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1、教育资源习题课习题课机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的判断要点归纳机械能守恒的条件绝不是合力的功等于零，更不是合力为零；“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。1利用机械能的定义判断：判断物体动能和势能的和即机械能是否变化，如匀速上升、匀速下降、沿斜面匀速运动的物体机械能必定不守恒。2用做功判断：看物体或系统是否只有重力(或弹簧的弹力)做功。3用能量转化来判断：看是否存在其他形式的能和机械能相互转化，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。4对一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。精典示例例 1(多选)如图 1 所示，斜
2、劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是()图 1A斜劈对小球的弹力不做功B斜劈与小球组成的系统机械能守恒C斜劈的机械能守恒D小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量解析小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功，故 A 选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故C 选项错误；不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故 B、D 选项正确。答案BD针对训练 1(多选)如图 2 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是()图
3、 2A甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒教育资源教育资源B乙图中物体匀速运动，机械能守恒C丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒D丁图中，轻弹簧将 A、B 两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒解析题图甲中无论火箭匀速上升还是加速上升，都有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒；题图乙中拉力 F 做功，机械能不守恒；题图丙中，小球受到的所有力都不做功，机械能守恒；题图丁中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒。答案CD含弹簧类机械能守恒问题精典示例例 2 如图 3 所示，固定的竖
4、直光滑长杆上套有质量为 m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()图 3A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了 3mgLC圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变解析圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒。圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环重力势能减少了 3mgL，由机械能守恒可知，弹簧的弹性势能增加3mgL，故
5、选项 B 正确。答案B利用机械能守恒定律分析问题时，一定要注意守恒条件的应用，灵活选取研究对象。本题中圆环的机械能不守恒，但圆环与弹簧所组成的系统的机械能守恒。针对训练 2 如图 4 所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4 kg 的木块沿光滑的水平面以 5 m/s 的速度运动并开始挤压弹簧，求：图 4教育资源教育资源(1)弹簧的最大弹性势能；(2)木块被弹回速度增大到3 m/s 时弹簧的弹性势能。解析(1)木块压缩弹簧的过程中，木块和弹簧组成的系统机械能守恒，弹性势能最大112时，对应木块的动能为零，故有：Epm mv20 45 J50 J。22112(2)由机械能守恒有 mv20Ep
6、1 mv12211452 JEp1 432 J22得 Ep132 J。答案(1)50 J(2)32 J机械能守恒定律和动能定理的应用比较要点归纳机械能守恒定律和动能定理的比较规律内容机械能守恒定律E1E2表达式EkEpEAEB应用范围研究对象关注角度精典示例例3 如图5所示，某人以v04 m/s 的速度斜向上(与水平方向成45角)抛出一个小球，小球落地时速度为 v8 m/s，不计空气阻力，求小球抛出时的高度h。甲、乙两位同学看了11本题的参考解法“mgh mv2 mv2”后争论了起来。甲说此解法依据的是动能定理，乙说220此解法依据的是机械能守恒定律，你对甲、乙两位同学的争论持什么观点，请简单
