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1、-带电粒子在磁场中运动的多解问题带电粒子在磁场中运动的多解问题1.1.带电粒子电性不确定形成多解带电粒子电性不确定形成多解例例.如下图，第一象限围有垂直于如下图，第一象限围有垂直于*Oy*Oy平面的匀强磁场，平面的匀强磁场，磁感应强度为磁感应强度为B B。质量为。质量为m m，电量大小为，电量大小为q q的带电粒子在的带电粒子在*Oy*Oy平面里经原点平面里经原点O O射入磁场中，初速度射入磁场中，初速度v v0 0 与与*轴夹角轴夹角=600=600，试分析计算：，试分析计算：1 1带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？生的偏
2、转角多大？2 2带电粒子在磁场中运动时间多长？带电粒子在磁场中运动时间多长？分析：分析：假设带电粒子带负电，假设带电粒子带负电，进入磁场后做匀速圆周运动进入磁场后做匀速圆周运动,圆心为圆心为O O1,1,粒子向粒子向*轴偏转轴偏转,并从并从A A点离开磁场。假设带电粒子带正电，进入磁场后做匀速点离开磁场。假设带电粒子带正电，进入磁场后做匀速圆周运动，圆心为圆周运动，圆心为O O2 2，粒子向，粒子向y y轴偏转，轴偏转，mvmv0 0并从并从B B点离开磁场点离开磁场R R BqBq不管粒子带何种电荷不管粒子带何种电荷,其运动轨道半径均为其运动轨道半径均为如右图示如右图示,有有O O1 1O
3、O O O2 2O O R R O O1 1A A O O2 2B B带带 电电 粒粒 子子 沿沿半径为半径为R R的圆的圆周运动一周所用的时间为周运动一周所用的时间为解：解：1 1假设粒子带负电，它将从假设粒子带负电，它将从*轴上轴上 A A 点离开磁场，点离开磁场，运动方向发生的偏转角运动方向发生的偏转角 1=1201=120A A 点与点与 O O 点相距：点相距：假设粒子带正电，它将从假设粒子带正电，它将从y y轴上轴上B B点离开磁场，运动方向发生的偏转角点离开磁场，运动方向发生的偏转角 2=602=60B B点与点与O O点相距：点相距：2 2假设粒子带负电，它从假设粒子带负电，它
4、从O O到到A A所用的时间为所用的时间为假设粒子带正电，它从假设粒子带正电，它从O O到到B B所用的时间为所用的时间为2.2.磁场方向不确定形成多解磁场方向不确定形成多解例例.一质量为一质量为m m，电量为电量为q q的负电荷在磁感应强度为的负电荷在磁感应强度为B B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，的光滑轨道做匀速圆周运动，假设磁场方向垂直于它的运动平面，假设磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的恰好是磁场力的 3 3 倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是倍，则负电荷做圆周运动的角速度
5、可能是A.A.分析：分析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面，依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面，磁场方向有两种可能，磁场方向有两种可能，且这两种可能且这两种可能方向相反。方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。是相反的。当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向一样时当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向一样时,根据牛顿第二定律可知根据牛顿第二定律可知此种情况下此种情况下,负电荷运动的角速度为负电荷运动的角速度为当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，当负电荷所受的洛仑兹力与
