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1、.电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案经济数学基础形成性考核册（一）（一）一、填空题一、填空题1.limx sin xx0 x_.答案：12.设f(x)x21,x 0，在x 0处连续，则k _.答案 1k,x 03.曲线y x+1 在(1,1)的切线方程是.答案:y=1/2X+3/24.设函数f(x 1)x22x 5，则f(x)_.答案2x5.设f(x)xsin x，则f()_.答案:22二、单项选择题二、单项选择题1.当x 时，下列变量为无穷小量的是（D）1Aln(1 x)Bx2x 1Cex2Dsin xx2.下列极限计算正确的是（B）A.limxxx0 x1B.xlim0 x1C.li
2、mxsin1sinx0 x1D.limxxx13.设y lg2 x，则dy（B）A11ln1012xdxBxln10dxCxdxDxdx4.若函数f(x)在点x0处可导，则(B)是错误的A函数f(x)在点x0处有定义Blimxxf(x)A，但A f(x0)0C函数f(x)在点x0处连续D函数f(x)在点x0处可微5.若f(1x)x，则f(x)（B）.A1x2B1x2C11xDx三、解答题三、解答题1计算极限本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括：利用极限的四则运算法则；利用两个重要极限；利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)-优选.利用连续函数的定义。x23x 2（1
3、）lim2x1x 1分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算解：原式=lim(x 1)(x 2)x 21 21=lim=x1(x 1)(x 1)x1x 1112x25x 6（2）lim2x2x 6x 8分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算解：原式=lim(x 2)(x 3)x 3231=limx2(x 2)(x 4)x2x 42 421 x 1x（3）limx0分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。具体方法
4、是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算解：原式=lim(1 x 1)(1 x 1)x(1 x 1)x0=lim1 x 1x(1 x 1)x0=limx011 x 1=122x23x5（4）limx3x22x4分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。3522xx2002解：原式=limx24323003xxsin3x（5）limx0sin5x分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算sin3xsin3xlim33x03x313解：原式=lim3xx0sin5xsin5x
5、51555limx05x5xx2 4（6）limx2sin(x 2)分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。-优选.具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算解：原式=lim(x 2)(x 2)x 2 lim(x 2)lim414x2x2x2sin(x 2)sin(x 2)1xsinb,x 0 x2设函数f(x)a,x 0，sin xx 0 x问：（1）当a,b为何值时，f(x)在x 0处极限存在？（2）当a,b为何值时，f(x)在x 0处连续.分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分
6、必要条件是该点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。解：（1）因为f(x)在x 0处有极限存在，则有x0lim f(x)limf(x)x0 x0又limf(x)lim(xsinx01b)bxx0limf(x)limx0即b 1sin x1x所以当 a 为实数、b 1时，f(x)在x 0处极限存在.（2）因为f(x)在x 0处连续，则有x0lim f(x)limf(x)f(0)x0又f(0)a，结合（1）可知a b 1所以当a b 1时，f(x)在x 0处连续.3计算下列函数的导数或微分：本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种：利用导数(或微分)的基本公式利用导
7、数(或微分)的四则运算法则利用复合函数微分法（1）y x 2 log2x 2，求y2x2分析：直接利用导数的基本公式计算即可。-优选.解：y 2x 2 ln2（2）y x1xln2ax b，求ycx d(ax b)(cx d)(ax b)(cx d)a(cx d)(ax b)cad bc=(cx d)2(cx d)2(cx d)2分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。解：y（3）y 13x 5，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。1132(3x 5)(3x 5)2解：y(3x 5)(3x 5)221213（4）y x xex，求y分析：利用导数的基本公式计
