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1、*高中数学常用公式及结论高中数学常用公式及结论1 1元素与集合的关系元素与集合的关系:x A xCUA,xCUA x A.2 2 集合集合a1,a2,有有2n2个个.3 3 二次函数的解析式的三种形式：二次函数的解析式的三种形式：(1)(1)一般式一般式f(x)ax bxc(a 0);(2)(2)顶点式顶点式f(x)a(xh)k(a 0);（当已知抛物线的顶点坐标（当已知抛物线的顶点坐标(h,k)时，设为此式）时，设为此式）(3)(3)零点式零点式f(x)a(x x1)(x x2)(a 0)；（当已知抛物线与（当已知抛物线与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)时，时，设为此
2、式）设为此式）2（4 4）切线式：）切线式：f(x)a(x x0)(kxd),(a 0)。（当已知抛物线与直线（当已知抛物线与直线y kxd相切且切点的相切且切点的A A ,an的子集个数共有的子集个数共有2n个；真子集有个；真子集有2n1个；非空子集有个；非空子集有2n1个；非空的真子集个；非空的真子集22横坐标为横坐标为x0时，设为此式）时，设为此式）4 4 真值表：真值表：同真且真，同假或假同真且真，同假或假5 5 常见结论的否定形式常见结论的否定形式;原结论原结论反设词反设词是是不是不是都是都是不都是不都是大于大于不大于不大于小于小于不小于不小于对所有对所有x，成立，成立存在某存在某x
3、，不成立，不成立对任何对任何x，不成立，不成立存在某存在某x，成立，成立原结论原结论至少有一个至少有一个至多有一个至多有一个至少有至少有n个个至多有至多有n个个p或或q反设词反设词一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n1）个）个至少有（至少有（n1）个）个p且且qp且且qp或或q6 6 四种命题的相互关系四种命题的相互关系(下图下图):):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题互逆逆命题若则若则互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非则非互逆若非则非充要条件：充要条件：(1)(1)、p q，则 P 是 q 的充分条件，反之，q 是 p 的必要条件；（
4、2 2）、p q，且 q p，则 P 是 q 的充分不必要条件；(3)(3)、p p，且q p，则 P 是 q 的必要不充分条件；4、p p，且 q p，则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。7 7 函数单调性函数单调性:增函数：(1)(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而增大。（2 2）、数学符号表述是：设f（x）在 xD 上有定义，若对任意的x1,x2D,且x1 x2，都有f(x1)f(x2)成立，则就叫 f（x）在 xD 上是增函数。D 则就是 f（x）的递增区间。减函数：(1)(1)、文字描述是：y 随 x 的增大而减小。（2 2）、数学符号表述是：设f（x）在 xD 上有定义，若
5、对任意的x1,x2D,且x1 x2，都有f(x1)f(x2)成立，则就叫 f（x）在 xD 上是减函数。D 则就是 f（x）的递减区间。单调性性质：(1)(1)、增函数+增函数=增函数；（2 2）、减函数+减函数=减函数；/筱*(3)(3)、增函数-减函数=增函数；(4)(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。复合函数的单调性：函数单调内层函数外层函数复合函数等价关系：等价关系：单调性(1)(1)设设x1,x2a,b,x1 x2那么那么(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是增函数；上
6、是增函数；x1 x2f(x1)f(x2)0 f(x)在a,b上是减函数上是减函数.(x1x2)f(x1)f(x2)0 x1 x2(2)(2)设函数设函数y f(x)在某个区间内可导，在某个区间内可导，如果如果f(x)0，则则f(x)为增函数；为增函数；如果如果f(x)0，则则f(x)为减函数为减函数.8 8 函数的奇偶性：函数的奇偶性：（注：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：奇函数：定义：定义：在前提条件下，若有f(x)f(x)或f(x)f(x)0，则 f（x）就是奇函数。性质性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；（2）、奇函数在 x0 和 x0 和 x 0a 0
7、 时，有时，有x a x2 a2 a x a.x a x2 a2 x a或或x a.4242 斜率公式斜率公式：k y2 y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.x2 x14343 直线的五种方程：直线的五种方程：（1 1）点斜式）点斜式y y1 k(x x1)(直线直线l过点过点P1(x1,y1)，且斜率为，且斜率为k)（2 2）斜截式）斜截式y kxb(b(b 为直线为直线l在在 y y 轴上的截距轴上的截距).).y y1x x1(y1 y2)()(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(x1 x2,y1 y2).).y2 y1x2 x1两点式的推广：两点式的推广：(x2 x1)
