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1、3434 个小学奥数必考公式个小学奥数必考公式(小学小学1-61-6 年级奥数知识点年级奥数知识点)3434 个小学奥数必考公式（小学个小学奥数必考公式（小学 1-61-6 年级）年级）1 1、和差倍问题：、和差倍问题：已知条件已知条件公式适用范围公式适用范围和差问题和差问题几个数的和与差几个数的和与差和倍问题和倍问题几个数的和与倍数几个数的和与倍数差倍问题差倍问题几个数的差与倍数几个数的差与倍数已知两个数的和，差，倍数关系已知两个数的和，差，倍数关系(和差和差)2=2=较小数较小数较小数差较小数差=较大数较大数和和(倍数倍数1)=1)=小数小数小数倍数小数倍数=大数大数和小数和小数=大数大数
2、差差(倍数倍数-1)=-1)=小数小数小数倍数小数倍数=大数大数小数差小数差=大数大数公式公式和较小数和较小数=较大数较大数(和差和差)2=2=较大数较大数较大数差较大数差=较小数较小数和较大数和较大数=较小数较小数关键问题关键问题求出同一条件下的求出同一条件下的和与差和与差和与倍数和与倍数差与倍数差与倍数2 2、年龄问题的三个基本特征：、年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；3 3、归一问题的基本特点：、归一问题的基本特
3、点：问题中有一个不变的量，问题中有一个不变的量，一般是那个一般是那个“单一量”“单一量”，题目一般用题目一般用“照这样的速度”“照这样的速度”等词语来表示。等词语来表示。关键问题：关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；根据题目中的条件确定并求出单一量；4 4、植树问题：、植树问题：在直线或者不封闭的在直线或者不封闭的在直线或者不封闭的在直线或者不封闭的基本类型基本类型曲线上植树，两端都植曲线上植树，两端都植曲线上植树，两端都曲线上植树，两端都树树基本公式基本公式关键问题关键问题棵数棵数=段数段数1 1棵距段数棵距段数=总长总长不植树不植树棵数棵数=段数段数1 1棵距段数棵距段数=总长总长
4、在直线或者不封闭的曲在直线或者不封闭的曲封闭曲线上封闭曲线上线上植树，只有一端植树线上植树，只有一端植树植树植树棵数棵数=段数段数棵距段数棵距段数=总长总长确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系5 5、鸡兔同笼问题：、鸡兔同笼问题：基本概念：基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是
5、多少；假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。关键问题：找出总量的差与单位量的差。6 6
6、、盈亏问题：、盈亏问题：基本概念：基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，生一种结果，由于分组的标准不同，由于分组的标准不同，造成结果的差异，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。的组数或对象的总量。基本思路：基本思路：先将两种分配方案进行比较，先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。系求出参加分配的总份数，
7、然后根据题意求出对象的总量。基本题型：基本题型：一次有余数，另一次不足；一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：基本特点：对象总量和总的组数是不变的。对象总量和总的组数是不变的。关键问题：关键问题：确定对象总量和总的组数。确定对象总量和总的组
8、数。7 7、牛吃草问题：、牛吃草问题：基本思路：基本思路：假设每头牛吃草的速度为“假设每头牛吃草的速度为“1 1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：关键问题：确定两个不变的量。确定两个不变的量。基本公式：基本公式：生长量生长量=（较长时间长时间牛头数（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间较短时间短时间牛头数）（长时间-短
9、时短时间）；间）；总草量总草量=较长时间长时间牛头数较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；较长时间生长量；8 8、周期循环与数表规律：、周期循环与数表规律：周期现象：周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：关键问题：确定循环周期。确定循环周期。闰闰 年：一年有年：一年有 366366 天；天；年份能被年份能被 4 4 整除；如果年份能被整除；如果年份能被 100100 整除，则年份必须能被整除，则年份必须能被 400400 整除；整
10、除；平平 年：一年有年：一年有 365365 天。天。年份不能被年份不能被 4 4 整除；如果年份能被整除；如果年份能被 100100 整除，但不能被整除，但不能被 400400 整除；整除；9 9、平均数：、平均数：基本公式：基本公式：平均数平均数=总数量总份数总数量总份数总数量总数量=平均数总份数平均数总份数总份数总份数=总数量平均数总数量平均数平均数平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：基准数法：根据给出的数之间的关系，根据给出的数之间