7、分析，并求出抛出时的高度 h。(g 取 10 m/s2)图 51解析甲、乙两位同学的说法均正确。从抛出到落地，重力做功 mgh，动能增加 mv22只有重力或弹力做功时系统守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小无条件限制单个物体动能的变化及合力做功情况WEk动能定理教育资源教育资源11212 mv20，由动能定理可知 mgh mv mv0，所以甲说法对。222111从抛出到落地，重力势能减少mgh，动能增加 mv2 mv20，由机械能守恒定律mgh2221mv2 mv2，乙说法也对。20v2v2048抛出时的高度 hm2.4 m。2g210答案见解析对单个物体(包括地球为系统)只受重力作用时，
8、动能定理和机械能守恒定律表达式并没有区别；对两个物体组成的系统应用机械能守恒定律较方便；对有摩擦力或其他力做功的情况下要用动能定理列方程。针对训练 3 为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为 37、长为 L2.0 m 的粗糙倾斜轨道 AB，通过水平轨道 BC 与半径为 R0.2 m 的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB 段以外都是光滑的。其中AB 与 BC 轨道以微小圆弧相接，如图6 所示。一个质量 m1 kg 的小物块以初速度 v05.0 m/s 从 A 点沿倾斜轨道滑下，小物块到达 C 点时速度 vC4.0 m/s。取 g10 m/s2，si
9、n 370.6，cos 370.8。图 6(1)求小物块到达 C 点时对圆轨道压力的大小；(2)求小物块从 A 到 B 运动过程中摩擦力所做的功；(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道 DE 滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？解析(1)设小物块到达 C 点时受到圆轨道的支持力大小为N，根据牛顿第二定律有，v2CNmgmR解得 N90 N根据牛顿第三定律，小物块对圆轨道压力的大小为90 N。(2)由于水平轨道 BC 光滑，无摩擦力做功，所以可将研究小物块从 A 到 B 的运动过程转化为研究从 A 到 C 的过程。教育资源教育资源物块从 A 到 C 的过程中，根据动能定理有：112mgLsi
10、n 37Wf mv2 mv2C20解得 Wf16.5 J。(3)设小物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为 v，根据牛顿第二定律有：Nmgv2m，则 v gRR小物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：1212mv mv 2mgR2C2v2C联立得 R5g解得 R0.32 m答案(1)90 N(2)16.5 J(3)R0.32 m1(机械能守恒的判断)下列运动的物体，机械能守恒的是()A物体沿斜面匀速下滑B物体从高处以 0.9g 的加速度竖直下落C物体沿光滑曲面滑下D拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升解析物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小。物体以0.9g
11、 的加速度竖直下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为0.1mg，合力在物体下落时对物体做负功，物体机械能不守恒。物体沿光滑曲面滑下时，只有重力做功，机械能守恒。拉着物体沿斜面上升时，拉力对物体做功，物体机械能不守恒。综上，机械能守恒的是 C项。答案C2(含弹簧类机械能守恒问题)如图 7 所示，在高 1.5 m 的光滑平台上有一个质量为 2 kg的小球被一细线拴在墙上，小球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧。当烧断细线时，小球被弹出，小球落地时的速度方向与水平方向成60角，则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g 取10 m/s2)()图 7教育资源教育资源A10 JC20 JB15 JD25 Jvy
12、2解析由 2ghvy0 得：vy 2gh，即 vy 30 m/s，落地时，tan 60可得：v0v0vy1 10 m/s，由机械能守恒定律得 Ep mv2，可求得：Ep10 J，故 A 正确。tan 6020答案A3(机械能守恒与动能定理的综合应用)滑板运动是一项惊险刺激的运动，深受青少年的喜爱。如图 8 所示是滑板运动的轨道，AB 和 CD 是一段圆弧形轨道，BC 是一段长 7 m 的水平轨道。一运动员从AB 轨道上的 P 点以 6 m/s 的速度下滑，经BC 轨道后冲上 CD 轨道，到 Q 点时速度减为零。已知运动员与滑板的总质量为50 kg，h1.4 m，H1.8 m，不计圆弧轨道上的摩