6、电场力方向相反时，此种情况下此种情况下,负电荷运动的角速度为负电荷运动的角速度为应选应选 A A、C C。3.3.临界状态不惟一形成多解临界状态不惟一形成多解例例 1.1.如图甲所示，如图甲所示，A A、B B为一对平行板，板长为为一对平行板，板长为l l，两，两板距离为板距离为d d，板间区域充满着匀强磁场，磁感应强度大，板间区域充满着匀强磁场，磁感应强度大小为小为B B，方向垂直纸面向里，一个质量为，方向垂直纸面向里，一个质量为m m，带电量为，带电量为+q q的带电粒子以初速的带电粒子以初速v v0 0，从从A A、B B两板的中间，两板的中间，沿垂直沿垂直于磁感线的方向射入磁场。于磁感
7、线的方向射入磁场。求求v v0 0 在什么围，在什么围，粒子能从磁粒子能从磁.z.-场射出？场射出？分析：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射分析：粒子射入磁场后受到洛仑兹力的作用，将做匀速圆周运动，圆周运动的圆心在入射点的正上方。点的正上方。要想使粒子能射出磁场区，半径要想使粒子能射出磁场区，半径r r必须小于必须小于d d/4/4粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射粒子将在磁场中转半个圆周后从左方射出或大于出或大于*个数值粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出个数值粒子将在磁场中运动一段圆弧后从右方射出。1 1当粒子从左边射出时当粒子从左边射出时,假设运动
8、轨迹半径最大假设运动轨迹半径最大,则其圆心为图中则其圆心为图中O O1 1 点点,半径半径r r1=1=d d/4/4因此粒子从左边射出必须满足因此粒子从左边射出必须满足r rr r1 1有有即即2 2当粒子从右边射出时，假设运动轨迹当粒子从右边射出时，假设运动轨迹半半 径径 最最小，则其圆心为图中小，则其圆心为图中O O2 2 点，半径为点，半径为r r2 2。由几何关系可得由几何关系可得因此粒子从右边射出必须满足的条件是因此粒子从右边射出必须满足的条件是r rr r2 2即即所以当所以当或或粒子可以从磁场射出。粒子可以从磁场射出。例例 2.2.如下图，现有一质量为如下图，现有一质量为m m
9、、电量为、电量为e e的电子从的电子从y y轴上的轴上的P P0 0，a a点以初速度点以初速度v v0 0 平行于平行于*轴射出，为了使电子能够经过轴射出，为了使电子能够经过*轴轴上的上的Q Qb b，0 0点，可在点，可在y y轴右侧加一垂直于轴右侧加一垂直于*Oy*Oy平面向里、宽平面向里、宽度为度为L L的匀强磁场，的匀强磁场，磁感应强度大小为磁感应强度大小为B B，该磁场左、右边界与该磁场左、右边界与y y轴平行轴平行,上、下足够宽图中未画出上、下足够宽图中未画出.L Lb b。求。求mvmv0 0 a a 2 2mvmv0 0eBeBeBeB磁场的左边界距坐标原点的可能距离磁场的左
10、边界距坐标原点的可能距离结果可用反三角函数表示结果可用反三角函数表示解：设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为解：设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r r,则则2 2当当rLrL时，时，磁场区域及电子运动轨迹如图磁场区域及电子运动轨迹如图1 1，mvmv0 0v v0 0r r eBveBv0 0 m m由几何关系有由几何关系有eBeBr r则磁场左边界距坐标原点的距离为则磁场左边界距坐标原点的距离为当当r Lr L时，磁场区域及电子运动轨迹如图时，磁场区域及电子运动轨迹如图2 2，由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为解得解得x x b b r r2