11、的关系，确定一个基准数；确定一个基准数；一般选与所有数比较一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式1010、抽屉原理：、抽屉原理：抽屉原则一：抽屉原则一：如果把（如果把（n+1n+1）个物体放在）个物体放在 n n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有个抽屉里，
12、那么必有一个抽屉中至少放有 2 2 个物个物体。体。例：把例：把 4 4 个物体放在个物体放在 3 3 个抽屉里，也就是把个抽屉里，也就是把 4 4 分解成三个整数的和，那么就有分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：以下四种情况：4=4+0+04=4+0+0 4=3+1+04=3+1+0 4=2+2+04=2+2+0 4=2+1+14=2+1+1观察上面四种放物体的方式，观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有总有那么一个抽屉里有2 2 个或多于个或多于 2 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放
13、有 2 2 个物体。个物体。抽屉原则二：抽屉原则二：如果把如果把 n n 个物体放在个物体放在 mm 个抽屉里，其中个抽屉里，其中 nmnm，那么必有一个抽屉至少有，那么必有一个抽屉至少有:k=n/m+1k=n/m+1 个物体：当个物体：当 n n 不能被不能被 mm 整除时。整除时。k=n/mk=n/m 个物体：当个物体：当 n n 能被能被 mm 整除时。整除时。理解知识点：理解知识点：XX表示不超过表示不超过 X X 的最大整数。的最大整数。例例4.351=44.351=4；0.321=00.321=0；2.9999=22.9999=2；关键问题：关键问题：构造物体和抽屉。构造物体和抽屉
14、。也就是找到代表物体和抽屉的量，也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。而后依据抽屉原则进行运算。1111、定义新运算：、定义新运算：基本概念：基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：基本思路：严格按照新定义的运算规则，严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，转化为加减乘除的运算，然后按然后按照基本运算过程、规律进行运算。照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。正确理解定义的运算符号的意义
15、。注意事项：注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。1212、数列求和：、数列求和：等差数列：等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用首项：等差数列的第一个数，一般用 a1a1 表示；表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用项数：等差数列的所有数的个数，一般用 n n 表示；表示；公差：数列中任意
16、相邻两个数的差，一般用公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用 d d 表示；表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用通项：表示数列中每一个数的公式，一般用 anan 表示；表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用数列的和：这一数列全部数字的和，一般用 SnSn 表示表示基本思路：基本思路：等差数列中涉及五个量：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn,a1,an,d,n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求
17、这第四个。求这第四个。基本公式：基本公式：通项公式：通项公式：an=a1+an=a1+（n n1 1）d d；通项首项（项数一通项首项（项数一 1)1)公差；公差；数列和公式：数列和公式：sn,=(a1+an)sn,=(a1+an)n n 2 2；数列和（首项末项）项数数列和（首项末项）项数2 2；项数公式：项数公式：n=(an+a1)n=(an+a1)d d1 1；项数项数=（末项（末项-首项）公差首项）公差1 1；公差公式：公差公式：d=d=（anana1a1）（）（n n1 1）；）；公差公差=（末项首项）（项数（末项首项）（项数1 1）；）；关键问题：关键问题：确定已知量和未知量，确定
18、使用的公式；确定已知量和未知量，确定使用的公式；1313、二进制及其应用：、二进制及其应用：十进制：十进制：用用 0 09 9 十个数字表示，逢十个数字表示，逢 1010 进进 1 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的上的 2 2 表示表示 2020，百位上的，百位上的 2 2 表示表示 200200。所以。所以 234=200+30+4=2234=200+30+4=2 102+3102+3 10+410+4。=An=An 10n-1+An-110n-1+An-1 10n-2+An-210n-2+An-2 10n-3+An-310n-3+An-3
