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1、年年上上海海长长宁宁区区嘉嘉定定区区高高三三数数学学模模试试卷卷含含答答案案解解析析 CKBOOD was revised in the early morning of December 17,2020.年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一、填空题（共一、填空题（共 1212 小题，小题，1616 每题每题 4 4 分，分，712712 每题每题 5 5 分，共分，共 5454 分）分）1设集合 A=x|x2|1，xR，集合 B=Z，则 AB=2函数 y=sin（x）（0）的最小正周期是，则=对应的 点到原点的 距离3设 i 为虚 数单 位，在复 平
2、面上，复 数为4若函数 f（x）=log2（x+1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=5已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n=6甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有种7若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm，圆心角为 270的扇形，则这个圆锥的体积为cm38若数列an的所有项都是正数，且（）=+=n2+3n（nN*），则9如图，在ABC 中，B=45，D 是 BC 边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则 AB 的长为10有以下命题：若函数 f（x）既是奇函数又是偶函数，则 f（x
3、）的值域为0；若函数 f（x）是偶函数，则 f（|x|）=f（x）；若函数 f（x）在其定义域内不是单调函数，则 f（x）不存在反函数；若函数 f（x）存在反函数 f1（x），且 f1（x）与 f（x）不完全相同，则 f（x）与 f1（x）图象的公共点必在直线 y=x 上；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）11设向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中 O 为坐标原点，a0，b0，若 A、B、C 三点共线，则+的最小值为12如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2cm，高为 5cm，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm二、
4、选择题（共二、选择题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13“x2”是“x24”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件14若无穷等差数列an的首项 a10，公差 d0，an的前 n 项和为 Sn，则以下结论中一定正确的是（）ASn单调递增BSn单调递减CSn有最小值DSn有最大值15给出下列命题：（1）存在实数 使（2）直线是函数 y=sinx 图象的一条对称轴（3）y=cos（cosx）（xR）的值域是cos1，1（4）若，都是第一象限角，且，则 tantan其中正确命题的题号为（）A（1）（2）B（2）（3
5、）C（3）（4）D（1）（4）16如果对一切实数 x、y，不等式cos2xasinx恒成立，则实数 a 的取值范围是（）A（，三、解答题（共三、解答题（共 5 5 小题，满分小题，满分 7676 分）分）17如图，已知 AB平面 BCD，BCCD，AD 与平面 BCD 所成的角为 30，且AB=BC=2；（1）求三棱锥 ABCD 的体积；（2）设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）B3，+）C2，2D3，318在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 8sin2（I）求角 A 的大小；（II）若 a=，b+c=3，求 b
6、和 c 的值19某地要建造一个边长为 2（单位：km）的正方形市民休闲公园 OABC，将其中的区域 ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点 D 的坐标为（1，2），曲线 OD 是函数 y=ax2图象的一部分，对边 OA 上一点 M 在区域OABD 内作一次函数 y=kx+b（k0）的图象，与线段 DB 交于点 N（点 N 不与点D 重合），且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P，四边形 MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=；（2）设点 P 的横坐标为 t，用 t 表示 M、N 两点坐标；将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数 S=S（t），并求 S
7、 的最大值20已知函数 f（x）=9x2a3x+3：（1）若 a=1，x0，1时，求 f（x）的值域；（2）当 x1，1时，求 f（x）的最小值 h（a）；（3）是否存在实数 m、n，同时满足下列条件：nm3；当 h（a）的定义域为m，n时，其值域为m2，n2，若存在，求出 m、n 的值，若不存在，请说明理由21已知无穷数列 an的各项都是正数，其前n 项和为 Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+11，其中 a1，常数 rN；（1）求证：an+2an是一个定值；（2）若数列an是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意 nN*，都有an+T=an成立，则称an为周期数列，T 为它的一个周期
8、，求该数列的最小周期；（3）若数列an是各项均为有理数的等差数列，cn=23n1（nN*），问：数列cn中的所有项是否都是数列an中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例20172017 年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题（共一、填空题（共 1212 小题，小题，1616 每题每题 4 4 分，分，712712 每题每题 5 5 分，共分，共 5454 分）分）1设集合 A=x|x2|1，xR，集合 B=Z，则 AB=2【考点】交集及其运算【分析】利用交集定义求解【解答】解：|x2|1，即1x21，解得
