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1、word高二数学抛物线知识精讲高二数学抛物线知识精讲 人教版人教版一.本周教学内容：抛物线二.重点、难点：1.定义：平面内到定点 F 与到定直线l距离相等的点的轨迹为抛物线。2.标准方程：y 2px x 2py（p 0）3.性质：（1）对称性：y 2px关于x轴对称222x2 2py关于y轴对称（2）顶点：（0，0）（3）离心率：e 14.参数方程：y 2px(p 0)2x 2pt2（t为参数）y 2pt例 1 求焦点在直线3x 4y 12 0上的抛物线标准方程。解：解：l与坐标轴交点为（4，0）（0，3）所求抛物线方程y16x x 12y例 2 焦点在x轴的抛物线与圆x y 4x 1 0相交
2、，它们在x轴上方交点为 A、B，线段 AB 的中点在直线x y 0上，求抛物线的方程。解：解：2y mx2 x (m 4)x 1 022x y 4x 1 0 (m 4)2 4 (m 6)(m 2)02222m(6,)方程的根为负数与y mx矛盾m(,0)方程的根为正数与y mx矛盾m(0,2)A(x1,y1)B（x2,y2）22x1 x2 4 m x1 x21y1 y2mx1mx2m(x1x2)m(x1x2)122m(x1 x2 2 x1x2)m 6m12m 6 m4m，）224mm 6m1若中点在x y 0上2m(7 17)22m(0,2)12y(7 17)x2AB 中点（1/5例 3 P
3、为平面上一点，过 P 作与抛物线y 2px(p 0)只有一个交点的直线可以作几条？y2BOAx解：解：P A只有一条P在曲线上只有两条PB只有三条例 4 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y 2x 1截得的弦长为15，求抛物线方程。解：解：y2 2ax 4x2 2(2a)x 1 0y 2x 1a 22AB 1 4 x1 x25()1 152a 2 4a 2或a 6y12x或y 4x例 5 过抛物线y 2px(p 0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B，求证：y1 y2 p。证明：证明：斜率不存在y1 p，y2 p，y1y2 p22222pkp2ypky k(x)2 p2y1 y2 斜率存
4、在2y k k2p2y2 2px2p2例 6 O 为原点，A、B 为抛物线，y 2x上两点，并且 OAOB，求SOAB最小值；弦 AB 中点 M 到直线2x y 2 0距离最小值。解：解：lOA：y kxlOB：y 1xk2 1 k22OA OB 2k1 k2k11SOA OB 2(k)22 4（k 1）k2 A（2211222k,2k）B（）M（,k,k）22kkkk2/5k2112(k)2(k)6kk54716547k dmin8584052例 7 求证：抛物线y 2px(p 0)的两弦平行的充要条件是两弦中点的连线斜率为 0。证明：证明：设 A（x1，y1）B（x2，y2）C（x3，y3
5、）D（x4，y4）在抛物线上d（M，l）2(11 k2)(k)2/5kx x4y y4x1 x2y y2，1）N（3，3）2222 若AB x轴显然成立 AB、CD 均不垂直于x轴y y2y12 2px12pkAB1已知kMN 02x xy yy2 2px21212y y42p同理：kCD3x3 x4y3 y4AB 中点 M（kMN 0 kAB解：解：y1 y2y3 y4kAB kCD22 kCD y1 y2 y3 y4 yM yN kMN 02例 8 抛物线y 2px（p 0）的焦点 F，过 F 的弦 AB 长为m，O 为原点，求SOAB。AB 斜率不存在m 2pS AB 斜率存在，设为k1
6、2p2pk2p2y k(x)222 02k x(k 2)px 4y2 2pxk212pm x1 x2 p m 2kpk112p12Smm pp 2pm224m41 k1综上所述Sp 2pm42例 9 抛物线y x上，存在 P、Q 两点，并且 P、Q 关于直线y 1 k(x 1)对称，求k的取值 X 围。解：解：方法一：方法一：设 P（x1，y1）Q（x2，y2）3/5word2y1 x1(y1 y2)(y1 y2)(x1 x2)2y2 x21y y (x1 x2)21ky1 y2 ky yx x21211 k(1)222y12 y2 kk1 k(1)(y1 y2)2 2y1y2 22222 k
7、 2 kk 2y1(k y1)22ky12 2k2y1 k3 k 2 0 4k48k(k3 k 2)0 k(k3 2k 4)0k(k3 2k 4)0 k(k 2)(k2 2k 2)0k(2,0)方法二：方法二：x ky m 0 y2 ky m 02y xk112y中 x中在形内y x22kk3 2k 4 0k(2,0)k【模拟试题】【模拟试题】21.抛物线y 4x的焦点 F，准线l交x轴于 R，过抛物线上一点 P（4，4）作 PQl于Q，则S梯PQRF（）A.12B.14C.16D.18x2y211的公共弦长为（）2.抛物线y x与椭圆822A.1B.2C.2D.2 223.已知 A、B 是抛
8、物线y 2px(p 0)上两点，O 为原点，若OA OB且OAB的2垂心恰为抛物线的焦点，则 AB 的直线方程为（）A.x pB.x 3pC.x 4.抛物线x 233pD.x p241y(a 0)与直线y kx b交于两点，它们横坐标为x1，x2，直线与xa轴交点为（x3,y3）则x1，x2，x3关系为（）11x1x2C.x1x2 x1x3 x2x3D.x1x3 x2x3 x1x2A.x3 x1 x2B.x35.已知动点 P（x，y）满足5(x 1)(y 2)3x 4y 12，则 P 点轨迹为（）A.抛物线B.直线C.双曲线D.椭圆4/522word6.两定点 A（2，1），B（2，1）动点
9、P 在抛物线y x上移动，则PAB垂心G 的轨迹方程为（）2122B.y 3x 3321212C.y 2x D.y x 32427.P 为抛物线y 2x上一点，A（a，0），PA最小值为d，求d f(a)。A.y x 28.已知抛物线 C：y 4x及 A（2，1），P、Q 为抛物线上动点PF PA的最小值；QF QA的最大值。y2.AO.Fx 参考答案参考答案 1.B2.C3.D4.C5.A6.B7.解：设 P（x0，y0）为抛物线上一点22PA(x0a)2 y0 x02ax0 a2 2x0 x0(a 1)(2a 1)(x 0)a1,)x a 1PAmina(,1)时x 0PAmin a2122a 12a 1d a8.解：a1,)a(,1)1，1）4QF QA AF 2此 Q（3 2 2，2 2 2）PA PF PA d(p,l)d(A,l)3P（5/5