8、(y y1)(y2 y1)(x x1)0（无任何限制条件！（无任何限制条件！）xy(4)(4)截距式截距式1(a、b分别为直线的横、纵截距，分别为直线的横、纵截距，a 0、b 0)ab（5 5）一般式）一般式Ax ByC 0(其中其中 A A、B B 不同时为不同时为 0).0).（3 3）两点式）两点式直线直线Ax ByC 0的法向量：的法向量：l (A,B)，方向向量：，方向向量：l (B,A)4444 夹角公式：夹角公式：/筱*k2k1|.(.(l1:y k1xb1，l2:y k2xb2,k1k2 1)1k2k1AB A2B1|.(.(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,
9、A1A2 B1B2 0).).(2)(2)tan|12A1A2 B1B2(1)(1)tan|直线直线l1 l2时，直线时，直线 l l1 1与与 l l2 2的夹角是的夹角是4545l1到到l2的角公式：的角公式：.2k2k1.(.(l1:y k1xb1，l2:y k2xb2,k1k2 1)1k2k1AB A2B1(2)(2)tan12.(.(l1:A1x B1y C1 0,l2:A2x B2y C2 0,A1A2 B1B2 0).).A1A2 B1B2(1)(1)tan直线直线l1 l2时，直线时，直线 l l1 1到到 l l2 2的角是的角是4646 点到直线的距离点到直线的距离：d 4
10、747 圆的四种方程：圆的四种方程：（1 1）圆的标准方程）圆的标准方程(xa)(y b)r.（2 2）圆的一般方程）圆的一般方程x y Dx Ey F 0(D2 E24F0).0).22222.2|Ax0 By0C|A B22(点点P(x0,y0),直线直线l：Ax ByC 0).).x arcos.y brsin（4 4）圆的直径式方程）圆的直径式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2).).（3 3）圆的参数方程）圆的参数方程4848 点与圆的位置关系：点点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆与圆(x a)(y
11、b)r的位置关系有三种：的位置关系有三种：若若d(a x0)(b y0)，则，则d r 点点P在圆外在圆外;22222d r 点点P在圆上在圆上;d r 点点P在圆内在圆内.2224949 直直线线与与圆圆的的位位置置关关系系：直直线线Ax By C 0与与圆圆(x a)(y b)r的的位位置置关关系系有有三三种种Aa BbC(d):):22A Bd r 相离 0;d r 相切 0;d r 相交 0.5050 两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1，O O2 2，半径分别为，半径分别为 r r1 1，r r2 2，O1O2 d，则：，则：d
12、 r1 r2 外离 4条公切线;d r1 r2 外切 3条公切线;r1r2 d r1 r2 相交 2条公切线;内含内切r2-r1相交 外切相离r1+r2d r1r2内切 1条公切线;0 d r1r2内含 无公切线.oddddx acosx2y2cb25151 椭圆椭圆221(a b 0)的参数方程是的参数方程是.离心率离心率e 12，abaay bsina2b2准线到中心的距离为准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离，焦点到对应准线的距离(焦准距焦准距)p。ccb2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2.a/筱*x2y25252 椭圆椭圆221(a
13、 b 0)焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:aba2a2FPFPF1 e(x)aex，PF2 e(x)aex；SF1PF2 c|yP|b2tan1。cc25353 椭圆的的内外部椭圆的的内外部:x2y2（1 1）点）点P(x0,y0)在椭圆在椭圆221(a b 0)的内部的内部abx2y2（2 2）点）点P(x0,y0)在椭圆在椭圆221(a b 0)的外部的外部ab5454 椭圆的切线方程椭圆的切线方程:22x0y021.2ab22x0y01.a2b2x xy yx2y2(1)(1)椭圆椭圆221(a b 0)上一点上一点P(x0,y0)处
14、的切线方程是处的切线方程是02021.ababx xy yx2y2（2 2）过椭圆）过椭圆221外一点外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是02021.ababx2y222222（3 3）椭圆）椭圆221(a b 0)与直线与直线Ax ByC 0相切的条件是相切的条件是A a B b c.abx2y2a2cb25555 双曲线双曲线221(a 0,b 0)的离心率的离心率e 12，准线到中心的距离为，准线到中心的距离为，焦点到对应，焦点到对应abcaab2b2准线的距离准线的距离(焦准距焦准距)p。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：过焦点且垂直于实轴的
15、弦叫通经，其长度为：2.aca2a2焦半径公式焦半径公式PF1|e(x)|aex|，PF2|e(x)|aex|，ccF1PF2两焦半径与焦距构成三角形的面积两焦半径与焦距构成三角形的面积SF1PF2 b cot。25656 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系:x2y2x2y2b(1(1）若双曲线方程为）若双曲线方程为221渐近线方程：渐近线方程：22 0 y x.ababax2y2xyb (2)(2)若渐近线方程为若渐近线方程为y x 0双曲线可设为双曲线可设为22.ababax2y2x2y2(3)(3)若双曲线与若双曲线与221有公共渐近线，可设为有公共渐近线，可设
