故选：B 10（1）解：这个公式是完全平方公式：（a+b）2a2+2ab+b2；理由如下：大正方形的边长为 a+b，大正方形的面积（a+b）2，又大正
11、方形的面积两个小正方形的面积+两个矩形的面积a2+b2+ab+aba2+2ab+b2，（a+b）2a2+2ab+b2；故答案为：（a+b）2a2+2ab+b2；（2）证明：ABCCDE，BACDCE，ACB+BAC90，ACB+DCE90，ACE90；（3）证明：BD90，B+D180，ABDE，即四边形 ABDE 是梯形，四边形 ABDE 的面积（a+b）（a+b）ab+c2+ab，整理得：a2+b2c2 三勾股定理的逆定理 11解：如果ABC，那么ABC 是直角三角形，A 正确；如果 a2b2c2，那么ABC 是直角三角形且B90，B 错误；如果A：B：C1：3：2，设Ax，则B2x，C3
12、x，则 x+3x+2x180，解得，x30，则 3x90，那么ABC 是直角三角形，C 正确；如果 a2：b2：c29：16：25，则如果 a2+b2c2，那么ABC 是直角三角形，D 正确；故选：B 12解：如图所示，把ADE 移到CFG 处，连接 AG，此时DAEFCG，CFBD，BACFCA，BACDAEFCAFCGACG，设小正方形的边长是 1，由勾股定理得：CG212+3210，AC2AG212+225，AC2+AG2CG2，ACAG，CAG90，即ACG 是等腰直角三角形，ACG45，BACDAE45，故答案为：45 四勾股数 13解：A、72+142162，不能构成直角三角形，不
13、是正整数，故符合题意；B、52+122132，能构成直角三角形，是整数，故不符合题意；C、32+4252，三边是整数，能构成直角三角形，故不符合题意；D、92+402412，能构成直角三角形，是正整数，故不符合题意 故选：A 五勾股定理的应用 14解：当筷子与杯底垂直时 h 最大，h 最大251213cm 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小，如图所示：此时，AB13cm，故 h251312cm 故 h 的取值范围是 12cmh13cm 故选：A 15解：由题意得 BC8m，AC6m，在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理得：AB10 米 所以大树的高度是 10+616 米 故选：C
14、16解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向，BAC90，两小时后，两艘船分别行驶了 16232 海里，12224 海里，根据勾股定理得：40（海里）故选：D 17解：设直角三角形较短的直角边为 a，较长的直角边为 b，斜边为 c，则 c13，a5，b12，小正方形的边长为 ba1257（cm），故选：D 18解：因为是一块正方形的绿地，所以C90，由勾股定理得，AB25 米，计算得由 A 点顺着 AC，CB 到 B 点的路程是 24+731 米，而 AB25 米，则少走 31256 米 故选：D 19解：在 RtABC 中，根据勾股定理，可得：AC8（米），DCACAD826（米），在 RtD
15、CE 中，CE8（米），BECEBC862（米），故答案为：2 六平面展开-最短路径问题 20解：如图，将正方体展开，则线段 AB 即为最短的路线，这个正方体的棱长为 1cm，AB（cm），蚂蚁爬行的最短路程是cm 故选：A 21解：将长方体展开，连接 A、B，则 AA1+3+1+38（cm），AB6cm，根据两点之间线段最短，AB10cm 故选：C 22解：如图：将杯子侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A，连接 AB，则 AB 即为最短距离，AB20（cm）故蚂蚁从外壁 A 处到达内壁 B 处的最短距离为 20cm 故选：C 23解：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，长为 20，宽
16、为（2+3）3，蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程是此长方形的对角线长 设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短路程为 x，由勾股定理得：x2202+（2+3）32252，解得：x25 故答案为 25 24解：ABC 中，AC5.5 米，BC4.5 米，AB3.2 米；AC230.25，BC220.25，AB210.24；30.2520.25+10.24，不能做帐篷的支撑竿 25解：（1）如图，连接 AC，在直角三角形 ABC 中，ABC90，BC6m，AB8m，AC10m，AC2+CD2102+242676AD2，ACD90，S四边形ABCDSABC+SACD，答：空地 ABCD 的面积是 144m2（2）14410014400（元），答：总共需投入 14400 元