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1、-.中考问题之中考问题之-因动点产生的等腰三角形因动点产生的等腰三角形【压轴题型概述】【压轴题型概述】本专题专门探求图形在变化过程中，符合等腰三角形的点的存在性问题.这个动点可以在x轴、y轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；可能是一个点在运动，也有可能两个点同时运动；所以这类题目的解答要根据运动本身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度.等腰三角形的题目围较广，题型很多.数形结合，可以直观地找到解题的捷径；代数方法、几何方法各有千秋，灵活应用才能事半功倍.这局部考题在中考试卷中的比例很大，约占30%左右.【策略分级细述】【策略分级细述】1.1.怎样设动点的坐标怎样设
2、动点的坐标1假设动点在x轴上，因为横坐标x在变化，纵坐标y没有变化，始终等于 0，所以可设动点坐标为x，0；假设动点在y轴上，横坐标x没有变化，始终等于0，纵坐标y在变化，所以可设动点坐标为0，y.32假设动点在函数yf(x)上，那么横坐标设为x，纵坐标设为f(x).例如，点A在反比例函数yx333的图像上，设Ax，y，因为y，所以用来代替y，这种情况一般就直接设Ax，；又如：xxx11点B在一次函数y2x上，直接设Bx，2x.222.2.等腰三角形要分类讨论等腰三角形要分类讨论如图 1-1，一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况：AB=AC；AB=BC；BC=AC，所以要分类进行讨论.BA(
3、x x1 1,y y1 1)AyB(x x2 2,y y2 2)OCyABOxx图 1-1图 1-2图 1-33.坐标系中三角形边长的表示坐标系中三角形边长的表示如图 1-2，假设三角形AOB 的三个顶点在平面直角坐标系中，设Ax1，y1，Bx2，y2那么AB两点间的距离公式为：AB=(x1x2)2(y1y2)2.用同样的方法，把其他两条边的距离也写出来，OA=x12y12，OB=x22y22.然后按照图 1-1 的方法，让三条边两两相等，解方程即可.-优选-.我们来具体的解一道反比例函数图像上求等腰三角形的题.8例1.如图 1-3，在直角坐标系xOy中，反比例函数y=图像上的点A、B的坐标分
4、别为 2，m、n，x2，点C在x轴上，且ABC为等腰三角形，求点C的坐标.分析：81.反比例函数y=图像上的A、B点，满足这个解析式，所以把A、B点的坐标分别代入，求出这x两个点的坐标.2.如图 1-4，点C在x轴上，所以设Cx，0.3.为了方便起见，讨论前可以利用两点间的距离公式，分别把AB，BC，CA的长度写出来.4.根据等腰三角形存在三种情况：分别对AB=AC；AB=BC；BC=AC进展讨论.888解：因为A2，m、Bn，2在y上，所以m，2，解得：m4,n4，所以A2，4、x2nB4，2.因为点C在x轴上，所以设Cx，0，那么AB(42)2(24)222，AC(x2)242x24x20
5、，BC(x4)222x28x20.假设ABC为等腰三角形，分三种情况讨论：ABAC，即x24x2022，整理得x24x120，因为0，所以方程无实数根，这种情况不存在.ABBC，即x28x2022，整理得x28x120，解得x 12，x 26，所以C2，0 如图 1-4；C6，0因为A、B、C三点在一条直线上，不能构成三角形，如图1-5，所以舍去.BCAC，即x24x20 x28x20，解得：x0，所以C0，0 如图 1-6.所以这样的点C有两个，C2，0或0，0.例 1 有两个固定的点在反比例函数上，动点在 x 轴上，探求符合条件的等腰三角形的点的存在性.接下-优选yABOCxyABOCxy
6、ABO Cx图 1-4图 1-5图 1-6-.来我们再来探讨正、反比例函数上的两个点和y 轴上的点构成的等腰三角形的问题.例2.如图 1-7，点Am，2是正比例函数和反比例函数的交点，yABy轴于点B，OB=2AB.1求正比例函数和反比例函数的解析式；2求正比例函数和反比例函数的另一个交点C的坐标；3在y轴上是否存在一点D，使ACD为等腰三角形，假设存在，请求出点D的坐标，假设不存在，请说明理由.分析：BOCAx图 1-71.从点Am，2，ABy轴可得：OB2，因为OB2AB，所以AB1，所以A1，2把A点的坐标分别代入所设的正比例函数和反比例函数解析式中，即可求得1.2.一般地，求两个函数的
7、交点坐标，可以把这两个函数联立方程组，解这个方程组得到的x，y就是它们的交点坐标.但是此题也可以利用正比例函数和反比例函数的特殊性：它们的交点关于原点对称，得到C点坐标.3.因为点D在y轴上，设出D点坐标，按照等腰三角形存在的三种情况：AC=AD，AC=CD，AD=CD，进展分类讨论.解：1因为ABy轴于点B，OB2AB，点Am，2所以OB2，AB1，所以A1，2，因为A1，2在ykxk 0)上，所以k2，所以y2x.又因为A1，2在yk 0)上，所以k22，所以y.kxx2因为A1，2，正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，所以C 1，2.3存在.因为点D在y轴上，所以设D0，y，那么A
