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1、最小二乘估计最小二乘估计教学目标教学目标：1、掌握最小二乘法的思想 2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程教学重点教学重点：最小二乘法的思想教学难点教学难点：线性回归方程系数公式的应用教学过程教学过程回顾回顾：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系，用了很多种方法来刻画这种线性关系，但是这些方法都缺少数学思想依据。问题问题 1 1、用什么样的线性关系刻画会更好一些？想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。最小二乘法就是基于这种想法。问题问题 2 2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？设直线方程为y=a+bx，样本点 A（xi，yi）方法一、点到直线
2、的距离公式d d方法二、bxbxi i y yi ia ab b 12y yx x,y yi ii iy y a a bxbxy y a a bxbx2i ii ix x,a abxbxi ii i显然方法二能有效地表示点A 与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度。问题问题 3 3、怎样刻画多个点与直线的接近程度？例如有 5 个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：0 x xy y a a bxbxy y a a bxbxy y a a bxbxy y a
3、a bxbxy y a a bxbx222211223344552从而我们可以推广到 n 个样本点：（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn）与直线y=a+bx的接近程度：y y a a bxbxy y a a bxbx211222y yn na a bxbxn n22使得上式达到最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法问题问题 4 4、怎样使y y a a bxbxy y a a bxbx21122y yn na a bxbxn n2达到最小值？先来讨论 3 个样本点的情况设有 3 个点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），则由最小二乘法可知直线y=
4、a+bx与这 3 个点的接近程度由下面表达式刻画：y y a a bxbxy y a a bxbxy y a a bxbx222112233整理成为关于a的一元二次函数f f(a a)，如下所示：f f(a a)3a a22a ay y1bxbx1y y2bxbx2y y3bxbx3y y1bxbx1y y2bxbx2y y3bxbx322222 3a a2 2a a y y b bx x y y1bxbx1y y2bxbx2y y3bxbx32利用配方法可得f f(a a)3a a y y b bx x从而当a a将a ay y21 bxbx1y y2 bxbx2y y3 bxbx3 3 y
5、 y b bx x2222 y y b bx x时，使得函数f f(a a)达到最小值。y y b bx x代入式，整理成为关于b的一元二次函数g gb b，2b bx x x xy y y yx x x xy y y yx xy y y yy y y yy y y yg g(b b)x x1x x x x2x x x x3x xb b2112212223 x x y y3 y y 222123同样使用配方法可以得到，当b b x x x xy y y yx x x xy y y yx x x xy yx x x xx x x xx x x x112232221233 y yx x1y y1
6、x x2y y2 x x3y y33xyxyx x1 x x2 x x33x x2222时，使得函数g gb b达到最小值。n n从而得到直线y=a+bx的系数a，b，且称直线y=a+bx为这 3 个样本点的线性回归方程。用同样的方法我们可以推导出n 个点的线性回归方程的系数：b b x x1y y1 x x2y y2 x xn ny yn nn nxyxyx x1 x x2 x xn n n nx x2222x x y y n nxyxyi i1n ni ii ix xn nx xi i1i i22a a y y b bx x其中x x由a ax x1 x x2 x xn ny y y y2
7、 y yn n,y y 1n nn n y y b bx x我们知道线性回归直线y=a+bx一定过x x,y y。例题与练习例题与练习例例 1 1 在上一节练习中，从散点图可以看出，某小卖部6 天卖出热茶的杯数（y）与当天气温（x）之间是线性相关的。数据如下表气温（x xi i）C 26杯数（y yi i）杯 2o1813104-1（）试用最小二乘法求出线性回归方程。o（）如果某天的气温是3 C，请预测可能会卖出热茶多少杯。解：（1）先画出其散点图70杯数杯数605040302010气温气温204068i i123456合计合计可以求得b bx xi i26181310417y yi i202
8、434385064x xi i2 2676324169100161x xi iy yi i520432442380200640 1.648,a a 57.557则线性回归方程为y=57.5571.648x o（2）当某天的气温是3 C 时，卖出热茶的杯数估计为：57.5571.6483 62.501 63练习练习 1 1 已知x，y之间的一组数据如下表，则y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点(D )x0123y1357（A）（2，2）（B）（1.5，0）（C）（1，2）（D）（1.5，4）练习练习 2 2 某连锁经营公司所属 5 个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称销售额（x）
9、/千万元利润额（y）/百万元A32B53C63D74E95（）画出销售额和利润额的散点图；（）若销售额和利润额具有相关关系，计算利润额y对销售额x的回归直线方程。解：（1）y y642-50-2510 x x15（2）数据如下表：i12345合计-4xi35yi2334517xi2925364981200 xiyi615182845112-6679-830可以求得b=0.5，a=0.4线性回归方程为：-10y y 0.4 0.5x x小结小结1、最小二乘法的思想-12-142、线性回归方程的系数：b b x x1y y1 x x2y y2 x xn ny yn nn nxyxyx x1 x x2 x xn n n nx x2222x x y y n nxyxyi i1n ni ii in nx xn nx xi i22a a y y b bx x作业：P60 习题 18i i1第 1 题