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1、第第 1919 章一次函数章一次函数知识点一：常量与变量知识点一：常量与变量1.一辆火车从甲地开往乙地，火车每小时走 60km常量：常量：速度、甲乙两地的路程变量：变量：火车所走的路程，行驶的时间2.在圆周长公式C 2r中，变量是，自变量是知识点二：函数的意义知识点二：函数的意义一般地，一般地，设在一个变化过程中有两个变量设在一个变化过程中有两个变量x x和和y y，如果对于变量如果对于变量x的每一个值，的每一个值，变量变量y y都有都有唯一确定的值与它对应，我们称唯一确定的值与它对应，我们称y y是是x x的函数，其中：的函数，其中：x x是自变量，是自变量，y y是因变量是因变量(1)(1
2、)在理解函数的意义时要抓住三点：有一个反映变化的过程有两个变量x和y变量x一旦变化，变量y都有唯一值与它对应(2)在表示函数时，如果要把y表示成x的函数，其实就是用含x的代数式表示y例题：例题：1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=80 时，路程和时间的函数关系式为2.下列图象中，表示y是x的函数的个数有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4个3.下列关于变量x.y的关系：5x y 5；y x；2x y210其中表示y是x的函数关系的是()A.B.C.D.4.一支蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度h（厘米）与燃烧时间t（时）的函数关系的图象是（）A.B.C.D.知识
3、点三知识点三：函数中自变量的取值范围及函数值函数中自变量的取值范围及函数值在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围，这个范围我们叫它为自变量的取值范围确定自变量的取值范围通常要从两个方面考虑：使含自变量的代数式有意义结合实际意义，使函数在实际情况下有意义例题：例题：1.在函数y2x中，自变量x的取值范围是2.函数y 1中，自变量x的取值范围是3 x3.函数y 3 x中，自变量x的取值范围是4.函数y x2中，自变量x的取值范围是x35.小宝阅读 600 页的图书，每天读 50 页，求余下的页数y与所读天数x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围3x 1，当x 1时，y=，当y=0 时，
4、x；2x 337.已知函数f(x)2，那么f(2)x 16.已知函数y 8.已知函数y 1x2，当-1 x 1时，y的取值范围是（）2A.yB.y5232325353C.yD.2222y52知识点四：函数的图像（难点）知识点四：函数的图像（难点）对于一个函数，如果把自变量x和函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形叫做函数的图象。（1）函数图象上的任意一点Px,y中的x，y满足关系式（2）满足函数关系式的任意一对x，y的值所对应的点一定在函数的图象上。例题：例题：1.如下左图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M-A-B-M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发
5、点M的距离y与时间x之间关系的函数图象是（）yOxABCD2.周末上午 8 时，小明先去小华家，两人再一起去超市购物，到下午 2 时返回小明家结合图象回答：（1）两人在超市购物花了多长时间（2）超市离家是多远（3）两人返回时的平均速度是多少（4）小明何时离自己家 10 千米远知识五：正比例函数定义知识五：正比例函数定义形如y kx(k 0)的函数叫正比例函数。注意：（1）k 0（2）自变量x的指数为 1例题：例题：1.下列函数中，是正比例函数的是（）A.y 2x2B.y C.y 2(x3)D.y k2x(k 0,k为常数）2.（易错）当m=时，y (m2)xm2是正比例函数3.下列各选项中，成
6、正比例关系的是（）2x A.人的升高与体重B.正方形的面积与它的边长 C.买同一种练习本所需钱数和所买的本数D.从甲地到乙地，所用时间和行驶的速度知识点六：正比例函数的图像和性质（重点）知识点六：正比例函数的图像和性质（重点）（1）图象：正比例函数y kx(k 0)的图象是经过原点的直线。由于正比例函数图象是过原点的直线，而两点确定一条直线，因此，画y kx的图象时，除原点外，只要再确定一个点即可。（2）性质：当k 0时，直线y kx经过第一.三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k 0时，直线y kx经过第二.四象限，从左向右下降，即随x的增大y而减小；例题：1.正比例函数y kx(
7、k 0)必经过点2.某函数具有下列两条性质：（1）它的图象经过点（0，0）的一条直线；（2）y的值随x的增大而减小，请你举出一个满足上述两个条件的函数（用关系式表示）3.已知y y1 y2，y1与x成正比例，y2与x1成正比例，且x 3时，y 4；x 1时，y 2，求y与x之间的函数关系式4.东方超市鲜鸡蛋每个元，那么所付款y元与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是5.若关于x的函数y (n 1)xm1是一次函数，则m=，n .6.若函数y=（m-5）x+（4m+1）x2（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m-（B）m5（C）m=-（D）m=57.一个正比例函数的图象经过点（
