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1、8A Uni-20-20 学年第一学期工作计划 9864高等几何高等几何考试试题考试试题 A A 卷（卷（120120 分钟）分钟）一一、填填空空题题（2 2 分分12=2412=24 分）分）题号分数得分一24二10三10四10五10六12七12八12合计1001、平行四边形的仿射对应图形为：平行四边形；2、直线x15x2 0上无穷远点坐标为：（5，-1，0）3、已知(l1l2,l3l4)3,则(l4l3,l2l1)3(l1l3,l2l4)-24、过点 A(1,i,2)的实直线的齐次方程为：2x1 x3 02 0表示的图形坐标（1,2,0）（1,3,0）5、方程u125u1u2 6u26、已
2、知OX轴上的射影变换式为x2x 11，则原点的对应点-x 3322 x3 7x1x2 4x1x3 5x2x3 0的 极 线 方 程7、求 点(1,1,0)关 于 二 阶 曲 线3x12 5x2x13x2 6x3 08、ABCD为平行四边形，过A引AE与对角线BD平行，则A(BC,DE)=-19、一点列到自身的两射影变换 a）：1 2，2 3，3 4；b）：0 1，2 3，1 0其中为对合的是：b10、求射影变换 21 0的自对应元素的参数111、两个线束点列成透视的充要条件是底的交点自对应12、直线2x1 x2 x3 0上的三点A(1,3,1)，B(2,5,1)，C(1,2,0)的单比(ABC
3、)=1二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：二、求二阶曲线的方程，它是由下列两个射影线束所决定的：x1x3 0与与x2x3 0且且21 0。解：射影对应式为21 0。由两线束的方程有：x1x,2。x3x3将它们代入射影对应式并化简得，b18A Uni-20-20 学年第一学期工作计划 98642x1x2 2x2x3 x1x3 x3 0此即为所求二阶曲线的方程。三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。三、证明：如果两个三点形内接于同一条二次曲线，则它们也同时外切于一条二次曲线。（1010分）分）证明：三点形 ABC 和三点形ABC内接于二次曲
4、线（C），设ABBC=DABAC=EABBC=DABAC=E，则C(A,B,A,B)C(A,B,A,B)所以，(A,D,E,B)C(A,B,A,B)C(A,B,A,B)(E,B,A,D)即(A,D,E,B)(E,B,A,D)这两个点列对应点的连线 AC，CB，CA,BC 连同这两个点列的底 AB，AB属于同一条二级曲线（C），亦即三点形 ABC 和三点形ABC的边外切一条二次曲线。四、已知四直线四、已知四直线l1,l2,l3,l4的方程顺次为的方程顺次为2x1-x2+x3=0=0，3x1+x2-2x3=0,=0,7x1-x2=0=0，5x1-x3=0,=0,求证四直线共点，并求（求证四直线共点
5、，并求（l1l2,l3l4）的值。）的值。（1010 分）分）解：因为213171103510 20=01 2=0 且71所以l1,l2,l3,l4共点。四直线与 x 轴（x2=0）的交点顺次为 A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为 A(-121,0),B(,0),C(0,0),D(,0)，235112(0)()253=1所以（l1l2,l3l4）=（AB，CD）=2112(0)()3521五、求两对对应元素，其参数为五、求两对对应元素，其参数为 1 1，0 02 2，所确定的对合方程。，所确定的对合方程。（1010 分）分）2解设所求为a+b
6、(+)+d=0将对应参数代入得：b28A Uni-20-20 学年第一学期工作计划 986411a+（1+）b+d=022（0+2）b+d=0从中消去 a,b,d 得11203221=01即+-2=0 为所求2 2x1x2+2+2x1x3-6-6x2x3=0=0 之极点。之极点。六、求直线六、求直线3x1 x2 6x3=0=0 关于关于x12 x2（1212 分）分）00,x3解：设p0（x10,x2）为所求，则0 111 x1 3 x0=111320 x3130 6 解线性方程组000 3xxx123000 x1x23x3 100 x1x2 6得x1 3,x2 1,x3 1,即（3，-1，-
7、1）为所求极点的坐标七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。七、叙述帕萨卡定理的内容并证明其定理。（1212 分）分）定理：内接于二阶曲线的简单六点形，三对对应边的交点在同一直线上。证明：设简单六点形A1A2A3A4A5A6，其三对对边的交点分别为 L，M，N，L=A1A2A4A5，M=A2A3A5A6，N=A3A4A6A1以A1,A3为中心，分别连接其他四点，则由定理得到A1A2A4A5A6A3A2A4A5A6设A1A2 A4A5 P，A5A6 A3A4 Q则A1A2A4A5A6L,A4,A5P，A3A2A4A5A6M,Q,A5A6所以，L,A4,A5PM,Q,A5A6由于两个点列底的交点A5
8、A5，故有L,A4,A5PM,Q,A5A6所以 LM，A4Q，PA5三点共点，但A4QPA5=N,即 L，M，N 三点共线。b30008A Uni-20-20 学年第一学期工作计划 9864八、用两种方法求双曲线八、用两种方法求双曲线x2 2xy 3y2 2x 4y 0的渐近线方程。的渐近线方程。（1212 分）分）解：方法一设渐近线的方程为a11x1a12x2a13x3k(a12x1a22x2a23x3)0根据公式得3k2 2k 1 0解之，得k,k1112 3，所以渐近线方程为x y 1(x 3y 2)0和x y 113(x 3y 2)0化简，得所求为2x-2y-1=0和 2x+6y+5=0方法二先求出中心，因为A311，A32 3，A33 4所以中心为C14,34代入公式得渐近线方程22x1 234x 14y 343y 343y4 0分解因式得1 3x4-y 4=0 x1+3 y344=0化简，得所求为2x-2y-1=0和 2x+6y+5=0饱食终日，无所用心，难矣哉。论语 阳货b4