13、擦(g10 m/s2)。求：图 8(1)运动员第一次经过 B 点、C 点时的速度各是多少？(2)运动员与 BC 轨道的动摩擦因数。解析(1)以水平轨道为零势能面，从P 点到 B 点，根据机械能守恒定律有121mvPmgh mv222B解得 vB8 m/s。从 C 点到 Q 点，根据机械能守恒定律有12mv mgH2C解得 vC6 m/s。(2)从 B 到 C 由动能定理，1212mglBC mvC mvB22解得 0.2。答案(1)8 m/s6 m/s(2)0.2基础过关1关于机械能守恒，下列说法中正确的是()A物体做匀速运动，其机械能一定守恒教育资源教育资源B物体所受合力不为零，其机械能一定
14、不守恒C物体所受合力做功不为零，其机械能一定不守恒D物体沿竖直方向向下做加速度为5 m/s2的匀加速运动，其机械能减少解析物体做匀速运动其动能不变，但机械能可能变化，如物体匀速上升或下降，机械能会相应的增加或减少，选项 A 错误；物体仅受重力作用，只有重力做功，或受其他力但其他力不做功或做功的代数和为零时，物体的机械能守恒，选项B、C 错误；物体沿竖直方向向下做加速度为 5 m/s2的匀加速运动时，物体一定受到一个与运动方向相反的力的作用，此力对物体做负功，物体的机械能减少，故选项D 正确。答案D2下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中选项 A、B、C 中斜面是光滑的，选项 D 中
15、的斜面是粗糙的，选项 A、B 中的 F 为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、B、D 中的木块向下运动，选项C 中的木块向上运动。在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是()解析依据机械能守恒条件：只有重力或弹力做功的情况下，物体的机械能才能守恒，由此可见，A、B 均有外力 F 参与做功，D 中有摩擦力做功，故 A、B、D 均不符合机械能守恒的条件，故答案为C。答案C3(多选)如图 1 所示，小滑块从一个固定的光滑斜槽轨道顶端由静止开始下滑，用v、t 和 h 分别表示小滑块沿轨道下滑的速率、时间和距轨道顶端的高度。如图所示的 vt 图像和 v2h 图像中可能正确的是()图 1解析小滑块
16、下滑过程中，小滑块的重力沿斜槽轨道切向的分力逐渐变小，故小滑块的1加速度逐渐变小；故A 错误，B 正确；由机械能守恒得：mgh mv2，故 v22gh，所以 v22与 h 成正比，C 错误，D 正确。答案BD4如图2 所示，在轻弹簧的下端悬挂一个质量为m 的小球 A，将小球A 从弹簧原长位置由静止释放，小球 A 能够下降的最大高度为h。若将小球 A 换为质量为 3m 的小球 B，仍从弹簧原长位置由静止释放，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球B 下降 h 时的速度为教育资源教育资源()图 2A4gh3B 4ghDgh2C 2gh解析根据系统机械能守恒得，对 A 下降 h 的过程有 mghEp，
17、对 B 下降 h 的过程有13mghEp 3mv2，解得 v2答案A5韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1 900 J，他克服阻力做功 100 J。韩晓鹏在此过程中()A动能增加了 1 900 JC重力势能减小了 1 900 JB动能增加了 2 000 JD重力势能减小了 2 000 J4gh，只有选项 A 正确。3解析由动能定理得 W合1 900 J100 J1 800 J，动能增加了 1 800 J，故 A、B 错；重力势能的变化量等于重力做功等于1 900 J，C 正确，D 错误。答案C6如图
18、 3 所示，质量为 m2 kg 的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O 处，将弹簧拉至水平原长位置A 处由静止释放，小球到达距 O 点下方 h0.5 m 处的 B 点时速度为 2 m/s。求小球从 A 运动到 B 的过程中弹簧弹力做的功(g 取 10 m/s2)。图 3解析对小球和弹簧组成的系统，只有重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，小球减11少的重力势能转化为系统的动能和弹性势能，所以 mgh mv2E弹，E弹mgh mv26 J，22W弹6 J。即弹簧弹力对小球做功为6 J。答案6 J能力提升7(多选)如图 4 所示，一个小环套在竖直放置的光滑圆形轨道上做圆周运动。小环从最高点 A