9、 1x3，即 A=（1，3），集合 B=Z，则 AB=2，故答案为：22函数 y=sin（x）（0）的最小正周期是，则=2【考点】正弦函数的图象【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值【解答】解：y=sin（xT=2故答案是：23设 i 为虚数单位，在复平面上，复数【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出【解答】解：复数原点的距离=对应的点到对应的点到原点的距离为=，）（0），故答案为：4若函数 f（x）=log2（x+1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），则实数 a=3【考点】反函数【分析】由题意可得函数 f（x）=log2（x+
10、1）+a 过（1，4），代入求得 a 的值【解答】解：函数 f（x）=log2（x+1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），即函数 f（x）=log2（x+1）+a 的图象经过点（1，4），4=log2（1+1）+a4=1+a，a=3故答案为：35已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n=6【考点】二项式系数的性质【分析】令二项式中的 a=b=1 得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和 2n，据已知列出方程求出 n 的值【解答】解：令二项式中的 a=b=1 得到展开式中的各项系数的和 4n又各项二项式系数的和为 2n据题
11、意得故答案：66甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有1 门相同的选法有60种【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】间接法：先求所有两人各选修 2 门的种数，再求两人所选两门都，解得 n=6相同与都不同的种数，作差可得答案【解答】解：根据题意，采用间接法：由题意可得，所有两人各选修 2 门的种数 C52C52=100，两人所选两门都相同的有为 C52=10 种，都不同的种数为 C52C32=30，故只恰好有 1 门相同的选法有 1001030=60 种故答案为 607若圆锥的侧面展开图是半径为 2cm，圆心角为 270的扇形，则这个圆锥的体积为cm3【考点
12、】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案【解答】解：设此圆锥的底面半径为 r，由题意，得：2r=2，解得 r=故圆锥的高 h=，cm3圆锥的体积 V=r2h=故答案为：8若数列an的所有项都是正数，且（）=2+=n2+3n（nN*），则【考点】数列的求和；极限及其运算【分析】利用数列递推关系可得 an，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出【解答】解：a1=16+=n2+3n（nN*），n=1 时，=4，解得n2 时，且an=4（n+1）2+=（n1）2+3（n1），可得：=2n+
13、2，=4（n+1）（）=2故答案为：29如图，在ABC 中，B=45，D 是 BC 边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则 AB 的长为【考点】余弦定理【分析】先根据余弦定理求出ADC 的值，即可得到ADB 的值，最后根据正弦定理可得答案【解答】解：在ADC 中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得 cosADC=ADC=120，ADB=60在ABD 中，AD=5，B=45，ADB=60，由正弦定理得AB=，故答案为：10有以下命题：若函数 f（x）既是奇函数又是偶函数，则 f（x）的值域为0；若函数 f（x）是偶函数，则 f（|x|）=f（x）；若函数 f（x）在其定义域内不是单
14、调函数，则 f（x）不存在反函数；若函数 f（x）存在反函数 f1（x），且 f1（x）与 f（x）不完全相同，则 f（x）与 f1（x）图象的公共点必在直线 y=x 上；其中真命题的序号是（写出所有真命题的序号）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】函数 f（x）既是奇函数又是偶函数，则 f（x）=0利用偶函数的定义和性质判断利用单调函数的定义进行判断利用反函数的性质进行判断【解答】解：若函数 f（x）既是奇函数又是偶函数，则 f（x）=0，为常数函数，所以 f（x）的值域是0，所以正确若函数为偶函数，则 f（x）=f（x），所以 f（|x|）=f（x）成立，所以正确因为函数 f
15、（x）=在定义域上不单调，但函数 f（x）存在反函数，所以错误原函数图象与其反函数图象的交点关于直线 y=x 对称，但不一定在直线 y=x上，比如函数 y=（0，1），显然交点不在直线 y=x 上，所以错误故答案为：11设向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中 O 为坐标与其反函数 y=x21（x0）的交点坐标有（1，0），原点，a0，b0，若 A、B、C 三点共线，则+的最小值为8【考点】基本不等式【分析】A、B、C 三点共线，则=，化简可得2a+b=1根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值【解答】解：向量=（1，2），=（a，1），=（b，0），其中 O为坐标
16、原点，a0，b0，=（a1，1），=（b1，2），A、B、C 三点共线，解得 2a+b=1，+=（+）（2a+b）=2+2+b=，取等号，故+的最小值为 8，故答案为：812如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长为 2cm，高为 5cm，一质点自 A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13cm4+2=8，当且仅当a=，=，【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径【解答】解：将正三棱柱 ABCA1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图