8、算即可。1xx解：y (x)(xe)x2e xe2x121分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。（5）y eaxsinbx，求dyaxaxax解：y (e)sinbx e(sinbx)e(ax)sinbx eaxcosbx(bx)=aeaxsinbxbeaxcosbxdy ydx (aeaxsinbx beaxcosbx)dx（6）y ex x，求dy分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。1x1x13解：y (e)(x)e()xx2e3dy ydx (2x2)dx2x（7）y cosx ex，求dy21x321x312e3 2x22x11x1分析：利用导数的基本公式
9、和复合函数的求导法则计算解：y (cosx)(ex)sin（8）y sinx sinnx，求yn2x(x)ex(x2)2sinx2 x 2xex2-优选.分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算解：y(sinx)(sinnx)n(sinx)nn1(sinx)cosnx(nx)n(sin x)n1cos x ncosnx（9）y ln(x 1 x2)，求y分析：利用复合函数的求导法则计算1解：y 1x 1 x2(x 1 x2)1x 1 x2(1(1 x2)2)=1112211x 1 x21x 1 x2(12(1 x)2x)x 1 x21 x21 x21（10）y 2cotx13x22xx
10、，求y分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算115解：y(2sin1x)(x2)(x6)(2)2sin1xln2(sin1x)12x3216x60sin1335 2sin1xln2(111256cos)()x1xx2x2xln212166x2cosx2x6x4.下列各方程中y是x的隐函数，试求y或dy本题考核的知识点是隐函数求导法则。（1）x2 y2 xy 3x 1，求dy解：方程两边同时对 x 求导得：(x2)(y2)(xy)(3x)(1)2x 2yy y xy3 0y y 2x 32y xdy y dx y 2 x 32 y xdx（2）sin(xy)exy 4x，求y解：方程两
11、边同时对 x 求导得：cos(x y)(x y)exy(xy)4 cos(x y)(1 y)exy(y xy)4y(cos(x y)xexy)4cos(x y)yexy-优选.4cos(x y)yexyycos(x y)xexy5求下列函数的二阶导数：本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数（1）y ln(1 x2)，求y解：y 121 x2(1 x)2x1 x2 (2x2(1 x2)2x(0 2x)22x2y1 x2)(1 x2)2(1 x2)2（2）y 1 xx，求y及y(1)113解：y (1 xx)(x2)(x2)1112x22x21315353y (x21x2)1(3x2)1
12、(1)x2312222224x24x2=1经济数学基础形成性考核册（二）（二）（一）填空题1.若f(x)dx 2x 2xc，则f(x)2xln2 2.2.(sinx)dx sin x c.3.若f(x)dx F(x)c，则xf(1 x2)dx 12F(1 x2)c4.设函数dedx1ln(1 x2)dx 05.若P(x)011x1t2dt，则P(x)1 x2.（二）单项选择题1.下列函数中，（D）是xsinx2的原函数A1cosx2B2cosx2C-2cosx2D-12cosx222.下列等式成立的是（C）Asinxdx d(cosx)Bln xdx d(1)C2xdx 1xD1xln2d(2
13、)xdx d x-优选.3.下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C）Acos(2x 1)dx，Bx 1 x dxCxsin2xdxD4.下列定积分中积分值为0 的是（D）A2x1 x2dx112xdx 2B161dx 15Ccosxdx 0Dsinxdx 05.下列无穷积分中收敛的是（B）A111xCDdxBdxe dxsinxdx2101xx(三)解答题1.计算下列不定积分1）3x（exdx解：原式(3e)xdx 1ln31(3e)xc13(x-12 2x2 x2)dx13 2x245x2235x2 c（3）x2 4x 2dx解：原式(x 2)(x 2)1x 2dx2x2 2xc（5）x
14、 2 x2dx解：原式122 x2d(2 x2)133(2 x2)2 c 2cosx c（7）xsinx2dx解：原式 2xdcosx2-2）(1 x)2xdx解：原式1 2x x2xdx4）11 2xdx解：原式 1121 2xd(1-2x)12ln12x c6）sinxxdx解：原式 2sin xd x8）ln(x 1)dx解：原式 xln(x 1)xx 1dx优选（.2xcosxxx2 4cos2d(2)xln(x 1)(11 2cosxxx 1)dx2 4sin2 c xln(x 1)x ln(x 1)c2.计算下列定积分1（1）22ex11xdx（2）1x2dx解：原式11(1 x)
15、dx 21(x 1)dx解：原式 211exd(1x)1(1 x)21212112(x 1)21 ex21 211252 ee2（3）e311x 1 ln xdx（4）20 xcos2xdx3解：原式 2e12 1 ln xd(lnx 1)解：原式11220 xdsin2x 2 1 ln xe31xsin2x1202sin2xd(21240 x)4 2 214cos2x102 2（5）elnxdx（6）41x0(1xex)dx解：原式1e1ln xdx2解：原式4dx4xdex20012x2ln xe1e121xdx 4 xex44x0ed(x)102e214e214 4 4e4e41414(
16、e21)55e经济数学基础形成性考核册（三）（三）（一）填空题-优选.10451.设矩阵A 3 232，则A的元素a23 _.答案：321612.设A,B均为 3 阶矩阵，且A B 3，则 2ABT=_.答案：723.设A,B均为n阶矩阵，则等式(A B)A 2AB B成立的充分必要条件是.答案：AB BA2224.设A,B均为n阶矩阵，(I B)可逆，则矩阵A BX X的解X_.答案：(IB)1A05.设矩阵A 100 020，则A1 _.答案：答案：1100030020013（二）单项选择题1.以下结论或等式正确的是（C C）A若A,B均为零矩阵，则有A BB若AB AC，且A O，则B