11、 2(r r a a)2 22 2例例 3.3.一带正一带正电的滑环，带电量为电的滑环，带电量为q q，质量为，质量为m m，套在粗糙的足够，套在粗糙的足够长的绝缘杆上，长的绝缘杆上，杆呈水平状态固定不动，杆呈水平状态固定不动，整个装置处在磁感应强度为整个装置处在磁感应强度为B B，方向如图示的匀强方向如图示的匀强磁场中，现给滑环以水平向右的瞬时冲量磁场中，现给滑环以水平向右的瞬时冲量I I，使其沿杆运动起来。假设环与杆之间的动摩擦，使其沿杆运动起来。假设环与杆之间的动摩擦因数为因数为，则滑环在运动过程中克制摩擦力做的功，则滑环在运动过程中克制摩擦力做的功A.A.可能为可能为I I2/22/2
12、m mB.B.可能大于可能大于I I2/22/2m mC.C.可能为可能为 0 0D.D.可能处在可能处在 0 0 和和I I2/22/2m m之间之间解：解：假设假设qvqv0 0B Bmgmg则则f f=0=0滑环以滑环以v v0 0 作匀速运动，作匀速运动，WfWf=0=0假设假设qvqv0 0B B mgmg则则f f=(qvqv0 0B B-mgmg)滑环作减速运动，滑环作减速运动，当减速到当减速到v v1 1 时，假设时，假设qvqv1 1B Bmgfmgf1=01=0 则以则以v v1 1 作匀速运动作匀速运动WfWf=1/2=1/2mvmv02-1/202-1/2mvmv12
13、12 a*a，粒子不可能经过，粒子不可能经过P P点；点；当当*=a*=a，不管取值如何，不管取值如何，粒子均能经过粒子均能经过P P点；点；，2 2)当当*a*a，则，则a a x x 2 2nRnR(n n 1 1同理可得同理可得:B B2 2q q(a a x x)2 2(n n 1 1，2 2)示示,在真空室取坐标系在真空室取坐标系O*yO*y,在在*轴上轴上例例 2.2.如图如图y y2 2 8 8n n2 2mEmE方存在匀强电场方存在匀强电场,场强方向沿负场强方向沿负y y方向方向,*轴下方存在两个方向都垂直于轴下方存在两个方向都垂直于纸面向外的匀强磁场区和纸面向外的匀强磁场区和
14、,平行于平行于*轴的虚线轴的虚线abab是它们的分界限是它们的分界限,虚线上方虚线上方(包括虚线处包括虚线处)的磁场区的磁感应强度的磁场区的磁感应强度B B1 10.20T,0.20T,虚线下方的磁场区的磁感应强度虚线下方的磁场区的磁感应强度B B2 20.10T,0.10T,虚线与虚线与*轴相距轴相距d d=4.0cm.=4.0cm.在第一象限有一点在第一象限有一点P P,其位置坐标其位置坐标*=16.0cm=16.0cm、y y=10.0cm.=10.0cm.一带正电的粒子处于一带正电的粒子处于P P点从静止释放点从静止释放,粒子的电荷量与质量之比粒子的电荷量与质量之比q/mq/m=5.0
15、=5.0107107 C/kg.C/kg.为使粒子能通过坐标原点为使粒子能通过坐标原点O O,匀强电场的场强匀强电场的场强E E必须满足什么条件必须满足什么条件 不计粒子的重力作用不计粒子的重力作用解解:粒子从粒子从P P点开场运动点开场运动,进入磁场区时的速度为进入磁场区时的速度为v v，由动能定理得由动能定理得qEyqEy=1/2=1/2mvmv2 2用用R R1 1、R R2 2 分别表示粒子在磁场区和区分别表示粒子在磁场区和区中中运动的轨道半径，有运动的轨道半径，有1 1假设粒子没能进入磁场区而最后能通过假设粒子没能进入磁场区而最后能通过坐标原点坐标原点O O，则粒子每次进入磁场区中运
16、动都，则粒子每次进入磁场区中运动都是转动半周后后就离开磁场进入电场，重复运动直到通过坐标原点是转动半周后后就离开磁场进入电场，重复运动直到通过坐标原点O O，粒子，粒子的一种运动轨迹如下图，有的一种运动轨迹如下图，有n n 2 2R R1=1=*R*R1 1 d d解得解得R R1=8.0/1=8.0/n n(cm)(cm)(n n=2,3,4)=2,3,4)2 2假设粒子能进入磁场区且最后能通过坐标原点假设粒子能进入磁场区且最后能通过坐标原点O O，则粒子的运动轨，则粒子的运动轨迹如图中所示，迹如图中所示，A A1 1 和和A A2 2 分别为粒子在磁场区和中做圆周运动的圆心分别为粒子在磁场
