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1、20082008 高考湖南文科数学试题及全解全析高考湖南文科数学试题及全解全析一选择题一选择题1已知U 2,3,4,5,6,7，M 3,4,5,7，N 2,4,5,6，则()AM N 4,6B.M U N UC(CuN)M UD.(CuM)N N【答案】B【解析】由U 2,3,4,5,6,7，M 3,4,5,7，N 2,4,5,6，易知 B 正确.2“x1 2”是“x 3”的()A充分不必要条件B.必要不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x1 2得1 x 3，所以易知选 A.x 1,3已条变量x,y满足y 2,则x y的最小值是()x y 0,A4B.3C.2D
2、.1【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,2),(2,2),代入验证知在点y yxy=0 xy=0y=2y=2O O(1,2)(1,2)(2,2)(2,2)(1,1)(1,1)1 1x x(1,1)时,x y最小值是11 2.故选 C.4.函数f(x)x(x 0)的反函数是()【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点(1,1),则其反函数过点(1,1),验证知只有答案 B 满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。5.已知直线 m,n 和平面,满足m n,m a,则()2x=1x=1A.n B.n/,或n C.n D.n/,或
3、n【答案】D【解析】易知 D 正确.6下面不等式成立的是()Alog32 log23 log25Blog32 log25 log23Clog23 log32 log25Dlog23 log25 log32【答案】A【解析】由log32 1 log23 log25,故选 A.uuu r uuu r7在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC()A2332BCD3223【答案】Duuu r uuu r113【解析】由余弦定理得cosCAB,所以AB AC 32,选.4428某市拟从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目，则重点项目 A 和一般项目 B
4、 至少有一个被选中的不同选法种数是()A15B45C60D75【答案】C111221【解析】用直接法：C3C5C3C5C3C5153015 60,2222或用间接法：C4C6C3C5 9030 60,故选.9长方体ABCD A1B1C1D1的 8 个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=3，AA11，则顶点 A、B 间的球面距离是()AD D1 1A A1 1D DB B1 1O OC C1 122BC2D2242【答案】B【解析】Q BD1 AC1 2R 2 2,R 2,设C CBD1I AC1 O,则OA OB R 2,A AB B AOB 10 双曲线2,l R22,故选.x2a2y22
5、1(a 0,b 0)的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，b则双曲线离心率的取值范围是()A(1,2B 2,)C(1,2 1D 2 1,)【答案】Ca2a2a2(e1)x0a a (e1)a,【解析】Q ex0a x0ccc而双曲线的离心率e 1,e(1,2 1,故选.二填空题二填空题11已知向量a (1,3)，b (2,0)，则a b=_.【答案】rrrrQ a b (1,3),|a b|13 2.【解析】由12.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人。【答案】60【解析】由上表得(2321
6、)13记(2x【答案】5【解析】由Tr1Cn(2x)rnr15000 230 60.5001n)的展开式中第 m 项的系数为bm，若b3 2b4，则n=_.x123r 22n3Cn,()r 2nrCnxn2r,得2n2Cnx所以解得n 5.14将圆x y1沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C，则圆 C 的方程是_,若过点（3，0）的直线l和圆 C 相切，则直线l的斜率为_.22322【答案】(x1)y 1,3【解析】易得圆 C 的方程是(x1)y 1,直线l的倾斜角为30,150,oo22y yAO OPX X所以直线l的斜率为k 3.35 B15设x表示不超 x 的最大整数，（如2
7、2,1）。对于给定的nN,43n(n 1)(n 2)(n x1),x1,则C82_;定义Cx(x 1)(x x1)xn当x2,3时，函数C8的值域是_。x【答案】1628,(,2833328【解析】C81687,当x 2时，C82 28,当x 3时，x 2,33212x所以C8872828,故函数C8x的值域是(,28.3233三解答题三解答题16甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是1，且面试是否合格互不影响。求：2（I）至少一人面试合格的概率；（II）没有人签约的概
8、率。解：用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知A,B,C 相互独立，且P(A)P(B)P(C)1.2（I）至少有一人面试合格的概率是1 P(ABC)（II）没有人签约的概率为P(ABC)P(ABC)P(ABC)17已知函数f(x)cos2xxsin2sin x.22（I）求函数f(x)的最小正周期；（II）当x0(0,4)且f(x0)4 2时，求f(x0)的值。56解：由题设有f(x)cosxsin x 2sin(x)4（I）函数f(x)的最小正周期是T 2.（II）由f(x0)4 24 24,即sin(x0),得2sin(x0)54545因为x0(0,),所以x0(,).44