19、10n-4+An-410n-4+An-4 10n-5+An-610n-5+An-6 10n-7+10n-7+A3+A3 102+A2102+A2 101+A1101+A1 100100注意：注意：N0=N0=；NN=N=N（其中（其中 NN 是任意自然数）是任意自然数）二进制：二进制：用用 0 01 1 两个数字表示，逢两个数字表示，逢 2 2 进进 1 1；不同数位上的数字表示不同的含义。；不同数位上的数字表示不同的含义。（2 2）=An=An 2n-1+An-12n-1+An-1 2n-2+An-22n-2+An-2 2n-3+An-32n-3+An-3 2n-4+An-42n-4+An-
20、4 2n-5+An-62n-5+An-6 2n-72n-7+A3+A3 22+A222+A2 21+A121+A1 2020注意：注意：AnAn 不是不是 0 0 就是就是 1 1。十进制化成二进制：十进制化成二进制：根据二进制满根据二进制满 2 2 进进 1 1 的特点，用的特点，用 2 2 连续去除这个数，直到商为连续去除这个数，直到商为 0 0，然后把每，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的先找出不大于该数的 2 2 的的 n n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的次方，再求它们的差，再找不大于这个差的 2 2 的的n n
21、 次方，依此方法一直找到差为次方，依此方法一直找到差为 0 0，按照二进制展开式特点即可写出。，按照二进制展开式特点即可写出。1414、加法乘法原理和几何计数：、加法乘法原理和几何计数：加法原理：加法原理：如果完成一件任务有如果完成一件任务有 n n 类方法，在第一类方法中有类方法，在第一类方法中有 m1m1 种不同方法，在第二类种不同方法，在第二类方法中有方法中有 m2m2 种不同方法，在第种不同方法，在第 n n 类方法中有类方法中有 mnmn 种不同方法，那么完成种不同方法，那么完成这件任务共有：这件任务共有：m1+m2.+mnm1+m2.+mn 种不同的方法。种不同的方法。关键问题：关
22、键问题：确定工作的分类方法。确定工作的分类方法。基本特征：基本特征：每一种方法都可完成任务。每一种方法都可完成任务。乘法原理：乘法原理：如果完成一件任务需要分成如果完成一件任务需要分成 n n 个步骤进行，做第个步骤进行，做第 1 1 步有步有 m1m1 种方法，不管第种方法，不管第 1 1步用哪一种方法，第步用哪一种方法，第 2 2 步总有步总有 m2m2 种方法不管前面种方法不管前面 n-1n-1 步用哪种方法，第步用哪种方法，第n n 步总有步总有 mnmn 种方法，那么完成这件任务共有：种方法，那么完成这件任务共有：m1m1 m2.m2.mnmn 种不同的方种不同的方法。法。关键问题：
23、关键问题：确定工作的完成步骤。确定工作的完成步骤。基本特征：基本特征：每一步只能完成任务的一部分。每一步只能完成任务的一部分。直线：直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：直线特点：没有端点，没有长度。没有端点，没有长度。线段：线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：线段特点：有两个端点，有长度。有两个端点，有长度。射线：射线：把直线的一端无限延长。把直线的一端无限延长。射线特点：射线特点：只有一个端点；没有长度。只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数数线段
24、规律：总数1+2+3+1+2+3+（点数一（点数一 1 1）；）；数角规律数角规律=1+2+3+=1+2+3+（射线数一（射线数一 1 1）；）；数长方形规律：个数数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数数长方形规律：个数=1=1 1+21+2 2+32+3 3+3+行数列数行数列数1515、质数与合数：、质数与合数：质数：质数：一个数除了一个数除了 1 1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：合数：一个数除了一个数除了 1 1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数
25、。和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。叫做分解质因数。通常用短除法分解质因通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：分解质因数的标准表示形式：N=N=，其中其中 a1a1、a2a2、a3a3anan 都是合数都是合数 NN 的质因数，的质因数，且且 a1a2a
26、3a1a2a3anan。求约数个数的公式：求约数个数的公式：P=(r1+1)P=(r1+1)(r2+1)(r2+1)(r3+1)(r3+1)(rn+1)(rn+1)互质数：互质数：如果两个数的最大公约数是如果两个数的最大公约数是 1 1，这两个数叫做互质数。，这两个数叫做互质数。1616、约数与倍数：、约数与倍数：约数和倍数：约数和倍数：若整数若整数 a a 能够被能够被 b b 整除，整除，a a 叫做叫做 b b 的倍数，的倍数，b b 就叫做就叫做 a a 的约数。的约数。公约数：公约数：几个数公有的约数，几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，其中