16、为22 abab（0，焦点在，焦点在 x x 轴上，轴上，0，焦点在，焦点在 y y 轴上）轴上）.(4)(4)焦点到渐近线的距离总是焦点到渐近线的距离总是b。5757 双曲线的切线方程双曲线的切线方程:x2y2x xy y(1)(1)双曲线双曲线221(a 0,b0)上一点上一点P(x0,y0)处的切线方程是处的切线方程是02021.ababx2y2x xy y(2)(2)过双曲线过双曲线221外一点外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是02021.ababx2y222222（3 3）双曲线）双曲线221与直线与直线Ax ByC 0相切的条件是相切的条件是
17、A a B b c.ab25858 抛物线抛物线y 2px的焦半径公式的焦半径公式:p2抛物线抛物线y 2px(p 0)焦半径焦半径CF x0.2pp过焦点弦长过焦点弦长CD x1 x2 x1 x2 p.22/筱*b24ac b2)5959 二次函数二次函数yaxbx ca(x(a0)的图象是抛物线：的图象是抛物线：2a4ab4acb2b4acb21,)；,)；（1 1）顶点坐标为）顶点坐标为(（2 2）焦点的坐标为）焦点的坐标为(2a4a2a4a4acb21（3 3）准线方程是）准线方程是y.4a26060 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB22(x1x2)2(y1
18、y2)22或或AB(1 k)(x2x1)4x2x1|x1x2|1tan（弦端点（弦端点 A A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程，由方程|y1y2|1 cot2ykxb2消去消去 y y 得到得到axbxc0F(x,y)00,为直线为直线AB的倾斜角，的倾斜角，k为直线的斜率，为直线的斜率，|x1x2|(x1x2)24x1x2.6161 证明直线与平面的平行的思考途径证明直线与平面的平行的思考途径:（1 1）转化为直线与平面无公共点；）转化为直线与平面无公共点；（2 2）转化为线线平行；）转化为线线平行；（3 3）转化为面面平行）转化为面面平行.6262 证明直线与平面垂直的思考途径证明
19、直线与平面垂直的思考途径:（1 1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2 2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3 3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4 4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。）转化为该直线垂直于另一个平行平面。6363 证明平面与平面的垂直的思考途径：证明平面与平面的垂直的思考途径：（1 1）转化为判断二面角是直二面角；）转化为判断二面角是直二面角；（2 2）转化为线面垂直；）转化为线面垂直；(3)(3)转化为两平面的法向量平行。转化为两平面的法向量平行。
20、6464 向量的直角坐标运算：向量的直角坐标运算：设设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)则：则：(1)(1)ab(a1b1,a2b2,a3b3)；(2)(2)ab(a1b1,a2b2,a3b3)；(3)(3)a(a1,a2,a3)(R)R)；(4)(4)aba1b1a2b2a3b3；6565 夹角公式：夹角公式：设设a(a1,a2,a3)，b(b1,b2,b3)，则，则cosa,b6666 异面直线间的距离异面直线间的距离：a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223.|CDn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为是两异面直线，其公垂向量为n，C、D是是l1,l2
21、上任一点，上任一点，d为为l1,l2间的距离间的距离).).|n|6767 点点B到平面到平面的距离：的距离：|AB n|（n为平面为平面的法向量，的法向量，A，AB是是的一条斜线段）的一条斜线段）.d|n|4326868 球的半径是球的半径是 R R，则其体积，则其体积VR,其表面积其表面积S4 R3d6969 球的组合体：球的组合体：(1)(1)球与长方体的组合体球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)(2)球与正方体的组合体球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长正方体的内切球的直径是正方体的棱长,正方体的
22、棱切球的直径是正方体正方体的棱切球的直径是正方体/筱*的面对角线长的面对角线长,正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.6a1266613a的的),),外接球的半径为外接球的半径为a(正四面体高正四面体高a的的).).(正四面体高正四面体高343447070 分类计数原理（分类计数原理（加法原理）加法原理）：N m1m2 mn.(3)(3)球与正四面体的组合体球与正四面体的组合体:棱长为棱长为a的正四面体的内切球的半径为的正四面体的内切球的半径为mn.n！*m7171 排列数公式排列数公式：An=n(n1)(nm1)=.(.(n，mN N，且，且m n