17、CC对角矩阵是对称矩阵D若A O,B O，则AB O2.设A为34矩阵，B为52矩阵，且乘积矩阵ACBT有意义，则CT为（A）矩阵A24B42C35D533.设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（C）A(A B)1 A1 B1，B(AB)1 A1B1CAB BADAB BA4.下列矩阵可逆的是（A）123A101023B101C111100312300D2225.矩阵A 22333的秩是（B B）444A0B1C2D3三、解答题1计算-优选.（1）210112=53103502 1100（2）000003 3 0（3）1254=01223124 245 12计算122143 61013
18、22313 2723124 2457197 245 5152 1610=11100解122143 610 7121322313 270 473 273 214231123，B 112，求AB。13设矩阵A 11011 011解 因为AB A B2A 131111023122 (1)23(1)1 101123011010213122 212B 112 0-1-1 0所以AB A B 20 0（注意：因为符号输入方面的原因，在题4题 7 的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成；（2）写成；（3）写成；）1244设矩阵A 21，确定的值，使r(A)最小。110-优选.1242,3解：21110当2
19、4 1242111732110312401 4210 4721019044 409时，r(A)2达到最小值。42532158543的秩。5求矩阵A 174204112325325854解：A 17424112131,3031742585425324112021531234141301004202331702715634332,3095 210271563r(A)2。6求下列矩阵的逆矩阵：2174095 200000000 132 1（1）A 30111 1321002133111010解：AI3011001110032413201121 112043101100132097232 310043
20、10100 132132101111 2231 1349 00100113113010237A1237001349349130581801021233749 00131363（2）A=4 2111 2-优选.0130136310010123解：AI 4 21010 4 210101100111001220130102,30 21 4130126101214312110130100112610 21 4130100130100130 3220112612310102710010120010120 A-1=13271012 7设矩阵A 1235,B 1223，求解矩阵方程XA B122解：AI12
21、1035012131210211050131013A152 31X BA11252 233=10111四、证明题1试证：若B1,B2都与A可交换，则B1 B2，B1B2也与A可交换。证：B1A AB1，B2A AB2B1 B2A B1A B2A AB1 AB2 AB1 B2即B1 B2也与A可交换。B1B2A B1B2A B1AB2B1AB2 AB1B2即B1B2也与A可交换.2试证：对于任意方阵A，A AT，AAT,ATA是对称矩阵。证：A ATT ATATT AT A A AT-2 1优选.A AT是对称矩阵。(AA)=ATTT T AT AATAAT是对称矩阵。ATATATAT TATA
22、ATA是对称矩阵.3设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB BA。证：必要性：ATA，BT B若AB是对称矩阵，即ABABT而ABB ABA因此AB BATT充分性：TT若AB BA，则ABB ABAABTAB是对称矩阵.4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B证：AABT11 BT，证明B1AB是对称矩阵。BTT1TB1AB1ABBT BT AT BT T B1ABBAB是对称矩阵.证毕.经济数学基础形成性考核册（四）（四）（一）填空题1.函数f(x)4 x 21_。答案：(1,2)2,4.的定义域为_ln(x 1)2.函数y 3(x 1)的驻点是_，极值点是，它是极
23、值点。答案：x=1；（1，0）；小。3.设某商品的需求函数为q(p)10ep2，则需求弹性Ep.答案：Ep=p2-优选.4.行列式1D 1 11111 _1A 0011.答案：4.116，则t _时，方程组有唯一解.答案：t1320t 105.设线性方程组AX b，且（二）单项选择题 1.1.下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（BAsinxBexCx2D3 x2.设f(x)）1，则f(f(x)（C）x112AB2CxDxxxxx1e e11exexdx 0Bdx 0Cxsinxdx 0D(x2 x3)dx 0A11-1-12213.下列积分计算正确的是（A）4.设线性方程组AmnXb有无穷
24、多解的充分必要条件是（D）Ar(A)r(A)mBr(A)nCm nDr(A)r(A)nx1 x2 a15.设线性方程组x2 x3 a2，则方程组有解的充分必要条件是（C）x 2x x a2331Aa1 a2 a30Ba1 a2 a3 0Ca1 a2 a3 0D a1 a2 a3 0三、解答题1求解下列可分离变量的微分方程：(1)y e解:xydy exey,eydy exdxeydy exdx,eyexcdxdyxex（2）2dx3y2x3xx解:3y dyxe dx3y dy xdey xe e dxy xe e c2x3xx2.求解下列一阶线性微分方程：（1）y2y (x 1)3x 1-优