9、4 243)1sin2(x0)1()2.4455从而cos(x0于是f(x06)2sin(x0)2sin(x0)464618如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为 1 的菱形，BCD 60，E 是 CD 的中点，PA底面 ABCD，PA（I）证明：平面 PBE平面 PAB；（II）求二面角 ABEP 和的大小。解：解法一（I）如图所示,连结BD,由ABCD是菱形且03。BCD 600知，BCD是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点，所以BECD,又AB/CD,所以BE AB,又因为PA平面 ABCD，BE 平面ABCD，所以PABE,而PAI AB A,因此BE平面 PAB.又B
10、E 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.（II）由（I）知，BE平面 PAB,PB 平面 PAB,所以PB BE.又ABBE,所以PBA是二面角ABEP的平面角在RtPAB中,tanPBAPAo3,PBA 60.ABo故二面角ABEP的大小为60.解法二：如图所示,以 A 为原点，建立空间直角坐标系则相关各点的坐标分别是uuu ruu rruuu ruu3，0),平面 PAB的一个法向量是n0(01（I）因为BE (0,，0),所以BE和n0共线.2从而BE平面 PAB.又因为BE 平面 PBE，所以平面 PBE平面 PAB.uuu ruuu rur3PB (1，0,3),BE (0,
11、，0),（II）易知设n1(x1，y1，z1)是平面 PBE 的一个法向量,2ur uuu rx10 y13z1 0，n PB 0，1则由u得所以y1=0，x13z1.r uuu r3y10z1 0n1BE 00 x12uruu r0，1).而平面 ABE 的一个法向量是n2(0，故可取n1(3，01).，ur uu rur uu rn1n21ruu r.于是,cos n1,n2 u|n1|g|n2|2故二面角ABEP的大小为60.o19 已知椭圆的中心在原点，一个焦点是F(2,0)，且两条准线间的距离为(4)。（I）求椭圆的方程；（II）若存在过点 A（1，0）的直线l，使点 F 关于直线l
12、的对称点在椭圆上，求的取值范围。x2y2解：（I）设椭圆的方程为221(a b 0).ab2a2,所以a2,b2 a2c24.由条件知c 2,且cy21(4).故椭圆的方程是4（II）依题意,直线l的斜率存在且不为 0,记为k,则直线l的方程是y k(x1).设点F(2，0)关于直线l的对称点为F(x0，y0),则x2x02y02 k(1)，x，201k2 2解得y2ky 0k 101k2x02222k2()()221k1k因为点F(x0，y0)在椭圆上，所以1.即4设k t,则(4)t 2(6)t(4)0.222(4)2 0.于是,因为 4,所以(4)2(6)2-4(4)3，()当且仅当 2
13、(6)0.(4)上述方程存在正实根,即直线l存在.1616,.解()得所以4 334 6.即的取值范围是4 16.3nn)an4sin2,n 1,2,3,L,22220数列an满足a1 0,a2 2,an2(1cos（I）求a3,a4，并求数列an的通项公式；（II）设Sk a1a3L a2k1，Tk a2a4L a2k，Wk求使Wk1的所有 k 的值，并说明理由。2解：（I）因为a1 0,a2 2,所以a3(1cos2Sk(k N)，2Tk2)a14sin22 a14 4,22a4(1cos)a2 4sin 2a2 4,一般地,当n=2k 1(k N)时，即a2k1a2k1 4.所以数列a2
14、k1是首项为 0、公差为 4 的等差数列，因此a2k1 4(k 1).2当n=2k(k N)时，a2k21cos2k2ka2k4sin2 2a2k,22k所以数列a2k是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此a2k 2.2(n1),n 2k 1(kN),故数列an的通项公式为ann22,n 2k(k N)（II）由（I）知，Sk a1a3L a2k1 0 4L 4(k 1)2k(k 1),于是W1 0,W21,W333515,W4,W5,W6.22416下面证明:当k 6时，Wk1.事实上,当k 6时，Wk1Wk(k 1)kk(k 1)k(3k)k1 0,即Wk1Wk.kk222又W61,所
15、以当k 6时，Wk1.故满足Wk1的所有 k 的值为 3,4,5.149x x3x2cx有三个极值点。42（I）证明：27 c 5；21已知函数f(x)（II）若存在实数 c，使函数f(x)在区间a,a2上单调递减，求a的取值范围。解：（I）因为函数f(x)3149x x3x2cx有三个极值点,422所以f(x)x 3x 9xc 0有三个互异的实根.设g(x)x 3x 9xc,则g(x)3x 6x9 3(x3)(x1),当x 3时，g(x)0,g(x)在(,3)上为增函数;当3 x 1时，g(x)0,g(x)在(3,1)上为减函数;当x 1时，g(x)0,g(x)在(1,)上为增函数;所以函数
16、g(x)在x 3时取极大值,在x 1时取极小值.当g(3)0或g(1)0时,g(x)0最多只有两个不同实根.因为g(x)0有三个不同实根,所以g(3)0且g(1)0.即272727c 0,且139c 0,解得c 27,且c 5,故27 c 5.（II）由（I）的证明可知，当27 c 5时,f(x)有三个极值点.不妨设为x1，x2，x3（x1 x2 x3），则f(x)(x x1)(x x2)(x x3).所以f(x)的单调递减区间是(，x1,x2,x3若f(x)在区间a,a2上单调递减，则a,a2(，x1,或a,a2x2,x3,若a,a2(，x1,则a2 x1.由（I）知，x1 3,于是a 5.若a,a2x2,x3,则a x2且a2 x3.由（I）知，3 x21.又f(x)x 3x 9xc,当c 27时，f(x)(x3)(x3);当c 5时，f(x)(x5)(x1).因此,当27 c 5时，1 x3 3.所以a 3,且a23.即3 a 1.故a 5,或3 a 1.反之,当a 5,或3 a 1时，总可找到c(27,5),使函数f(x)在区间a,a2上单调递减.23223225)U(3,1).综上所述,a的取值范围是(，