17、中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值由已知求得矩形的长等于 62=12，宽等于 5，由勾股定理 d=故答案为：13二、选择题（共二、选择题（共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 2020 分）分）13“x2”是“x24”的（）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】先求出 x24 的充要条件，结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由 x24，解得：2x2，故 x2 是 x24 的必要不充分条件，故选：B14若无穷等差数列an的首项 a10，公差 d0
18、，an的前 n 项和为 Sn，则以下结论中一定正确的是（）ASn单调递增BSn单调递减CSn有最小值DSn有最大值=13【考点】等差数列的前 n 项和【分析】Sn=na1+结论【解答】解：Sn=na1+0，Sn有最小值d=n2+n，d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出故选：C15给出下列命题：（1）存在实数 使（2）直线是函数 y=sinx 图象的一条对称轴（3）y=cos（cosx）（xR）的值域是cos1，1（4）若，都是第一象限角，且，则 tantan其中正确命题的题号为（）A（1）（2）B（2）（3）C（3）（4）D（1）（4）【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函
19、数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域【分析】（1）利用辅助角公式将（2）根据函数 y=sinx 图象的对称轴方程可判断（2）；（3）根据余弦函数的性质可求出 y=cos（cosx）（xR）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；（4）用特值法令，都是第一象限角，且，可判断（4）【解答】解：（1）（2）y=sinx 图象的对称轴方程为（2）正确；（3）根据余弦函数的性质可得 y=cos（cosx）的最大值为 ymax=cos0=1，ymin=cos（cos1），其值域是cos1，1，（3）正确；（4）不妨令tan，（4）错误；故选 B16如果对一切实数 x、y，不等式cos2xasin
20、x恒成立，则实数 a 的取值范围是（），满足，都是第一象限角，且，但 tan，（1）错误；，k=1，可判断（1）；A（，B3，+）C2，2D3，3【考点】函数恒成立问题【分析】将不等式cos2xasinx恒成立转化为+asinx+1sin2x 恒成立，构造函数 f（y）=+，利用基本不等式可求得 f（y）min=3，于是问题转化为 asinxsin2x2 恒成立通过对 sinx0、sinx0、sinx=0 三类讨论，可求得对应情况下的实数 a 的取值范围，最后取其交集即可得到答案【解答】解：实数 x、y，不等式cos2xasinx恒成立+asinx+1sin2x 恒成立，令 f（y）=+，则
21、asinx+1sin2xf（y）min，当 y0 时，f（y）=+2当 y0 时，f（y）=+2“=”），f（y）max=3，f（y）min不存在；综上所述，f（y）min=3所以，asinx+1sin2x3，即 asinxsin2x2 恒成立若 sinx0，asinx+恒成立，令 sinx=t，则 0t1，再令 g（t）=t+=3（当且仅当 y=6 时取“=”），f（y）min=3；=3（当且仅当y=6 时取（0t1），则 ag（t）min由于 g（t）=10，所以，g（t）=t+在区间（0，1上单调递减，因此，g（t）min=g（1）=3，所以 a3；若 sinx0，则 asinx+恒成立
22、，同理可得 a3；若 sinx=0，02 恒成立，故 aR；综合，3a3故选：D三、解答题（共三、解答题（共 5 5 小题，满分小题，满分 7676 分）分）17如图，已知 AB平面 BCD，BCCD，AD 与平面 BCD 所成的角为 30，且AB=BC=2；（1）求三棱锥 ABCD 的体积；（2）设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角【分析】（1）由 AB平面 BCD，得 CD平面 ABC，由此能求出三棱锥 ABCD 的体积（2）以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C
23、 作平面 BCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线 AD 与 CM 所成角的大小【解答】解：（1）如图，因为 AB平面 BCD，所以 ABCD，又 BCCD，所以 CD平面 ABC，因为 AB平面 BCD，AD 与平面 BCD 所成的角为 30，故ADB=30，由 AB=BC=2，得 AD=4，AC=2BD=则 VABCD=2，CD=，=2，=（2）以 C 为原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，过 C 作平面 BCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（0，2，2），D（2（=（2），2，2），=（），0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M设异
24、面直线 AD 与 CM 所成角为，则 cos=arccos=异面直线 AD 与 CM 所成角的大小为 arccos18在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 8sin2（I）求角 A 的大小；（II）若 a=，b+c=3，求 b 和 c 的值【考点】余弦定理；解三角形【分析】（I）在ABC 中有 B+C=A，由条件可得：41cos（B+C）4cos2A+2=7，解方程求得 cosA 的值，即可得到 A 的值（II）由余弦定理值【解答】解：（I）在ABC 中有 B+C=A，由条件可得：41cos（B+C）4cos2A+2=7，又cos（B+C）=cosA，4cos2A4cos
