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1、大一上学期高数期末考试一、单项选择题 (本大题有 4小题,每小题 4分,共 16分)1.设 f(x)（A）f (0)0 处有(cosx(xsin x),则在 x1ff（）(0)（C）0（(0)2BD)f(x)）不可导.设(x)11x，(x)3 33x，则当 x1 时（）2.（A）(x)与是等价无穷小；(x)x.是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）(x)与(x)设函数y1（C）(x)是比(x)高阶的无穷小；（D）(x)是比(x)高阶的无穷小.x3.f(t)dt若 F(x)区间 上(1,1)二阶可导且f (x)00(2 tx)，其中 f(x)在，则（）.（A）函数 F(x)必在 x0处取得极大值
2、；（B）函数 F(x)必在 x0处取得极小值；（C）函数 F(x)在 x0处没有极值，但点 (0,F(0)为曲线 yF(x)的拐点；（在 x0处没有极值，点(0,F(0)也不是曲线yF(x)的拐点。D）函数 F(x)14.设 f(x)是连续函数，且f(x)x2f(t)dt,则 f(x)(0 x2x2（A）2（）22（C）x 1（BD）x 2.二、填空题（本大题有4 小题，每小题 4 分，共 16分）lim(1 3 x)sin x.x05.已知cos xcos x是 f(x)的一个原函数,则 f(x)d x6.xx2.lim(cos2cos22cos 2n1)7.nnnnn.12x2 arcsi
3、nx12dx8.11x.2三、解答题（本大题有 5 小题，每小题 8分，共 40分）求9.x(1x 7)d x.xex，x01设 f(x)求f(x)dx 10.2 xx2，0 x1311.x yy(x)由方程esin(xy)1确定，求y(x)以及y(0).x7)112.g(x)设函数f(x)连续，并讨论g(x)0，且x 0 x，A为常数.求在 x 0处的连续性.y(1)19的解.13.求微分方程xy2 yx ln x满足limg(x)f(xt)dtf(x)A四、解答题（本大题 10分）y，且曲线上任一点y(x)(x 0)，过点14.已知上半平面内一曲线yx xM(x,y)轴、直线0所围成 0
4、0处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、面积的 2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题 10 分）(0,1)15.过坐标原点作曲线yln x的切线，该切线与曲线yln x及 x轴围成平面图形 D.(1)求 D 的面积 A；(2)求 D 绕直线 x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2 小题，每小题 4 分，共 8分）16.设函 数qf(x)在0,1上 连续 且 单调 递减，证 明 对任意 的1q 0,1，f(x)d x q f(x)dx00.f(x)d x10f(x)cos xdx017.设函数 f(x)在0,上连续，且 0 x，0,2证明：在0,内至少存在两个不同
5、的点，使f(.1)f(2)0.（提F(x)f(x)dx0示：设）解答一、单项选择题(本大题有 4小题,每小题1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4 小题，每小题1 cos xx4 分,共 16分)4 分，共 16分）6.6.5.e三、解答题（本大题有9.解：方程两边求导xy2(2.8.7.35 小题，每小题8 分，共 40分）)2c.e(1y)xxyc oxys(xy)(y)y(x)ee7yy cos(xy)x cos(xy)1x0,y0，y(0)610.解：原 式u17x7 x dx(1u)duu(1u)du17(u12u)du117(ln|u|2 ln|u 1|)c1ln72
6、ln|1x7|x|C7710111.解：x2f(x)dxxe dx2 x x dx33001xd(ex)1 (x 1)2 dx3000 xexexcos2d (令 x1sin )323f(0)42 e112.解：由0，知 g(0)0。x1xtf(u)duug(x)0f(xt)dt0 x(x0)xxf(x)f(u)dug(x)00)2(xxxf(u)dug(0)lim02limf(x)Ax0 x 02x2 xxxf(x)f(u)dulim g(x)0AAlimAx 0 x0 x222，g(x)在 xdy213.解：yln xdxx22dxdxyex(exln xdxC)1 x ln x1 xCx
7、239y(1)11C,01yx ln xx9，39四、解答题（本大题10 分）x14.解：由已知且y2y，0y d xx求导得y2 y y2r 2 0解出特征根：r11,r22.x2 x将此方程关于特征方程：y C1 er其通C2 e解为代入初始条件y(0)y (0)1C21,1C2，得33y2x1ee2 x故所求曲线方程为：330处连续。五、解答题（本大题10 分）15.解：（1）根据题意，先设切点为(x,ln x)00yln x01e1x0(xx0)，切线方程：y由于切线过原点，解出1x0ex，从而切线方程为：12A0(eyey)dye1则平面图形面积2（2）三角形绕直线 x=e 一周所得
8、圆锥体体积记为V1，则3eyln x曲线与 x轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 一周所得旋转体体积为 V2V111V20(eey)2 dy2D 绕直线 x=e旋转一周所得旋转体的体积6六、证明题（本大题有2 小题，每小题4 分，共 12分）V V1V2(5e1q12 e 3)q1qq16.证明：0f(x)d x q f(x)dx0f(x)d x q(f(x)d x00f(x)dx)q1f (1)f (2 )(1 q)f(x)d x q f(x)dx1 0,q 20q q,1q(11q)f(1)q(1q)f(2)0故有：qf(x)d x0q f(x)dx0 x证毕。17.F(x)0f(t)dt,0 x证：构造辅助函数：上可导。F (x)00。其满足在)0 0,上连续，在(0,)f(x)，且 F(0)F(，由题设，有f(x)cos xdx0cos xdF(x)F(x)cos x|0sin x0F(x)dxF(x)sin xdx 0有 0F ()，由积分中值定理，存在(0,)，使F()sin0即0综上可 知尔定理，知存在1F(0)F()F()0,(0,).在区间 0,上分别 应用罗(0,)和2(,)，使F(1)0及F(2)0，即f()1f(2)0.