8、2，-3），它的表达式为（）1414Ay xB.y xC.y xD.y x8.已知函数y 2x，下列说法中错误的是（）32233223 A函数经过第二.四象限B.y的值随x的增大而增大 C原点在函数的图象上D.y的值随x的增大而增小9.已知正比例函数y (3k 1)x，若y随x的增大而增大，则k的取值范围是（）Ak 0Ck 131310.（难点）已知正比例函数y (2m1)x图象上的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，当x1 x2时，有y1 y2，那么m的取值范围是（）Am 2B.m C.m D.m 011.已知y-3 与x成正比例，且x 4时，y=7，（1）写出y与x之间的函数关系式（2
9、）计算x 9时，y的值（3）计算y=2 时，x的值1212（4）若点（a，0）在这个函数图象上，求a的值知识点七：一次函数的定义知识点七：一次函数的定义（1）定义：一般的，形如y kxb(k,b是常数，k 0）的函数，叫一次函数。（2）一次函数中自变量的取值范围是全体实数（3）正比例函数和反比例函数的区别与联系当b 0时，y kxb变为y kx，所以说，正比例函数是一种特殊的一次函数。正比例函数一定是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。（4）待定系数法求一次函数解析式要确定一次函数y kxb中的常数k和b，一般的求解方法是待定系数法。即先设出函数的表达式，在由已知条件列出关于k，b的二元一
10、次方程组，通过方程组确定k和b，从而确定解析式。例题：例题：1.函数y 3x4，y 72x，y 1，y x2 2中，一次函数有（）4x A1 个个个个2.下列说法正确的是（）A正比例函数是一次函数B一次函数是正比例函数C正比例函数不是一次函数D不是正比例函数就不是一次函数3.下列给出的四个点中，不在直线y 2x3上的是（）A.(1，-1)B.(0，-3)C.(2，1)D.(-1，5)4.（难点）对于函数y (k 3)xk 3(k为常数），当k=时，它是正比例函数；当k=时，它是一次函数。5.根据右图所示的程序计算函数值，若输入的x值为，则输出的结果为（）知识点八：待定系数法（考点）知识点八：待
11、定系数法（考点）例题：例题：1.已知点A（a 2，1 a）在函数y 2 x 1的图像上，则a=；2.设点P（3，m），Q（n，2）在函数y=x+b的图像上，则m+n=_3.已知一次函数的图象经过（-4，15），（6，-5）两点，求此一次函数的解析式知识点九：一次函数图像和性质（重点）知识点九：一次函数图像和性质（重点）（1）（2）一次函数的图象是一条直线，所以一次函数y kxb的图象也称为直线y kxb。一次函数必过点（0，b）和点(,0)，所以在画一次函数图象时可选取这两个特殊点进行画图。bk（3）一般地，一次函数具有下列性质：当k 0时，y随x的增大而增大当k 0时，y随x的增大而减小。例
12、题：例题：1.一次函数y 15x的图象经过点（0，）与点（，0），y随x的增大而2.（易错）已知函数y kx 2，当k取不同的数值时，可以得到许多不同的直线，这些直线必定（）A.交于同一个交点B.有无数个交点C.互相平行D.互相垂直3.（易错）已知函数y 2xb，当b取不同的数值时，可以得到不同的直线，这些直线必定（）A.交于同一个交点B.有无数个交点C.互相平行D.互相垂直4.已知一次函数y kxk，若y随x的增大而减小，则该函数的图象经过（）A.第一.二.三象限B.第一.二.四象C.第二.三.四象限D.第一.三.四象限5.若一次函数y 12kxk的函数值y随x的增大而增大，且一次函数的图像
13、不经过第二象限，则k的取值范围是（）A.k B.k 0C.0 k D.k 0或k 1212126.（难题）若一次函数y (2m1)x32m的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是7.已知实数a，b，c满足（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第二象限8.一次函数y mxn的图像经过二、三、四象限，则化简（）A.mB.-mC.2m-nD.m-29.已知点(x1，y1和点(x2，y2都在直线y x2上，若x1x2，则y1，y2的关系是（）12bcacab k(abc 0)那么y kx-k的图像一定不经过abcmn2n2所得的结果是A.y1y2B.y1=y2C.y1y2D.不能比较10.（
14、难题）.两个一次函数y1 axb与y2 bxa，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.11.已知直线y kxb与直线y 3x7关于原点对称，求k、b的值12.若直线y kx-b（k0）过点（-2，5），则不等式kx-b 5的解集是13.如图，直线y kxb与直线y mx相交于点A（-1，2），与x轴相交于点B（-3，0），则关于x的不等式组0 kxb mx的解集为14.已知直线y kx2（k0）与两坐标轴围成的三角形面积为2，则k的值是15.（难题）已知一次函数y (a 1)xb的图象如图所示，则下列正确的是（）1、b0B.a 1、b0C.a0、b0 A.aD.a0、b016.
