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1、1微型专题微型专题 7 7 机械能守恒定律的应用机械能守恒定律的应用学习目标 1.能灵活应用机械能守恒定律的三种表达形式.2.会分析多个物体组成系统的机械能守恒问题.3.会分析链条类物体的机械能守恒问题.一、多物体组成的系统机械能守恒问题1.多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的.2.关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.3.机械能守恒定律表达式的选取技巧(1)当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1Ep1Ek2Ep2或 EkEp来求解.(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，
2、动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式 EkEp来求解.若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式 EAEB来求解.例 1 如图 1 所示，斜面的倾角30，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮.开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿1 2斜面的竖直边下落.若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值.滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计.图 1答案 12解析 设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得：m2g m1g sin30
3、 (m1m2)v2H 2H 21 2A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒，则：2m1v2m1g sin30，1 2H 2由得12.m1 m2【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在多物体问题中的应用机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接.这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系.(2)系统内两个物体通过轻绳连接.如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒.解决此类问题的关键是在绳
4、的方向上两物体速度大小相等.(3)系统内两个物体通过轻杆连接.轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速度相等.二、链条类物体的机械能守恒问题链条类物体机械能守恒问题的分析关键是分析重心位置，进而确定物体重力势能的变化，解题要注意两个问题：一是零势能面的选取；二是链条的每一段重心的位置变化和重力势能变化.例 2 如图 2 所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其一端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？图 2答案 gL 2解析 方法一 (取整个铁链为研究对象)：设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重
5、心在A点，则重力1 4势能的减少量为：EpmgL1 43由机械能守恒得：mv2mgL，则v.1 21 4gL 2方法二 (将铁链看做两段)：铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于左侧铁链BB部分移到AA位置.重力势能减少量为 Epmg1 2L 2由机械能守恒得：mv2mg1 21 2L 2则v.gL 2【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用三、利用机械能守恒定律分析多过程问题例 3 如图 3 所示，在竖直平面内有一固定光滑轨道，其中AB是长为R的水平直轨道，BCD是圆心为O、半径为R的 圆弧轨道，两轨道相切于B点.在外力作用下，一小球从A点3 4由静止开始做匀加
6、速直线运动，到达B点时撤除外力.已知小球刚好能沿圆弧轨道经过最高点C，重力加速度大小为g，不计空气阻力.求：图 3(1)小球在AB段运动的加速度的大小；(2)小球从D点运动到A点所用的时间.答案 (1)g (2)()5 253R g4解析 (1)小球在最高点C所受轨道的正压力为零.设小球在C点的速度大小为vC，根据牛顿第二定律有mgmvC2 R小球从B点运动到C点的过程中，机械能守恒，设小球在B点的速度大小为vB，则有mvB2mvC22mgR1 21 2小球在AB段由静止开始做匀加速直线运动，设加速度大小为a，由运动学公式得：vB22aR联立以上各式解得ag.5 2(2)设小球运动到D点的速度
7、大小为vD，下落到A点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律，小球从B点运动到D点的过程，有mvB2mvD2mgR1 21 2小球从B点运动到A点的过程，有mvB2mv21 21 2设小球从D点运动到A点所用的时间为t，根据运动学公式有gtvvD联立解得t().53R g【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题机械能守恒定律多与其他知识相结合进行综合命题，一般为多过程问题，难度较大.解答此类题目时一定要注意机械能守恒的条件，分析在哪个过程中机械能守恒，然后列式求解，不能盲目应用机械能守恒定律.1.(系统机械能守恒的判断)(多选)如图 4 所示，A和B
8、两个小球固定在一根轻杆的两端，mBmA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动.现使轻杆从水平状态无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放起转动 90的过程中(不计空气阻力)( )图 45A.B球的动能增加，机械能增加B.A球的重力势能和动能都增加C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量D.A球和B球的总机械能守恒答案 BD解析 A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增加.B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小.对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增加，故B球的机械能减少，故A