23、)规定规定0!1.(n m)！分步计数原理（分步计数原理（乘法原理乘法原理）：N m1m2n！Anmn(n1)(nm1)*7272 组合数公式：组合数公式：C=m=(nN N，mN，且，且m n).).m！(nm)！12mAmmnmmm1m0组合数的两个性质组合数的两个性质:(1):(1)Cn=Cn;(2);(2)Cn+Cn=Cn1.规定规定Cn1.mnn0n1n12n22rnrrnn7373 二项式定理二项式定理(a b)Cna Cnab Cnab Cnab Cnb;rnrr二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式Tr1 Cnab(r 0，1，2，n).f(x)(ax b)n a0a1xa2
24、x2anxn的展开式的系数关系：的展开式的系数关系：a0a1a2an f(1)；a0a1 a2(1)nan f(1)；a0 f(0)。7474 互斥事件互斥事件 A A，B B 分别发生的概率的和：分别发生的概率的和：P(AP(AB)=P(A)B)=P(A)P(B)P(B)n个互斥事件分别发生的概率的和：个互斥事件分别发生的概率的和：P(AP(A1 1A A2 2A An n)=P(A)=P(A1 1)P(AP(A2 2)P(AP(An n)7575 独立事件独立事件 A A，B B 同时发生的概率：同时发生的概率：P(AP(AB)=P(A)B)=P(A)P(B).P(B).n n 个独立事件
25、同时发生的概率：个独立事件同时发生的概率：P(AP(A1 1 A A2 2 A An n)=P(A)=P(A1 1)P(A P(A2 2)P(A P(An n)kknk76 n76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生次独立重复试验中某事件恰好发生 k k 次的概率：次的概率：Pn(k)CnP(1 P).7777 数学期望：数学期望：E x1P1 x2P2 xnPn数学期望的性质数学期望的性质（1 1）E(ab)aE()b.（2 2）若）若B(n,p),则则E np.(3)(3)若若服从几何分布服从几何分布,且且P(k)g(k,p)q7878 方差：方差：Dx1E p1x2E p2标准差：标准差
26、：=D.方差的性质：方差的性质：(1)(1)Dab a D；222k1p，则，则E21.pxnE pn(2(2）若）若B(n,p)，则，则D np(1 p).(3)(3)若若服从几何分布服从几何分布,且且P(k)g(k,p)qk1p，则，则D22q.p2方差与期望的关系：方差与期望的关系：D EE.7979 正态分布密度函数：正态分布密度函数：fx1e26x2262,x,，x.式中的实数，式中的实数，（00）是参数，分别表示个体的平均数与标准差）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.对于对于N(,)，取值小于，取值小于 x x 的概率：的概率：Fx 28080f(x)在在x0处的导数（或变化率
27、）处的导数（或变化率）：f(x0)yxx0 limf(x0 x)f(x0)y lim.x0 xx0 x/筱*ss(t t)s(t).limt0tt0tvv(t t)v(t)瞬时加速度：瞬时加速度：a v(t)lim.limt0tt0t8181函数函数y f(x)在点在点x0处的导数的几何意义：处的导数的几何意义：瞬时速度：瞬时速度：s(t)lim函数函数y f(x)在点在点x0处的导数是曲线处的导数是曲线y f(x)在在P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率f(x0)，相应的切，相应的切线方程是线方程是y y0 f(x0)(x x0).8282 几种常见函数的导数：几种常见函数的导数
28、：(1)(1)C 0（C C 为常数）为常数）.(2).(2)(xn)nx(nQ).(3).(3)(sin x)cosx.11(4)(4)(cosx)sin x.(5)5)(lnx)；(logax)logae.xxxxxx(6)(6)(e)e;(a)a lna.8383 导数的运算法则：导数的运算法则：n1uuvuv(v 0).（1 1）(u v)u v.（2 2）(uv)u vuv.（3 3）()2vv8484 判别判别f(x0)是极大（小）值的方法：是极大（小）值的方法：当函数当函数f(x)在点在点x0处连续时，处连续时，（1 1）如果在）如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，右侧，右
29、侧f(x)0，则，则f(x0)是极大值；是极大值；（2 2）如果在）如果在x0附近的左侧附近的左侧f(x)0，右侧，右侧f(x)0，则，则f(x0)是极小值是极小值.8585 复数的相等：复数的相等：abi cdi a c,b d.（a,b,c,d R）8686 复数复数z abi的模（或绝对值）的模（或绝对值）|z|=|abi|=a2b2.8787 复平面上的两点间的距离公式：复平面上的两点间的距离公式：d|z1 z2|(x2 x1)2(y2 y1)2（z1 x1 y1i，z2 x2 y2i）.8888 实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程实系数一元二次方程ax bxc 0，2bb24ac若若 b 4ac 0,则则x1,2;2ab2若若 b 4ac 0,则则x1 x2;2a2若若 b 4ac 0，它在实数集，它在实数集R内没有实数根；在复数集内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根内有且仅有两个共轭复数根2b(b24ac)i2x(b 4ac 0).2a/筱