27、最大的一个，叫做这几个数的叫做这几个数的最大公约数。最大公约数。最大公约数的性质：最大公约数的性质：1 1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2 2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3 3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4 4、几个数都乘以一个自然数几个数都乘以一个自然数 mm，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以公约数乘以 mm。例如：例如：1212 的约数有的约
28、数有 1 1、2 2、3 3、4 4、6 6、1212；1818 的约数有：的约数有：1 1、2 2、3 3、6 6、9 9、1818；那么那么 1212 和和 1818 的公约数有：的公约数有：1 1、2 2、3 3、6 6；那么那么 1212 和和 1818 最大的公约数是：最大的公约数是：6 6，记作（，记作（1212，1818）=6=6；求最大公约数基本方法：求最大公约数基本方法：1 1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2 2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3 3、辗转
29、相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。的最大公约数。公倍数：公倍数：几个数公有的倍数，几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，其中最小的一个，叫做这几个数的叫做这几个数的最小公倍数。最小公倍数。1212 的倍数有：的倍数有：1212、2424、3636、4848；1818 的倍数有：的倍数有：1818、3636、5454、7272；那么那么 1212 和和 1818 的公倍数有：的公倍数有：3636、7272、108108；那么那么 1212 和和 1
30、818 最小的公倍数是最小的公倍数是 3636，记作，记作1212，18=3618=36；最小公倍数的性质：最小公倍数的性质：1 1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2 2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：求最小公倍数基本方法：1 1、短除法求最小公倍数；、短除法求最小公倍数；2 2、分解质因数的方法、分解质因数的方法1717、数的整除：、数的整除：基本概念和符号：基本概念和符号：1 1、整除：如果一个整数、整除：如果一个整数 a a，除
31、以一个自然数，除以一个自然数 b b，得到一个整数商，得到一个整数商 c c，而且没有，而且没有余数，那么叫做余数，那么叫做 a a 能被能被 b b 整除或整除或 b b 能整除能整除 a a，记作，记作 b|ab|a。2 2、常用符号：整除符号“、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的”；因为符号“”，所以的符号“”；符号“”；整除判断方法：整除判断方法：1.1.能被能被 2 2、5 5 整除：末位上的数字能被整除：末位上的数字能被 2 2、5 5 整除。整除。2.2.能被能被 4 4、2525 整除：末两位的数字所组成的数能被整除：末两位的数字
32、所组成的数能被 4 4、2525 整除。整除。3.3.能被能被 8 8、125125 整除：末三位的数字所组成的数能被整除：末三位的数字所组成的数能被 8 8、125125 整除。整除。4.4.能被能被 3 3、9 9 整除：各个数位上数字的和能被整除：各个数位上数字的和能被 3 3、9 9 整除。整除。5.5.能被能被 7 7 整除：整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7 7 整除。整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 2 2 倍后能被倍后能被 7 7 整除。整除。6
33、.6.能被能被 1111 整除：整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 1111 整除。整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被 1111 整除。整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被 1111 整除。整除。7.7.能被能被 1313 整除：整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被 1313 整除。整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位
34、数字的逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的 9 9 倍后能被倍后能被 1313 整除。整除。整除的性质：整除的性质：1.1.如果如果 a a、b b 能被能被 c c 整除，那么（整除，那么（a+ba+b）与（）与（a-ba-b）也能被）也能被 c c 整除。整除。2.2.如果如果 a a 能被能被 b b 整除，整除，c c 是整数，那么是整数，那么 a a 乘以乘以 c c 也能被也能被 b b 整除。整除。3.3.如果如果 a a 能被能被 b b 整除，整除，b b 又能被又能被 c c 整除，那么整除，那么 a a 也能被也能被 c c 整除。整除。4.4.如果如果 a a 能被能被