9、球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，故 A、C 错误，B、D 正确.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在杆连接体问题中的应用2.(绳连接体机械能守恒问题)如图 5 所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，轻绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为 3m，用手托住，离地面高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(b球落地后不反弹，不计空气阻力)( )图 5A.hB.1.5hC.2hD.2.5h答案 B解析 释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向下加速运动，a、b系统的
10、机械能守恒，设b落地瞬间速度为v，取地面所在平面为参考平面，则3mghmghmv2 (3m)v2，可得v.b落地后，a向上以速度v做竖直上抛运动，能1 21 2gh够继续上升的高度h .所以a能达到的最大高度为 1.5h，B 正确.v2 2gh 2【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用3.(杆机械能守恒问题)如图 6 所示，一均质杆长为r，从图示位置由静止开始沿光滑面26ABD滑动，AB是半径为r的 圆弧，BD为水平面.则当杆滑到BD位置时的速度大小为( )1 4图 6A.B.gr 2grC.D.22grgr答案 B解析 虽然杆在下滑过程有转动发生，但初始位置
11、静止，末状态匀速平动，整个过程无机械能损失，故有mv2mg ，1 2r 2解得：v.gr【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在杆连接体问题中的应用一、选择题考点一 机械能守恒条件的判断1.(多选)如图 1 所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连).现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )图 1A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽
12、组成的系统机械能守恒D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒7答案 BC【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断2.(多选)如图 2 所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一不可伸长的细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在N球碰到A点前的运动过程中下列说法中正确的是( )图 2A.M球的机械能守恒B.M球的机械能减小C.M和N组成的系统的机械能守恒D.绳的拉力对N做负功答案 BC解析 因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的
13、机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C 正确，A、D 错误.【考点】机械能守恒条件的判断【题点】多物体系统的机械能守恒的判断考点二 机械能守恒的应用3.如图 3 所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量都为m.开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上.放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )图 3A.弹簧的劲度系数为mg hB.此时弹簧的弹性势能等于mghmv21 28C.此时物体B的速度大小也为vD.此时物体A的加速度大小为g，方向竖直
14、向上答案 A解析 由题意可知，此时弹簧所受的拉力大小等于B的重力，即Fmg，弹簧伸长的长度为xh，由Fkx得k，故 A 正确；A与弹簧组成的系统机械能守恒，则有mg hmghmv2Ep，则弹簧的弹性势能Epmghmv2，故 B 错误；物体B对地面恰好无压力1 21 2时，B的速度为零，故 C 错误；根据牛顿第二定律对A有Fmgma，Fmg，得a0，故D 错误.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用4.如图 4 所示，质量分别为m和 3m的小球A和B可视为质点，系在长为L的细线两端，桌面水平光滑，高为h(hL).A球无初速度地从桌面滑下，落在沙地上静止不动，不计空
15、气阻力，则B球离开桌面的速度为( )图 4A.B.gh 22ghC.D.gh 3gh 6答案 A解析 由hL，当小球A刚落地时，由机械能守恒得mgh (m3m)v2，解得v，B1 2gh 2球以此速离开桌面，选项 A 正确.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用5.如图 5 所示，B物体的质量是A物体质量的 ，在不计摩擦及空气阻力的情况下，A物体1 2自H高处由静止开始下落.以地面为参考平面，当物体A的动能与其重力势能相等时，物体A距地面的高度为(B物体与定滑轮的距离足够远)( )9图 5A.HB.H1 52 5C.HD.H4 51 3答案 B解析 设A的质量
16、mA2m，B的质量mBm.物体A的动能等于其重力势能时，A离地面的高度为h，A和B的共同速率为v，在运动过程中，A、B系统的机械能守恒，有 2mg(Hh) 2mv2mv2，又 2mv22mgh，联立解得hH，故选项 B 正确.1 21 21 22 5【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用6.如图 6 所示的滑轮光滑轻质，不计一切阻力，M12kg，M21kg，M1离地高度为H0.5m，取g10m/s2.M1与M2从静止开始释放，M1由静止下落 0.3m 时的速度为( )图 6A.m/s2B.3m/sC.2m/sD.1m/s答案 A解析 对系统运用机械能守恒定律得
17、(M1M2)gh (M1M2)v2，代入数据解得vm/s，1 22故 A 正确，B、C、D 错误.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用7.(多选)如图 7 所示，a、b两物块质量分别为m、3m，用不计质量的细绳相连接，悬挂在10定滑轮的两侧.开始时，a、b两物块距离地面高度相同，用手托住物块b，然后由静止释放，直至a、b物块间高度差为h，不计滑轮质量和一切阻力，重力加速度为g.在此过程中，下列说法正确的是( )图 7A.物块a的机械能守恒B.物块b的机械能减少了mgh2 3C.物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量D.物块a、b与地球组成的系统机械能守
18、恒答案 CD解析 释放b后物块a加速上升，动能和重力势能均增加，故机械能增加，选项 A 错误.对物块a、b与地球组成的系统，机械能守恒，选项 D 正确.物块a、b构成的系统机械能守恒，有(3m)g mg mv2 (3m)v2，解得v，物块b动能增加量为 (3m)v2mgh，h 2h 21 21 2gh 21 23 4重力势能减少mgh，故机械能减少mghmghmgh，选项 B 错误.由于绳的拉力对a做3 23 23 43 4的功与b克服绳的拉力做的功相等，故物块b机械能的减少量等于物块a机械能的增加量，选项 C 正确.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用8.
