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1、实验一：实验一：MIMOMIMO 信道容量计算信道容量计算实验学时：3实验类型：（演示、验证、综合、设计、研究）实验要求：（必修、选修）一、实验目的一、实验目的通过本实验的学习，理解和掌握信道容量的概念和物理意义；了解多天线系统信道容量的计算方法；采用计算机编程实现经典的注水算法。二、实验内容二、实验内容MIMO 信道容量；注水算法原理；采用计算机编程实现注水算法。,三、实验组织运行要求三、实验组织运行要求以学生自主训练为主的开放模式组织教学四、实验条件四、实验条件（1）微机（2）MATLAB 编程工具，五、实验原理、方法和手段五、实验原理、方法和手段MIMO（MIMO，Multiple In
2、put Multiple Output）技术利用多根天线实现多发多收，充分利用了空间资源，在有限的频谱资源上可以实现高速率和大容量，已成为 4G 通信系统以及未来无线通信系统的关键技术之一。h111 1h211 12 22 2Tn nT Tn nR RR图 1 平坦衰弱 MIMO 信道模型1MIMO 信道模型；MIMO 指多输入多输出系统，当发送信号所占用的带宽足够小的时候，信道可以被认为是平坦的，即不考虑频率选择性衰落。平坦衰弱的 MIMO 信道可以用一个nRnT的复数矩阵H H描述：h11h12h21h22H H hnR1hnR2（1）hnRnTh1nTh2nT其中nT为发送端天线数，nR
3、为接收端天线数，H H的元素hj,i表示从第i根发射天线到第j根接收天线之间的空间信道衰落系数。窄带 MIMO 信道模型（如图 1 所示）可以描述为：y y HxHxn n（2）;其中，x x为发送信号；y y为接收信号；n n为加性高斯白噪声。2MIMO 信道容量假设n n服从均值为0，协方差为单位阵的复高斯分布。根据信道容量C maxI(X;Y)的定义，可以证明当px x服从高斯分布时，达到 MIMO 信道容p(X)量。令x x的协方差矩阵为R Rx x，则 MIMO 信道容量可表示为：CR Rx xlogdetI IHRHRx xH HH（3）其中上标H表示复共轭，I I为单位阵，det
4、 表示取行列式。CR Rx x表示单位带宽下的 MIMO 信道传输速率，单位为 Nat/sec。发射机的传输功率可以表示为：PEx x 2HTrExxxx E TrxxxxHTrR Rx x其中，x x表示向量的模，Tr表示取矩阵的迹，E表示求期望。假设发射机的最大传输功率为PT，则功率约束下的MIMO 信道容量计算问题可以描述为：.max logdetI IHRHRx xH HHR Rx x0s.t TrR Rx x PT.（4）即在功率约束下找到x x的最佳分布使得信道容量最大。此处R Rx x 0表示R Rx x为半正定矩阵。3奇异值分解及问题转化将信道矩阵进行奇异值分解，即H H可分解
5、为H H UDVUDVH，其中U U和V V为酉矩阵满足、UUUUH I I;U UHU U I I;V VHV V I I;VVVVH I I，D D为nRnT的矩形对角矩阵。利用恒等式detI IABABdetI IBABA和酉矩阵性质U UHU U I I，得到detI IUDVUDVHR Rx xVDVDHU UH detI IU UHUDVUDVHR Rx xVDVDH detI IDVDV R Rx xVDVDH detI ID DHDVDVH（5）R R V VHx x利用恒等式TrABABTrBABA和酉矩阵性质V VHV V I I，得到（6）TrR Rx xTrVVVVHR
6、 Rx xTrV VHR Rx xV V定义 D DHD D，利用（5）和（6），问题（4）可写为：Hmax logdet I I V V R Rx xV VHHV VR Rx xV V0s.t.TrV V R Rx xV V PT.（7）经过变量替换，令X X【V VHR Rx xV V，问题（7）（.,(4)）等价为max logdetI I X XX X0s.t TrX X PT.（8）根据 Hadamard 不等式（参考信息论基础Thomas M.Cover，定理 16.8.2），问题（8）的最优解X X必为对角阵。因此问题（8）可简化为x maxlog1ixi0i1irs.txi1r
7、（9）i PT.1分别为X X和 的对角元素。i其中，r 为H H（或者）的秩，xi和4注水（water-filling）算法 求解问题（9）对问题（9）使用拉格朗日乘子法，可知最优解必须满足：1xi maxi,0,vi 1,2.rxi1ri PT1其中为拉格朗日乘子。为求得xi，需先确定，它满足v,0 P (10)maxviTi1r111注意左边为的递增函数，因此满足（10）的唯一。vv1找到满足（10）的的方法可形象地称为注水（注水（warter-fillingwarter-filling）。这是因v为，我们可以将i看做是第i片区域的水平线，然后对整个区域注水，使其具有深度1/v，如图 1