19、滑到最低点 B 的过程中，其线速度大小的平方v2随下落高度 h 变化的图像可能是四个所示图中的()教育资源教育资源图 41解析设小环在 A 点的速度为 v0，以 A 点为零势能点由机械能守恒定律得mgh mv221222 mv20得 v v02gh，可见 v 与 h 是线性关系，若 v00，B 正确；若 v00，A 正确。2答案AB8小球 P 和 Q 用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，图 5P 球的质量大于 Q 球的质量，悬挂 P 球的绳比悬挂 Q 球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图 5 所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点()AP 球的速度一定大于Q 球的速度BP 球的动能一
20、定小于Q 球的动能CP 球所受绳的拉力一定大于Q 球所受绳的拉力DP 球的向心加速度一定小于Q 球的向心加速度1解析小球由静止释放，由机械能守恒定律，可知 mgl mv2，即 v 2gl。因 mP2mv2mQ，lPlQ，vPvQ，动能大小无法判断，A、B 错误；在最低点时满足FTmg，将vlv2 2gl代入可得 FT3mg，mPmQ，故 FTPFTQ，C 正确；向心加速度 an2g，与 ml及 l 无关，故 anPanQ，D 错误。答案C9物块 A 的质量为 m2 kg，物块与坡道间的动摩擦因数为0.6，水平面光滑。坡道顶端距水平面高度为 h1 m，倾角为 37。物块从坡道进入水平滑道时，在底
21、端O 点处无机械能损失，将轻弹簧的一端连接在水平滑道 M 处并固定墙上，另一自由端恰位于坡道的底端 O 点，如图6 所示。物块A 从坡顶由静止滑下，重力加速度为g10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8，求：图 6(1)物块滑到 O 点时的速度大小；(2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能；(3)物块 A 被弹回到坡道后上升的最大高度。教育资源教育资源h1解析(1)由动能定理得 mghmgcos mv2sin 2解得 v1(2)在水平滑道上，由机械能守恒定律得 mv2Ep2代入数据得 Ep4 J(3)设物块 A 能够上升的最大高度为h1，物块被弹回过程中由动能定理得 mgh1h11mg
22、cos 0 mv2sin 21代入数据解得 h1m。91答案(1)2 m/s(2)4 J(3)m910如图 7 所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成。其中轨道由光滑轨道AB 与粗糙直轨道 BC 平滑连接，高度差分别是h10.20 m、h20.10 m，BC 水平距离 L1.00 m，轨道由AE、螺旋圆形EFG 和 GB 三段光滑轨道平滑连接而成，且A 点与 F 点等高，当弹簧压缩量为 d 时，恰能使质量 m0.05 kg 的滑块沿轨道上升到B 点；当弹簧压缩量为 2d 时，恰能使滑块沿轨道上升到C 点。(已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比)图 7(1)当弹簧压缩量为 d 时，求弹簧的弹
23、性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小；(2)求滑块与轨道 BC 间的动摩擦因数；(3)当弹簧压缩量为 d 时，若沿轨道运动，滑块能否上升到 B 点？请通过计算说明理由。解析(1)由机械能守恒定律可得E弹EkEpmgh10.05100.2 J0.1 J12由 Ek mv0可得 v02 m/s22gh1，代入数据得 v2 m/stan 教育资源教育资源(2)由 E弹d2可得 EkE弹4E弹4mgh1由动能定律可得mg(h1h2)mgLEk3h1h20.5Lmv2(3)恰能通过圆环最高点必须满足的条件是mgRm由机械能守恒定律有 vv02 m/s得 Rm0.4 m当 R0.4 m 时，滑块能上升到 B
24、 点；当 RRm0.4 m 时，滑块会脱离螺旋轨道，不能上升到B 点。答案(1)0.1 J2 m/s(2)0.5(3)不一定，原因见解析1111如图 8 所示，在竖直平面内有由 圆弧 AB 和 圆弧 BC 组成的光滑固定轨道，两者42R在最低点 B 平滑连接。AB 弧的半径为 R，BC 弧的半径为。一小球在A 点正上方与 A 相距2R处由静止开始自由下落，经A 点沿圆弧轨道运动。4图 8(1)求小球在 B、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C 点。R解析(1)设小球的质量为 m，小球在A 点的动能为 EkA，由机械能守恒，得EkAmg，45R设小球在 B 点的动能为 EkB，同理有 EkBmg，4EkB由式，得5。EkA(2)若小球能沿轨道运动到C 点，小球在 C 点所受轨道的正压力 N 应满足 N0，教育资源教育资源v2C设小球在 C 点的速度大小为 vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式，有 NmgmR22mv2C由式，得 vC应满足 mg，RR1由机械能守恒，有 mg mv2，42C由式，可知小球恰好可以沿轨道运动到C 点。答案(1)51(2)恰能到 C 点，理由见解析教育资源