8、C(11)2(22)225，AD12(y2)2，CD(1)2(y2)2假设ACD为等腰三角形，分三种情况讨论：ACAD，即2512(y2)2，整理得y24y150，解得y219，所以D0，219或0，219-优选-.ACCD，即25(1)2(y2)2，整理得y24y150，解得y219，所以D0，219或0，219.ADCD，即12(y2)2(1)2(y2)2，解得y0，此时点D与原点重合，舍去.所以这样的点D有四个，D0，219，0，219，0，2 19，0，219.这一道题的方法和例1 一样，但是计算的难度加大，解一元二次方程用到了公式法.1.11.1 因动点产生的等腰三角形因动点产生的等
9、腰三角形【阶梯题组训练】4.：如图，抛物线的解析式为y=x2+2x+2 的顶点坐标为点P，点A的坐标为1，1，点B的坐标为 1，m，且m3，假设ABP是等腰三角形，求点B的坐标yxO第 4 题125.如图，：抛物线y=x+x+4 与轴交于点C，与x轴交于点A、B，平行于x轴的动直线l与该抛2物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为2，0 问：是否存在这样的直线l，使得ODF是等腰三角形？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由yCxABOD第 5 题-优选-.1.11.1 因动点产生的等腰三角形因动点产生的等腰三角形4动点移动的路程动点移动的路程如图 1-8，点P由点C向点A移
10、动，速度是每秒1cm，设运动的时间为t秒，那么路程CP速度时间1tt；点Q由点B向点C移动，速度是每秒2cm，设运动的时间为t秒，那么路程BQ2t2t.动点的移动，是中考经常会碰到的类型，要熟练的掌握它.例3.如图 1-9，在直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC12，AD18，AB10.动点P、BQ图 1-8AECPCQBDP图 1-9AQ分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒 1 个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停顿运动设运动的时间为t秒 射线PQ与射线AB相交于点E，AEP能否为等腰三角形？如果能，
11、求出t的值；如果不能，请说明理由.分析：1.路程速度时间，动点P移动的路程DP2t，动点Q移动的路程BQt2.直角梯形作高，构造矩形和直角三角形，利用矩形的对边相等或勾股定理找到等量关系.3.动点P沿射线DA的方向运动，所以要分点P在线段DA上，和点P在DA的延长线上两种情况分别讨论4.当点P在线段DA上，AEP是等腰三角形的三种情况要根据三种不同的情况，灵活的采用不同的方法求出t的值5.当点P在DA的延长线上时，可利用等边对等角，对顶角，平行来找到等量关系求之.解：直角梯形ABCD中，ADBC，C90，BC12，AD18，AB10，DP2t，BQt-优选-.动点P沿射线DA的方向运动，所以分
12、两种情况：1点P在线段DA上时：假设BDG为等腰三角形，那么分三种情况讨论：如图 1-10，AEAP，因为DP2t，AD18，所以AP18 2t，又因为AEAP，所以APEE，梯形ADBC，APEBQE，所以BQEE，所以BEBQt，AE10t，所以 18 2t810t，解得t.3 如图 1-11，EPAE，作PMBC于M，得CMDP2t，BC12，BQt，所以MQ123t，又因为PQAB10，PMCD8，所以MQ6，所以 123t6，解得t2.如图 1-12，APEP，所以AE，因为ADBC，EBQA，所以EBQE，所以EQBQt，又因为AP18 2t，所以PE18 2t，PQ18 2tt1
13、8 3t，MQ123t，在RtPQM29中，(18 3t)2(123t)282，解得：t.92点P在DA的延长线上时：如图 4，AP2t18AE，所以AEPP，因为ADBC，BQEP，因为AEPBEQ，28所以BQEBEQ，所以BQBEt，所以AE10t，即 2t1810t，解得：t382928综上所述，AEP能构成等腰三角形，此时t，2，.393CDEMQBCMQEBCQBEP图 1-10ADP图 1-11AD图 1-12AP在解等腰三角形的题目时，一般情况下是分类讨论两条边相等，但有时利用等腰三角形的三线合一也可使问题更快地解决.此题还有一个难点：点P 是在线段上，还是在延长线上，容易疏忽