17、区和中做圆周运动的圆心在在A A1 1CDCD中，有中，有coscos=DCDC/A A1 1C C=d d/R R1 1.z.-在在A A1 1A A2 2F F中，有中，有解得解得,coscos=0.6=0.6R R1=5.0cm1=5.0cmE E=2.5=2.5 104 V/m104 V/m当匀强电场的场强当匀强电场的场强E E=2.5=2.5 104 V/m104 V/m 或或(n n=2,3,4)时，粒子能通过坐标=2,3,4)时，粒子能通过坐标6 6.4 4 10104 4E E n n2 2V/mV/m原点原点O O例例 3 3.平行金属板平行金属板MM、N N间距离为间距离为
18、d d。其上有一壁光。其上有一壁光滑的半径为滑的半径为R R的绝缘圆筒与的绝缘圆筒与N N板相切，切点处有一小孔板相切，切点处有一小孔S S。圆筒有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，圆筒有垂直圆筒截面方向的匀强磁场，磁感应强度为磁感应强度为B B。电子电子与孔与孔S S及圆心及圆心O O在同一直线上。在同一直线上。MM板侧中点处有一质量为板侧中点处有一质量为m m，电荷量为电荷量为e e的静止电子，经过的静止电子，经过MM、N N间电压为间电压为U U的电场加速的电场加速后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞后射入圆筒，在圆筒壁上碰撞n n次后，恰好沿原路返回到出次后，恰好沿原路返回到出发点。发点。不考虑重力，
19、设碰撞过程中无动能损失求：不考虑重力，设碰撞过程中无动能损失求：电子到达小孔电子到达小孔S S时的速度大小；时的速度大小；电子第一次到达电子第一次到达S S所需要的时间；所需要的时间；电子第一次返回出发点所需的时间。电子第一次返回出发点所需的时间。2 2eUeU解：设加速后获得的速度为解：设加速后获得的速度为v v，根据得，根据得eUeU 1 1mvmv2 2v v m m2 2设电子从设电子从MM到到N N所需时间为所需时间为t t1 1电子在磁场做圆周运动的周期电子在磁场做圆周运动的周期2 2 电子在圆筒经过电子在圆筒经过n n次碰撞回到次碰撞回到S S，每段圆弧对应的圆心角每段圆弧对应的
20、圆心角 1 1 -n n 1 1 （n n 1 1）1 1 （n n 1 1）2 2 （n n 1 1）n n次碰撞对应的总圆心角次碰撞对应的总圆心角在磁场运动的时间为在磁场运动的时间为n n=1=1，2 2，3 3，例例 4.4.一足够长的矩形区域一足够长的矩形区域abcdabcd充满磁感应强度为充满磁感应强度为B B，方向，方向面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界adad宽为宽为L L，现从，现从adad垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v v0 0，方向与，方向与adad为为 3030，如下图。如下图。粒子的电荷量为粒
21、子的电荷量为q q，质量为质量为m m重力不计重力不计。1 1假设粒子带负电，且恰能从假设粒子带负电，且恰能从d d点射出磁场，求点射出磁场，求v v0 0 的大小；的大小；2 2假设粒子带正电，使粒子能从假设粒子带正电，使粒子能从abab边射出磁场，求边射出磁场，求v v0 0 的取值围以及粒子在的取值围以及粒子在磁场中运动时间磁场中运动时间t t的围。的围。解：解：1 1粒子带负电粒子带负电,由图可知由图可知R R=L L/2/22 2当当v v0 0 最大时：最大时：得得R R1=1=L L当当v v0 0 最小时：得最小时：得R R2=2=L L/3/3v v qBRqBR2 2 qBLqBL带电粒子从带电粒子从v vmaxmaxababminminm m3 3m mL L出磁场，当速度为时，出磁场，当速度为时，R R2 2 R R2 2sinsin3030 运动时间最短运动时间最短,2 2速度为速度为vminvmin时运动时时运动时间最长间最长,粒子运动时间粒子运动时间t t的围的围垂垂 直直 纸纸中中 点点O O边边 夹夹 角角边边 射射.z.