35、 b b、c c 整除，那么整除，那么 a a 也能被也能被 b b 和和 c c 的最小公倍数整除。的最小公倍数整除。1818、余数及其应用：、余数及其应用：基本概念：基本概念：对任意自然数对任意自然数 a a、b b、q q、r r，如果使得，如果使得 a a b=qb=qr r，且，且 0rb,0rb,那么那么 r r 叫做叫做 a a除以除以 b b 的余数，的余数，q q 叫做叫做 a a 除以除以 b b 的不完全商。的不完全商。余数的性质：余数的性质：余数小于除数。余数小于除数。若若 a a、b b 除以除以 c c 的余数相同，则的余数相同，则 c|a-bc|a-b 或或 c|
36、b-ac|b-a。a a 与与 b b 的和除以的和除以 c c 的余数等于的余数等于 a a 除以除以 c c 的余数加上的余数加上 b b 除以除以 c c 的余数的和除以的余数的和除以 c c的余数。的余数。a a 与与 b b 的积除以的积除以 c c 的余数等于的余数等于 a a 除以除以 c c 的余数与的余数与 b b 除以除以 c c 的余数的积除以的余数的积除以 c c的余数。的余数。1919、余数、同余与周期：、余数、同余与周期：同余的定义：同余的定义：若两个整数若两个整数 a a、b b 除以除以 mm 的余数相同，则称的余数相同，则称 a a、b b 对于模对于模 mm
37、 同余。同余。已知三个整数已知三个整数 a a、b b、mm，如果，如果 m|a-bm|a-b，就称，就称 a a、b b 对于模对于模 mm 同余，记作同余，记作 a a b(mod m)b(mod m)，读作，读作 a a 同余于同余于 b b 模模 mm。同余的性质：同余的性质：自身性：自身性：a a a(mod m)a(mod m)；对称性：若对称性：若 a a b(mod m)b(mod m)，则，则 b b a(mod m)a(mod m)；传递性：若传递性：若 a a b(mod m)b(mod m)，b b c(mod m)c(mod m)，则，则 a a c(mod m)c(
38、mod m)；和差性：若和差性：若 a a b(mod m)b(mod m)，c c d(mod m)d(mod m)，则，则 a+ca+c b+d(mod m)b+d(mod m)，a-ca-c b-d(mod m)b-d(mod m)；相乘性：若相乘性：若 a a b(mod m)b(mod m)，c c d(mod m)d(mod m)，则，则 a a c c b b d(mod m)d(mod m)；乘方性：若乘方性：若 a a b(mod m)b(mod m)，则，则 anan bn(mod m)bn(mod m)；同倍性同倍性:若若 a a b(mod m)b(mod m)，整数，
39、整数 c c，则，则 a a c c b b c(mod mc(mod m c)c)；关于乘方的预备知识：关于乘方的预备知识：若若 A=aA=a b b，则，则 MA=MaMA=Ma b=b=（MaMa）b b若若 B=c+dB=c+d 则则 MB=Mc+d=McMB=Mc+d=Mc MdMd被被 3 3、9 9、1111 除后的余数特征：除后的余数特征：一个自然数一个自然数 MM，n n 表示表示 MM 的各个数位上数字的和，的各个数位上数字的和，则则 MM n(mod 9)n(mod 9)或或（modmod3 3）；）；一个自然数一个自然数 MM，X X 表示表示 MM 的各个奇数位上数字
40、的和，的各个奇数位上数字的和，Y Y 表示表示 MM 的各个偶数的各个偶数数位上数字的和，则数位上数字的和，则 MM Y-XY-X 或或 MM 11-11-（X-YX-Y）(mod 11)(mod 11)；费尔马小定理：费尔马小定理：如果如果 p p 是质数是质数（素数）（素数），a a 是自然数，是自然数，且且 a a 不能被不能被 p p 整除，整除，则则 ap-1ap-1 1(mod p)1(mod p)。2020、分数与百分数的应用：、分数与百分数的应用：基本概念与性质：基本概念与性质：分数：把单位“分数：把单位“1 1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。”平均分成几份，表示这样
41、的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 0 除外），分数的大除外），分数的大小不变。小不变。分数单位：把单位“分数单位：把单位“1 1”平均分成几份，表示这样一份的数。”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。对应思维方法：找出题目中具体的量与它
42、所占的率的直接对应关系。转化思维方法：转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；成比例和转换成倍数关系；把不同的标准把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）（在分数中一般指的是一倍量）下的分下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：假设思维方法：为了解题的方便，为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果
