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1、例例说说求求函函数数的的最最大大值值和和最最小小值值的的方方法法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1例说求函数的最大值和最小值的方法例 1.设 x 是正实数，求函数y x2 x 解：先估计 y 的下界。3的最小值。xy (x2 2x 1)3(x (x 1)23(x 511 2)5x)25x又当 x=1 时，y=5，所以 y 的最小值为 5。说明 本题是利用“配方法”先求出 y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：y (x2 2x 1)3(x (x 1)23(x 711 2)7x)2
2、7x但 y 是取不到 7 的。即 7 不能作为 y 的最小值。x2 2x 3例 2.求函数y 2的最大值和最小值。2x 2x 1解 去分母、整理得：(2y1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.当y 1时，这是一个关于 x 的二次方程，因为 x、y 均为实数，所以2=2(y+1)24(2y1)(y+3)0,y2+3y-40,所以 4y11又当x 时，y=4;x=2 时，y=1.所以 ymin=4，ymax=1.32说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。例 3.求函数y 2x 5 x 1，x0,1的最大值解：设x 1 t t 1,2，则 x=t21y=2(t21)+5t=2t2+5t+1593
3、3原函数当 t=,即x 时取最大值4168例 4 求函数y x 13,x 2的最小值和最大值2x 2x 5 2解：令 x1=t (1 t 1)2则y tt2 414t tymin=21,ymax175例 5.已知实数 x,y 满足 1x2+y24,求 f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值解：xy 12(x y2)232(x2 y2)6f(x,y)x2 y2 xy 又当x y 2时 f(x,y)=6，故 f(x,y)max=61又因为xy (x2 y2)23f(x,y)x2 y2 xy 121(x y2)22又当x 2211,y 时 f(x,y)=，故 f(x,y)min=2222x4 x
4、25例 6.求函数y 的最大值和最小值(x21)2解：原函数即y 511222(x 1)x 1令t 1 (0t1)则 y=5t2t+12x 119，当 x=0 时，函数取最大值 520当 x=3 时，函数有最小值例 7.求函数f(x)|111|的最大值xx21111解：设 n,，则x2x2f(x)=|11 n|x2121由于 01,故 f(x)，又当 x=(k 为整数)时 f(x)=,22k 12故 f(x)max=12例 8.求函数y x43x26x 13 x4 x21的最大值解：原函数即f(x)(x 3)2(x22)2(x 0)2(x21)2在直角坐标系中，设点 P(x,x2),A(3,2
5、),B(0,1)，则4f(x)=|PA|PB|AB|=10又当x 37 1时，f(x)=106故 f max(x)=10例 9.设 a 是实数,求二次函数 y=x24ax+5a23a 的最小值 m，当 0a24a210 中变动时，求 m 的最大值解：y=x24ax+5a23a=(x2a)2+a23a由 0a24a210 解得：2 a 2 6或2 6a6故当 a=6 时，m 取最大值 18例 10.已知函数 f(x)=log2(x+1)，并且当点(x,y)在 y=f(x)的图象上运动时，点x y(,)在 y=g(x)的图象上运动，求函数 p(x)=g(x)f(x)的最大值。3 2x y解 因为点
6、(x,y)在 y=f(x)的图象上，所以 y=log2(x+1)。点(,)在 y=g(x)的图象3 2yx上，所以 g()故23x1g()log(x 1),321g(x)log2(3x 1)2113x 1log2(3x 1)log2(x 1)log2222(x 1)p(x)g(x)f(x)5令u 3x 13(x 1)22313299u 2()，则222x 1x 1488(x 1)(x 1)(x 1)当13919，即x 时，u，所以umaxx 1483819log2。28从而pmax(x)ax2bx 6例 11.已知函数y 的最小值是 2，最大值是 6，求实数 a、b 的值。2x 2解：将原函数
7、去分母，并整理得(ay)x2+bx+(62y)=0.若 y=a，即 y 是常数，就不可能有最小值 2 和最大值 6 了，所以 y a。于是by2(a+3)y+3a2=b24(ay)(62y)0,所以80.由题设，y 的最小值为 2，最大值为 6，所以(y2)(y-6)0,即 y28y+120.a 3 8由(1)、(2)得解得：a 5,b 2 6b2123a 8例 12.求函数f(x)8x x2 14x x248的最小值和最大值。28x x 0解 先求定义域。由最 6x8.214x x 48 0f(x)8 x(x x 6)6 8 xx x 6,x6,86当 x6,8，且 x 增加时，x x 6增
8、大，而8 x减小，于是 f(x)是随着 x 的增加而减小，即 f(x)在区间6，8上是减函数。所以fmax(x)=f(8)=0,fmin(x)=f(6)=02 3xy 2yz的最大值222z y z例 13.设 x,y,z 是 3 个不全为零的实数，求分析：欲求xy 2yz的最大值，只须找一个最小常数 k，使得222z y zxy+2yzk(x2+y2+z2)x2+y22xy (1)y2+z221yz x2+y2+z22xy+21yz1令 2=1,则=5解：x212y 525xy2,424y z2yz55x2 y2 z25(xy 2yz)即xy 2yz52222x y z5xy 2yz的最大值
9、为2222z y z又当 x=1,y=5，z=2 时，上面不等号成立，从而7当x是无理数时x例 14.设函数 f:(0,1)R 定义为 f(x)p 1求 f(x)在p当x,(p,q)1,0 p qqq7 8区间(,)上的最大值8 97 8解：(1)若 x(,)且 x 是无理数，则8 98f(x)=x9p7 8(2)若 x(,)且 x 是有理数，设x，其中(p,q)=1,0pq,由于q8 97q 8p7q 1 8p7p88q 1所以 7q 8p 88q999p 8q9p 1 8q63q+964q8，q178q 11pp 18q 888169因此f(x)f()qqq9q99q171516f()17177 81516f(x)在区间(,)上的最大值f()8 91717作业：1.若 3x2+2y2=2x,求 x2+y2的最大值2.设 x,y 是实数，且x2 2xy y22x 2y 6 0求 u=x+y 的最小值83.已知 x1,x2是方程 x2(k2)x+k2+3k+5=0(kR)的两个实数根，求 x12+x22的最大值和最小值4.求函数y 2x23x 4 x22x的最小值9