15、(易错)一次函数y 2x6的图象与两坐标轴交于点A，B，则 ABC的面积等于（）A1217.已知点A、B在一次函数y kxb（k、b为常数，且k 0）的图象上，点A在第一象限，点B在第二象限，则下列判断一定正确的是（）A.k0B.k0C.b0D.b018.一次函数y kxb的图像与x，y轴分别交于点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，设OA，AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，当PC+PD取最小值时，P点坐标为，此时，PC+PD=第 14 题第 15 题第 18题19.(难题）如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，ABP的
16、面积为y，如果y关于x的函数图象如图 2 所示，则ABC的面积是（）A.10B.16C.18D.20DCPAByO49x知识点十：一次函数的图像平移（考点）知识点十：一次函数的图像平移（考点）例题：例题：1.在同一直角坐标系内，直线ymx5可由直线y2x3向下平移得到，m2.一次函数y2x3的图象向上平移 4 个单位得到的函数解析为，向下平移 2 个单位得到的函数解析式为，再向平移个单位得到函数y 2x53.将一次函数向左平移y 2x3的图象向左平移 2 个单位后，得到的图像解析式是，然后再向右平移 4 个单位后，得到的图像解析式是4.直线m:y 2x2是直线n向右平移 2 个单位再向下平移
17、5 个单位得到的，而2a，直线n上，则a=_5.要得到y 3x-4的图像，可把直线y 322x（）A.向左平移 4 个单位B.向右平移 4 个单位C.向上平移 4 个单位向下平移 4 个单位知识点十一：一次函数与一元一次方程（重点难点）知识点十一：一次函数与一元一次方程（重点难点）(1)(1)任何一元一次方程都可以转化为kxb 0(a,b为常数，a 0)的形式(2)(2)解一元二次方程可以转化为：y kxb的值为 0 时，求相应的自变量的值x ba；从图形上看，这相当于一只直线y axb，确定它与x轴交点的横坐标的值。(3)(3)利用函数图象解一元一次方程的步骤：画出一次函数图象找出直线y k
18、xb与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kxb 0的解7在D.例题：例题：1.直线y x6与x轴的交点坐标是（）A.(6，0)B.(0，6)C.(-8，0)D.(0，-8)2.直线y (m2)x6与x轴交于点（6,0），则m的值为（）A.2B.3C.1D.03.当x=时，函数y 4.下列说法正确的是（）2x1的值等于 2234 A.方程2x8 0可以看作直线y 2x8与y轴的交点B.方程2x8 0可以看作直线y 2x8与x轴的交点C.方程2x 8可以看作直线y 2x8与y轴的交点D.方程2x 8可以看作直线y 2x8与x轴的交点5.一次函数y=kx+b过点（1，5），则一元一次方程kx+b=5的解是6.在同一直角坐标系内作出函数y1=-2x+3和y2=x+1的图象，并回答：（1）当（2）当（3）当x取何值时，y1 y2x取何值时，y1=y2x取何值时，y10），回答下列问题：（1）x 1时，求直线PQ与x轴、y轴围成图形的面积；（2）x 2.4时，求直线PQ的解析式；（3）设直线PQ与x轴、y轴围成的图形与正方形OABC的重叠部分面积为y，求在整个运动过程中，y与x的函数关系式yABAPPOQCxOCQxyByAByABOxOx