14、.5.构造相似三角形，利用相似比，探求等腰三角形的存在性构造相似三角形，利用相似比，探求等腰三角形的存在性.学了相似三角形以后,通过作等腰三角形底边上的高，构造一个与根底三角形相似的三角形，通过相似比，探求点的存在性.12如图 1-13，假设要证PRQ为等腰三角形中的PQPR，AB5，AH4，BPQR，PQ，5RQx，而PR没有任何条件求不出来.我们可以作底边上的高PG，利用等腰三角形三线合一的性质，得xPQQG到PG平分QR，所以QG，从不难得到RtQPG与RtABH相似，利用相似比，得2ABAH12xA到52，解出x.54-E优选DPRGBH QC-.例4.如图 1-14，在ABC中，AB
15、=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、ADEAC上的两个动点D不与A、B重合，且保持DEBC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG设AD=x，当BDG是等腰三角形时，请求出AD的长分析：GB图 1-14FC1.由DEBC，利用平行线分线段成比例可以求出DE，因为正方形DGDE，所以求出了三角形的边DG.2.如果一个三角形的两条边，来求它是等腰三角形需满足的条件，可以根据等腰三角形的三线合一来添辅助线，这样构造了一个直角三角形，想方法在条件中也构造一个直角三角形与之相似，使问题得到解决.3.按照等腰三角形存在的三种情况，进展分类讨论.解：如图 1-15，作AQBC于Q，因为DEBC，所以
16、655DEAD，因为AB5，BC6，ADx，BCAB5DEx66BD5 x，得DEx.因为正方形DEFG，所以DGDEx.假设BDG为等腰三角形，分三种情况讨论：62525 如图 1-15，BDDG，即 5 xx，解得x，所以AD51111DMBD 如图 1-16，BDBG，此时BC正好是DG的垂直平分线，所以DMAQ，即AQAB3x202055 x，解得x，所以AD.774511 如图 1-17，BGDG，作GHAB于H，那么DHBD(5 x)，因为GHDAQB2290，又GDHDGH90，GDHADE90，所以DGHADEABC，所以DGH61x(5 x)DHDG12512552ABQ，所
17、以，即，解得：x，所以AD.AQAB737345综上所述，当BDG是等腰三角形时，AD2520125，.11773ADMBG图 1-15ADMAENPQEDHBQE-NBQCG优选FCFCG图 1-16F图 1-17-.1.11.1 因动点产生的等腰三角形因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】答案：4.顶点P1，3AB4(m1)2，AP25，PB3 m(m3).ABAP，即 4(m1)225，解得：m 5，所以B1，5；APPB，即 253 m，解得：x3 25，所以B1，3 25；11ABPB，即4(m1)3 m，解得：x，所以B1，.2225.A4，0，B 2，0，C0，4，D2，0，AC
18、的解析式为：yx+4.设Fx，x+41如图 1-33，ODDF2，所以F2，2.当y2 时，x2+x+42，解得：x25，所以P125，21 5，2；如图1-34，OFDF，由等腰三角形三线合一得：F1，3，.当y3 时，12x+x+43，解得：x13，所以P13，31 3，3.2yCyCPFPPFPx第 5 题BO图 1DABO图 2DAx1.11.1 因动点产生的等腰三角形因动点产生的等腰三角形-优选-.【阶梯题组训练】答案：61.1y；2设Bx，0，那么OBx，OA13，AB(x+2)232.OAOB，x即x13，解得：x13，所以B13，0或13，0；OAAB，即(x+2)23213，
19、13解得：x0舍去，x 4，所以B 4，0；OBAB，即(x+2)232x，解得：x，413所以B，0.42.A2，0，B0，2，设Px，x+2，OPx2(x2)2，PA(x 2)2(x2)2，OA2.OPPA，即x2(x2)2(x 2)2(x2)2，解得：x1，所以P1，1；OPOA，即x2(x2)22，解得：x0，x2舍去，所以P0，2；PAOB，即(x 2)2(x2)22，解得：x 22，所以P22，222，2.13.解：1令y0，所以 x+10，解得x2，所以A2，0；令x0，y1，所以B0，1.2112因为点C在yx+1 上，所以设Cx，x+1，又因为A2，0，B0，1，所以221x
20、(x+1)2，AC22OA2，OC1(x2)(x+1)2.22假设AOC为等腰三角形，分三种情况讨论：OCAC，即121x(x+1)2221(x2)(x+1)2，整理得：4x4，解得：x1，把22x1 代入设的Cx，x+1中的 x+1，所以C1，x2(x+1)22，整理得:5x24x120，解得x1，x22因为点C1265121212OCOA，即68与点A重合，舍去，所以C，.55-优选-.ACOA，即11045(x2)2(x+1)22，整理得:5x220 x40，解得：x，所以25C10451045，0,，055168104525104525所以这样的点C有四个，C1，,，,，.25555-55优选