43、，然后再进行调整，求出最后结果。设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：量不变思维方法：在变化的各个量当中，在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，总有一个量是不变的，不论其他量如不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A A、分量发生变化，总、分量发生变化，总量不变。量不变。B B、总量发生变化，但其中有的分量不变。、总量发生变化，但其中有的分量不变。C C、总量和分量都发生变化，、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。但分量之间的差量不变化。替换思维方法：替换思维方法：用
44、一种量代替另一种量，用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、从而使数量关系单一化、量率关系明量率关系明朗化。朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。2121、分数大小的比较：、分数大小的比较：基本方法：基本方法：通分分子法：通分分子法：使所有分数的分子相同，使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：通分分母法：使所有分数的分母相同，使所有分数的分母相同，根
45、据同分母分数大小和分子的关系比较。根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值分子或分母越大的分数值越大。越大。倍率比较法：倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方除了运用以上方法外，法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）（具体运用见同倍率变化规律
46、）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和 1 1 进行比较。进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和 0 0 比较。比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。2222、分数拆分：、分数拆分：将
47、一个分数单位分解成两个分数之和的公式：将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：2323、完全平方数：、完全平方数：完全平方数特征：完全平方数特征：1.1.末位数字只能是：末位数字只能是：0 0、1 1、4 4、5 5、6 6、9 9；反之不成立。；反之不成立。2.2.除以除以 3 3 余余 0 0 或余或余 1 1；反之不成立。；反之不成立。3.3.除以除以 4 4 余余 0 0 或余或余 1 1；反之不成立。；反之不成立。4.4.约数个数为奇数；反之成立。约数个数为奇数；反之成立。5.5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.6.奇数平方个位数字
48、是奇数；偶数平方个位数字是偶数。奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式：平方差公式：X2-Y2=X2-Y2=（X-YX-Y）（）（X+YX+Y）完全平方和公式：完全平方和公式：（X+YX+Y）2=X2+2XY+Y22=X2+2XY+Y2完全平方差公式：完全平方差公式：（X-YX-Y）2=X2-2XY+Y22=X2-2XY+Y22424、比和比例：、比和比例：比：比：两个数相除又叫两个数的比。两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后比号
49、后面的数叫比的后项。项。比值：比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：比例：表示两个比相等的式子叫做比例。表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:da:b=c:d 或或比例的性质：比例的性质：两个外项积等于两个内项积两个外项积等于两个内项积(交叉相乘交叉相乘)，ad=bcad=bc。正比例：正比例：若若 A A 扩大或缩小几倍，扩大或缩小几倍，B B 也扩大或缩小几倍（也扩大或缩小几倍（ABAB 的商不变时），则的商不变时
50、），则 A A 与与 B B 成成正比。正比。反比例：反比例：若若 A A 扩大或缩小几倍，扩大或缩小几倍，B B 也缩小或扩大几倍（也缩小或扩大几倍（ABAB 的积不变时），则的积不变时），则 A A 与与 B B 成成反比。反比。比例尺：比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配：按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。2525、综合行程：、综合行程：基本概念：基本概念：行程问题是研究物体运动的，行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、它研究的是物体速度、时间、时间、路程三者之间的关系