2018中学考试数学专题复习学案:“将军饮马”类题型大全含部分问题详解.pdf
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1、 将军饮马类题型大全将军饮马类题型大全一求线段和最值一求线段和最值1 1一两定一动型一两定一动型例例 1 1:如图,AMEF,BNEF,垂足为如图,AMEF,BNEF,垂足为 M M、N,MNN,MN12m,AM12m,AM5m,BN5m,BN4m,P4m,P 是是 EFEF 上任意一上任意一点点,如此如此 PAPAPBPB 的最小值是的最小值是_m_m分析:分析:这是最根本的将军饮马问题这是最根本的将军饮马问题,A,B,A,B 是定点是定点,P,P 是动点是动点,属于属于两定一动将军饮马型两定一动将军饮马型,根根据常见的据常见的 定点定线作对称定点定线作对称,可作点可作点 A A 关于关于
2、EFEF 的对称点的对称点 A,根据两点之间A,根据两点之间,线线段最短段最短,连接连接 AB,此时AB,此时 APAPPBPB 即为即为 AB,最短而要求AB,最短而要求 AB,如此需要构造AB,如此需要构造直角三角形直角三角形,利用勾股定理解决利用勾股定理解决解答:解答:作点作点 A A 关于关于 EFEF 的对称点的对称点 A,过点A,过点 A作A作 ACBNACBN 的延长线于的延长线于 C C易知易知 AMAMAMAMNCNC5m,BC5m,BC9m,AC9m,ACMNMN12m,12m,在在 RtABCRtABC 中,AB中,AB15m,15m,即即 PAPAPBPB 的的最小值是
3、最小值是 15m15m变式:变式:如图如图,在边长为在边长为 2 2 的正三角形的正三角形 ABCABC 中中,E,F,G,E,F,G 为各边中点为各边中点,P,P 为线段为线段 EFEF 上一动点上一动点,如此BPG如此BPG 周长的最小值为周长的最小值为_分析:分析:考虑到考虑到 BGBG 为定值是为定值是 1,1,如此BPG如此BPG 的周长最小转化为求的周长最小转化为求 BPBPPGPG 的最小值的最小值,又是又是两两定一动的将军饮马型定一动的将军饮马型,考虑作点考虑作点 G G 关于关于 EFEF 的对称点的对称点,这里有些同学可能看不出来这里有些同学可能看不出来到底是哪个点到底是哪
4、个点,我们不妨连接我们不妨连接 AG,AG,如此如此 AGBC,再连接AGBC,再连接 EG,EG,根据根据 直角三角形斜边直角三角形斜边中线等于斜边的一半中线等于斜边的一半,可得可得 AEAEEG,EG,如此点如此点 A A 就是点就是点 G G 关于关于 EFEF 的对称点的对称点 最后最后计算周长时计算周长时,别忘了加上别忘了加上 BGBG 的长度的长度解答:解答:连接连接 AG,AG,易知易知 PGPGPA,BPPA,BPPGPGBPBPPA,PA,当当 B,P,AB,P,A 三点共线时三点共线时,BP,BPPGPGBA,BA,此时此时最短最短,BA,BA2,BG2,BG1,1,即BP
5、G即BPG 周长最短为周长最短为 3.3.2 2二一定两动型二一定两动型.例例 2 2:如图如图,在ABC在ABC 中中,AB,ABACAC5,D5,D 为为 BCBC 中点中点,AD,AD5,P5,P 为为 ADAD 上任意一点上任意一点,E,E 为为 ACAC 上上任意一点任意一点,求求 PCPCPEPE 的最小值的最小值分析:分析:这里的点这里的点 C C 是定点是定点,P,E,P,E 是动点是动点,属于属于一定两动的将军饮马模型一定两动的将军饮马模型,由于ABC由于ABC 是等是等腰三角形腰三角形,AD,AD 是是 BCBC 中线中线,如此如此 ADAD 垂直平分垂直平分 BC,BC,
6、点点 C C 关于关于 ADAD 的对称点是点的对称点是点 B,PCB,PCPEPEPBPBPE,PE,显然当显然当 B,P,EB,P,E 三点共线时三点共线时,BE,BE 更短但此时还不是最短更短但此时还不是最短,根据根据 垂垂线段最短线段最短 只有当只有当 BEACBEAC 时时,BE,BE 最短求最短求 BEBE 时时,用用面积法面积法即可即可解答:解答:作作 BEACBEAC 交于点交于点 E,E,交交 ADAD 于点于点 P,P,易知易知 ADBC,BDADBC,BD3,BC3,BC6,6,如此如此 ADBCBEAC,ADBCBEAC,变式:变式:如图如图,BD,BD 平分ABC,E
7、,F平分ABC,E,F 分别为线段分别为线段 BC,BDBC,BD 上的动点上的动点,AB,AB8,ABC8,ABC 的周长为的周长为 20,20,求求 EFEFCFCF 的最小值的最小值_分析:分析:这里的点这里的点C C是定点是定点,F,E,F,E是动点是动点,属于属于一定两动的将军饮马模型一定两动的将军饮马模型,我们习惯于我们习惯于 定点定点定线作对称定线作对称,但这题这样做但这题这样做,会出现问题会出现问题 因为点因为点 C C 的对称点的对称点 C必然在C必然在 ABAB 上上,但由于但由于BCBC长度未知,BC长度也未知长度未知,BC长度也未知,如此如此C相对的也是不确定点C相对的
8、也是不确定点,因此我们这因此我们这里可以尝试作动点里可以尝试作动点 E E 关于关于 BDBD 的对称点的对称点解答:解答:如图如图,作点作点 E E 关于关于 BDBD 的对称点的对称点 E,连接E,连接 EF,如此EF,如此 EFEFCFCFEFEFCF,CF,当当E,F,CE,F,C三点共线时,EF三点共线时,EFCFCFEC,此时较短EC,此时较短 过点过点C C作作CEABCEAB于于E,E,当点当点 E 与点E 与点 E重合时,ECE重合时,EC 最短,EC最短,EC 为为 ABAB 边上的高,EC边上的高,EC5.5.三两定两动型三两定两动型例例 3 3:如图,AOB30,OC如
9、图,AOB30,OC5,OD5,OD12,12,点点E,FE,F分别是射线分别是射线 OA,OBOA,OB 上的动点上的动点,求求CFCFEFEFDEDE 的最小值的最小值.分析:分析:.这里的点这里的点 C,C,点点 D D 是定点是定点,F,E,F,E 是动点是动点,属于属于两定两动的将军饮马模型两定两动的将军饮马模型,依旧可以用依旧可以用 定点定线作对称定点定线作对称来考虑作点来考虑作点 C C 关于关于 OBOB 的对称点的对称点,点点 D D 关于关于 OAOA 的对称点的对称点解答:解答:作点作点 C C 关于关于 OBOB 的对称点的对称点 C,点C,点 D D 关于关于 OAO
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