8、 所示。所需总水量为max0,1/v i，不断注水，直至总i1n水量为PT,。第i个区域的水位深度即为最优的xi*。1v*xiii图 2 注水算法图示。每片区域的高度为i。注水总量为PT，对整个区域注水使其高度达到1/v。每片区域上水的高度（阴影部分所示）即为最优的xi。*六、实验数据及具体步骤六、实验数据及具体步骤：1）随机产生H H,每个信道系数服从均值为0，方差为 1 的高斯分布（对 Rayliegh 分布）2)奇异值分解H H UDVUDV（利用 matlab SVD 函数）H3）计算 D DHD D4）注水法求解问题（9）H5）计算R Rx x VXVVXV，根据（3）计算容量（或者
9、根据问题（9）的最优值确定最大容量）。七、实验程序和结果七、实验程序和结果一、有一并联高斯加性信道，各子信道的方差为一、有一并联高斯加性信道，各子信道的方差为 d d1 1=，d d2 2=，d d3 3=，d d4 4=，d d5 5=，d d6 6=，d d7 7=，d d8 8=，d d9 9=，d d1010=。1 1、若输入的信号总功率、若输入的信号总功率 P=5P=5程序程序L=input(子信道数目 L=);%输入子信道数目；2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2d=input(各子信道噪声方差 d=);%输入各信道的噪声方差P=input(输入信号总功率
10、P=);%输入信号总功率D=sum(d);%各子信道的方差和Pav=(P+D)*L;%求平均输出频率i=1;】p=ones(1,L);%功率初始值boolean=1;c=0;%关闭的信道数量while(boolean)while(i=L)if(Pav WF!子信道数目 L=10各子信道噪声方差 d=输入信号总功率 P=5p=Columns 1 through 8，Columns 9 through 10C=、WF子信道数目 L=10各子信道噪声方差 d=输入信号总功率 P=1p=Columns 1 through 8 0 0 0 0 Columns 9 through 10/0 0C=二、实验
11、题目二、实验题目clear all;nt=2 4 8;nr=2 4 8;v=0;%给定 1/v 初始值（也就是这里的v）for count=1:3 y=0;(for PTdb=0:5:30 y=y+1;PT=10(PTdb/10);%把 PT 转化为 10 进制 for k=1:1000H=sqrt(1/2)*complex(randn(nr(count),nt(count),randn(nr(count),nt(count);%随机产生H,每个信道系数服从均值为0，方差为1的高斯分布（对Rayliegh分布）(sqrt(1/2)为了使模也为 1)*U,D,VH=svd(H);%奇异值分解 H
12、=U*D*VH A=D*D;%求 DH*D ai=sort(1./diag(A);%求 ai 并按从小到大排序 L=length(ai);AI=sum(ai);%各子信道的方差和%Pav=(PT+AI)/L;%求平均输出频率 i=1;p=ones(1,L);%功率初始值 boolean=1;ct=0;%关闭的信道数量！while(boolean)while(i=L)if(Pavai(i)&p(i)=0)%找出不符合的子信道并赋值为0 p(i)=0;AI=AI-ai(i);ct=ct+1;end i=i+1;end if(ct=0)%当所有信道满足时退出循环；break;end if(i=L+1
13、)%每个信道和Pav对比一遍后初始化各值，并重新计算Pav i=1;L=L-ct;ct=0;Pav=(PT+AI)/L;end end for i=1:L*if(p(i)=0)p(i)=Pav-ai(i);%计算各子信道分配功率 end end X=diag(p);Rx=VH*X*VH;%计算 Rx=V*X*VH T=H*Rx*H;L=length(ai);I=diag(ones(1,L);c(k)=log2(det(T+I);%I 为单位阵，det 表示取行列式。c 表示单位带宽下的 MIMO 信道传输速率，单位为Nat/sec。end C(y)=real(sum(c)/1000;pt(y)
14、=PTdb;end switch count case 1 plot(pt,C,r-*);hold on;case 2 plot(pt,C,y-p);hold on;case 3 plot(pt,C,g-s);hold on;endendlegend(nt=nr=2,nt=nr=4,nt=nr=8);title(MIMO 信道容量与功率关系图);xlabel(功率/dB);ylabel(容量/Nat/sec);grid on;输出输出八、实验心得八、实验心得在本次的实验中，我了解了注水法的思想，并且学会了如何使用注水法来求解MIMO 的信道容量和子信道的分配功率。注水法的思想：我们可以将ai 看做是第 i 片区域的水平线，然后对整个区域注水，使其具有深度 1/v。所需总水量为max0,1/vi1ni，不断注水，直至总水量为 PT。第 i 个区域的水位深度即为最优的xi。在解决书上的问题时，我们要考虑到每次平均功率都要重算，并且要知道如何找到该关闭的子信道。实验题目时我们要注意一些数据的初始值不能少。