25、选.解:y e2 dxx123x1dxx 1e e2lnx1dx cx 1e32lnx1dx c x 12x 1dx cx 12122x 1 c（2）yyx 2xsin2x解:y e1 xdx 1 dx2 x sin 2 x exdx c eln x2xsin2xeln xdx c x12xsin2xxdx c xsin2xd2x c xcos2x c3.求解下列微分方程的初值问题：(1)y e2xy,y(0)0解：dye2xdxeyeydy e2xdxey12e2x c用x 0,y 0代入上式得：e012e0c，解得c 12特解为：ey12x12e2(2)xyyex 0,y(1)0解：y1x
26、y 1xexy e1xdxex1xdxxedx c eln x1exxeln xdx c1xxxe dx c1xe c用x 1,y 0代入上式得：-优选.0 e c解得：c e特解为：y 1xecx（注意：因为符号输入方面的原因，在题4题 7 的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成；（2）写成；（3）写成；）4.求解下列线性方程组的一般解：2x3 x4 0 x1（1）x1 x2 3x3 2x4 02x x 5x 3x 023412121 10 10211312321解：A=1 132011121530111所以一般解为102101110 000 x1 2x3 x4其中x3,x4是自由未知量。
27、x2 x3 x42x1 x2 x3 x41（2）x1 2x2 x3 4x4 2x 7x 4x 11x 52341211111,2解：A 1214217 41152 12142212121421111311053733 17 411505371101214252 1214123731223321501 053730155550000000000000416x x 15535x4因为秩A 秩A=2，所以方程组有解，一般解为337x2x3x45556575045350 其中x3,x4是自由未知量。5.当为何值时，线性方程组-优选.x1 x25x3 4x4 22x1 x23x3 x413x12x22x
28、33x4 37x15x29x310 x4有解，并求一般解。1154221211542解：A 213113134 113933 2 23330175910011393022618141154232110851 0113934 2212101139300000 000080000000008可见当 8时，方程组有解，其一般解为x1 18x35x4其中xx3,x4是自由未知量。2 313x39x46a,b为何值时，方程组x1 x2 x31x1 x2 2x3 2x13x2 ax3 b有唯一解、无穷多解或无解。11112111111 解：A 3111 2212113221102ab01304a 1b 1
29、00根据方程组解的判定定理可知：当a 3，且b 3时，秩A秩A，方程组无解；当a 3，且b 3时，秩A=秩A=23，方程组有无穷多解；当a 3时，秩A=秩A=3，方程组有唯一解。7求解下列经济应用问题：（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)1000.25q26q（万元）,求：当q 10时的总成本、平均成本和边际成本；-11 11a 3b 3优选.当产量q为多少时，平均成本最小？解:cq1000.25q 6qcq 0.5q 6当q 10时总成本：c101000.2510610185（万元）2平均成本：c101000.2510618.5（万元）10边际成本：c10 0.510 6 1
30、1（万元）cq 1000.25q2令cq 0得q1 20q2 20（舍去）由实际问题可知，当q=20 时平均成本最小。（2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)20 4q 0.01q（元），单位销售价格为p 140.01q2（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少解:Rq pq 14q 0.01q2Lq RqCq14q 0.01q2 20 4q 0.01q210q 0.02q2 20Lq100.04q令Lq 0，解得：q 250（件）L25010250 0.022502 20 1230（元）因为只有一个驻点，由实际问题可知，这也是最大值点。所以当产量为250件时利润
31、达到最大值1230元。-优选.（3）投产某产品的固定成本为 36(万元)，且边际成本为C(x)2x 40(万元/百台)试求产量由 4 百台增至 6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低解:c 22x 40 dx x 40 x466100（万元）4cxcxdx 2x 40dx x2 40 x c固定成本为 36 万元cx x 40 x 362cx x 40cx1362x36x令cx 0解得：x16,x2 6（舍去）因为只有一个驻点，由实际问题可知cx有最小值，故知当产量为6 百台时平均成本最低。（4）已知某产品的边际成本C(q)=2（元/件），固定成本为 0，边际收入R(q)120.02q，求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？解:Lx RxCx120.02x 2 100.02x令Lx 0解得：x 500（件）L 10 0.02xdx 10 x 0.01x2500550550500 10550 0.015502 10500 0.015002=2470-2500=-25（元）当产量为500件时利润最大，在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会减少25元。-优选