25、A+1=0解得（II）由又，及 a=，b+c=3，解方程组求得 b 和 c 的由19某地要建造一个边长为 2（单位：km）的正方形市民休闲公园 OABC，将其中的区域 ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点 D 的坐标为（1，2），曲线 OD 是函数 y=ax2图象的一部分，对边 OA 上一点 M 在区域OABD 内作一次函数 y=kx+b（k0）的图象，与线段 DB 交于点 N（点 N 不与点D 重合），且线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P，四边形 MABN 为绿化风景区：（1）求证：b=；（2）设点 P 的横坐标为 t，用 t 表示 M、N 两点坐标；将四边形
26、MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数 S=S（t），并求 S 的最大值【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）根据函数 y=ax2过点 D，求出解析式 y=2x2；由得=0 即可证明 b=；，消去 y（2）写出点 P 的坐标（t，2t2），代入直线 MN 的方程，用 t 表示出直线方程为 y=4tx2t2，令 y=0，求出 M 的坐标；令 y=2 求出 N 的坐标；将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数 S（t），利用基本不等式求出S 的最大值【解答】（1）证明：函数 y=ax2过点 D（1，2），代入计算得 a=2，y=2x2；由，消去 y 得 2x2kxb=0，由
27、线段 MN 与曲线 OD 有且只有一个公共点 P，得=（k）242b=0，解得 b=；（2）解：设点 P 的横坐标为 t，则 P（t，2t2）；直线 MN 的方程为 y=kx+b，即 y=kxkt过点 P，=2t2，解得 k=4t；y=4tx2t2令 y=0，解得 x=，M（，0）；令 y=2，解得 x=+，N（+，2）；将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于 t 的函数为S=S（t）=22 2+（+由 t+2=）=4（t+，即 t=）；时“=”成立，当且仅当 t=所以 S42；即 S 的最大值是 420已知函数 f（x）=9x2a3x+3：（1）若 a=1，x0，1时，求 f（x）的值域
28、；（2）当 x1，1时，求 f（x）的最小值 h（a）；（3）是否存在实数 m、n，同时满足下列条件：nm3；当 h（a）的定义域为m，n时，其值域为m2，n2，若存在，求出 m、n 的值，若不存在，请说明理由【考点】函数的最值及其几何意义；函数的值域【分析】（1）设 t=3x，则（t）=t22at+3=（ta）2+3a2，（t）的对称轴为 t=a，当 a=1 时，即可求出 f（x）的值域；（2）由函数（t）的对称轴为 t=a，分类讨论当 a时，当a3 时，当a3 时，求出最小值，则 h（a）的表达式可求；（3）假设满足题意的 m，n 存在，函数 h（a）在（3，+）上是减函数，求出h（a）的
29、定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论【解答】解：（1）函数 f（x）=9x2a3x+3，设 t=3x，t1，3，则（t）=t22at+3=（ta）2+3a2，对称轴为 t=a当 a=1 时，（t）=（t1）2+2 在1，3递增，（t）（1），（3），函数 f（x）的值域是：2，6；（）函数（t）的对称轴为 t=a，当 x1，1时，t，3，当 a时，ymin=h（a）=（）=；当a3 时，ymin=h（a）=（a）=3a2；当 a3 时，ymin=h（a）=（3）=126a故 h（a）=；（）假设满足题意的 m，n 存在，nm3，h（a）=126a，函数 h（a）在（3，
30、+）上是减函数又h（a）的定义域为m，n，值域为m2，n2，则，两式相减得 6（nm）=（nm）（m+n），又nm3，mn0，m+n=6，与 nm3 矛盾满足题意的 m，n 不存在21已知无穷数列 an的各项都是正数，其前n 项和为 Sn，且满足：a1=a，rSn=anan+11，其中 a1，常数 rN；（1）求证：an+2an是一个定值；（2）若数列an是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意 nN*，都有an+T=an成立，则称an为周期数列，T 为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列an是各项均为有理数的等差数列，cn=23n1（nN*），问：数列cn中的所有项是否都是数列an
31、中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例【考点】数列递推式【分析】（1）由 rSn=anan+11，利用迭代法得：ran+1=an+1（an+2an），由此能够证明 an+2an为定值（2）当 n=1 时，ra=aa21，故 a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由 r0 和 r=0 两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期（3）因为数列an是一个有理等差数列，所以 a+a=r=2（r+），化简 2a2ar2=0，解得 a 是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出 Sn【解答】（1）证明：rSn=anan+11，rSn+1=an+1an+21，得：ran+1=an+1（an+2a
32、n），an0，an+2an=r（2）解：当 n=1 时，ra=aa21，a2=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a，r+，a+r，2r+，a+2r，3r+，当 r0 时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，r=0 时，数列写出数列的前几项：a，a，所以当 a0 且 a1 时，该数列的周期是 2，（3）解：因为数列an是一个有理等差数列，a+a+r=2（r+），化简 2a2ar2=0，a=是有理数设=k，是一个完全平方数，则 r2+16=k2，r，k 均是非负整数 r=0 时，a=1，an=1，Sn=nr0 时（kr）（k+r）=16=28=44 可以分解成 8 组，其中只有此时 a=2，an=，符合要求，Sn=，cn=23n1（nN*），an=1 时，不符合，舍去an=数，因此数列cn中的所有项不都是数列an中的项时，若 23n1=，则：3k=43n11，n=2 时，k=，不是整20172017 年年 4 4 月月 1818 日日