19、如图 8 所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长时，圆环高度为h.让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零.则在圆环下滑到底端的过程中(杆与水平方向夹角为30)( )图 8A.圆环机械能守恒B.弹簧的弹性势能先减小后增大C.弹簧的弹性势能变化了mgh11D.弹簧与光滑杆垂直时圆环动能最大答案 C解析 圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，但圆环机械能不守恒，A 错误；弹簧形变量先增大后减小然后再增大，所以弹性势能先增大后减小再增大，B 错误；由于圆环与弹簧构成的系统机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，所以弹簧的弹
20、性势能增加mgh，C 正确；弹簧与光滑杆垂直时，圆环所受合力沿杆向下，圆环具有与速度同向的加速度，所以做加速运动，D 错误.【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在弹簧类问题中的应用二、非选择题9.(机械能守恒的应用)素有“陆地冲浪”之称的滑板运动已深受广大青少年喜爱.如图 9 所示是由足够长的斜直轨道，半径R12m 的凹形圆弧轨道和半径R23.6m 的凸形圆弧轨道三部分组成的模拟滑板组合轨道.这三部分轨道依次平滑连接，且处于同一竖直平面内.其中M点为凹形圆弧轨道的最低点，N点为凸形圆弧轨道的最高点，凸形圆弧轨道的圆心O与M点在同一水平面上，一可视为质点、质量为m1kg 的滑板从斜
21、直轨道上的P点无初速度滑下，经M点滑向N点，P点距水平面的高度h3.2m，不计一切阻力，g取 10m/s2.求：图 9(1)滑板滑至M点时的速度大小；(2)滑板滑至M点时，轨道对滑板的支持力大小；(3)若滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，求滑板的下滑点P距水平面的高度.答案 (1)8m/s (2)42N (3)5.4m解析 (1)对滑板由P点滑至M点，由机械能守恒得mghmvM2，得：vM8 m/s.1 2(2)对滑板滑至M点时受力分析，由牛顿第二定律得FNmgm，得：FN42 N.vM2 R1(3)滑板滑至N点时对轨道恰好无压力，则有mgm，则vN6 m/svN2 R212滑板从P点到N点机械
22、能守恒，则有mghmgR2mvN2，解得h5.4 m.1 2【考点】机械能守恒定律在多过程问题中的应用【题点】应用机械能守恒定律处理单体多过程问题10.(机械能守恒的应用)如图 10 所示，质量分别为 3kg 和 5kg 的物体A、B，用足够长的轻绳连接跨在一个光滑轻质定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面 0.8m，不计空气阻力，求：图 10(1)放开B物体，当B物体着地时A物体的速度大小；(2)B物体着地后(不反弹)A物体还能上升多高.(g取 10m/s2)答案 (1)2m/s (2)0.2m解析 (1)解法一 根据E1E2对A、B组成的系统，在B着地前系统机械能守恒
23、，以地面为参考平面，则mBghmAgh (mAmB)v21 2则v2mBmAghmAmB代入数据解得v2 m/s解法二 根据 Ep 减Ek 增得mBghmAgh (mAmB)v2，代入数据解得v2 m/s1 2解法三 根据 EB减EA增得mBghmBv2mAghmAv21 21 2代入数据解得v2 m/s(2)当B落地后，A以 2 m/s 的速度竖直上抛，设A还能上升的高度为h，由机械能守恒定律可得mAghmAv21 2解得h0.2 m.v2 2g【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在绳连接体问题中的应用1311.(机械能守恒的应用)如图 11 所示，倾角为的光滑斜面上放有两个质
24、量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离水平地面的高度为h.两球从静止开始下滑，不计球与水平地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：图 11(1)两球在光滑水平地面上运动时的速度大小；(2)此过程中杆对A球所做的功.答案 见解析解析 (1)由于不计摩擦及碰撞时的机械能损失，因此两球组成的系统机械能守恒.两球在光滑水平地面上运动时的速度大小相等，设为v，根据机械能守恒定律有mg(2hLsin )2mv21 2解得v2ghgLsin (2)因两球在光滑水平地面上运动时的速度v比B球从h处自由滑下的速度大，则杆对2ghB球做的功为WBmv2mghmgLsin 1 21 2因系统的机械能守恒，所以杆对B球做的功与杆对A球做的功的绝对值应该相等，杆对B球做正功，对A球做负功.所以杆对A球做的功为WAmgLsin .1 2【考点】系统机械能守恒的应用【题点】机械能守恒定律在杆连接体问题中的应用