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1、三年级奥数根底教程三年级奥数根底教程-包含与排包含与排除除_ _小学小学包含与排除包含与排除同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除，大家同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除，大家先一起答复两个问题：先一起答复两个问题：(1)(1)两个面积都是两个面积都是 4 4 厘米厘米2 2的正方形摆在桌面上的正方形摆在桌面上(见左下列图见左下列图)，它们遮盖住它们遮盖住桌面的面积是桌面的面积是 8 8 厘米厘米2 2吗？吗？(2)(2)一个正方形每条边上有一个正方形每条边上有 6 6 个点个点(见右上图见右上图)，四条边上一共有四条边上一共有 2424 个点吗？个点吗
2、？聪明的同学马上就会发现：聪明的同学马上就会发现：(1)(1)两个正方形的面积和是两个正方形的面积和是 8 8 厘米厘米2 2，现在它们有一局部重叠了。因此盖住，现在它们有一局部重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这局部面积，所以盖住桌桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这局部面积，所以盖住桌面的面积应少于面的面积应少于 8 8 厘米厘米2 2。(2)(2)四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有共有多少点时，应当减去重复计算的点，
3、所以共有 6 64-44-4 20(20(个个)点。点。这两个问题，在计算时，都采用了“去掉重复的数值这两个问题，在计算时，都采用了“去掉重复的数值(面积或个数面积或个数)的方的方法。法。一般地，假设一般地，假设A A，B B，C C 三局部的数量三局部的数量(见右图见右图)，其中，其中C C 为为 A A，B B 的重复局部，的重复局部，那么图中的数量就等于那么图中的数量就等于A A B-C B-C。因为因为 A A，B B 有互相包含有互相包含(重复重复)的局部的局部 C C，所以，在求，所以，在求 A A 和和 B B 合在一起的数量合在一起的数量时，就要在时，就要在 A AB B 中减
4、去中减去 A A 和和 B B 互相包含的局部互相包含的局部 C C。这种方法称为包含排除法。这种方法称为包含排除法。实际上，实际上，我们前面已经遇到过包含与排除的问题。我们前面已经遇到过包含与排除的问题。如，如，第第 1010 讲讲“植树问题“植树问题的例的例 3 3 和例和例 4 4，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法。，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法。例例 1 1 把长把长 3838 厘米和厘米和 5353 厘米的两根铁条焊接成一根铁条。焊接局部长厘米的两根铁条焊接成一根铁条。焊接局部长 4 4 厘厘米，焊接后这根铁条有多长？米，焊接后这根铁条有多长？解：因为焊接局部为两根铁
5、条的重合局部，所以，由包含排除法知，焊接解：因为焊接局部为两根铁条的重合局部，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长后这根铁条长3838 53-4 53-4 87(87(厘米厘米)。例例 2 2 某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有 2828 人，参加数学兴趣小组人，参加数学兴趣小组的有的有 2929 人，有人，有 1212 人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣人两个小组都参加。这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？小组？分析与解：如上页左下列图所示，分析与解：如上页左下列图所示，A A 圆表示参加语文兴趣小组的人，圆表示参加语文兴趣小
6、组的人，B B 圆表圆表示参加数学兴趣小组的人，示参加数学兴趣小组的人，A A 与与 B B 重合的局部重合的局部(阴影局部阴影局部)表示同时参加两个小组表示同时参加两个小组的人。图中的人。图中 A A 圆不含阴影的局部表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组圆不含阴影的局部表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，的人，有有 28-1228-1216(16(人人)；图中图中 B B 圆不含阴影的局部表示只参加数学兴趣小组未圆不含阴影的局部表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有参加语文兴趣小组的人，有 29-1229-1217(17(人人)()(见上页右下列图见上页右下列图)。由
7、此得到参加语文或数学兴趣小组的有由此得到参加语文或数学兴趣小组的有1616 12 12 17 17 45(45(人人)。根据包含排除法，直接可得根据包含排除法，直接可得2828 29-12 29-12 45(45(人人)。例例 3 3 某班共有某班共有 4646 人，参加美术小组的有人，参加美术小组的有 1212 人，参加音乐小组的有人，参加音乐小组的有 2323 人，人，有有 5 5 人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多人两个小组都参加了。这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？少人？分析与解：与例分析与解：与例 2 2 比照，本例全班总人数，如果能仿照例比照，本例全班总人数，如果能仿照例 2 2 求出参加了美求出参加了美术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人术或音乐小组的人数，那么只需用全班总人数减去这个人数，就得到所求的人数。数。第 2 页第 3 页解：解：100 1003=333=331 1，1001005=205=20，100100(3(35)5)6 61010。333320-620-64747。6.336.33 个。个。解：解：100 1002=502=50，1001003=333=331 1，1001006 616164 4。100-(50100-(5033-16)33-16)3333。第 4 页