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1、.立体几何常考证明题汇总立体几何常考证明题汇总考点考点 1 1：证平行利用三角形中位线：证平行利用三角形中位线，异面直线所成的角，异面直线所成的角四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点（1）求证：EFGH 是平行四边形（2）假设 BD=2 3，AC=2，EG=2。求异面直线 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。考点考点 2 2：线面垂直，面面垂直的判定：线面垂直，面面垂直的判定如图，空间四边形ABCD中，BC AC,AD BD，E是AB的中点。求证：1AB 平面 CDE;2平面CDE 平面ABC。考点考点 3 3：线面平行的判定：线面平行的判定
2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：A1C/平面BDE-A优选DBB1ECAD1DBCEABFCGDEAHC.考点考点 4 4：线面垂直的判定：线面垂直的判定SABC中ACB 90,SA 面ABC,AD SC,求证：AD 面SBC考点考点 5 5：线面平行的判定利用平行四边形：线面平行的判定利用平行四边形，线面垂直的判定，线面垂直的判定正方体ABCD A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.DACBD1A1DOABB1C1面AB1D1求证：()C1O面AB1D1；(2)AC1考点考点 6 6：线面垂直的判定：线面垂直的判定C正方体ABCD ABCD中，求证
3、：1AC 平面BDDB；2BD 平面ACB.-优选.考点考点 7 7：线面平行的判定利用平行四边形：线面平行的判定利用平行四边形正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1D1C；(2)假设E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD考点考点 8 8：线面垂直的判定：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形三角形中位线，构造直角三角形四面体ABCD中，AC BD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF A1EDAD1B1FGBCC12AC，2BDC 90，求证：BD 平面ACD-优选.考点考点 9 9：三垂线定理：三垂线定理如图P是ABC所在平面外一点
4、，PA PB,CB 平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN 3NB1求证：MN AB；2当APB 90，AB 2BC 4时，求MN的长。考点考点 1010：线面平行的判定利用三角形中位线：线面平行的判定利用三角形中位线PMCNABC1D1的中点.求证：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面D1EF平面BDG.G分别是AB、AD、E、F、考点考点 1111：线面平行的判定利用三角形中位线：线面平行的判定利用三角形中位线，面面垂直的判定，面面垂直的判定如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是AA1的中点.1求证：A1C/平面BDE；2求证：平面A1AC 平面BDE.-优
5、选.考点考点 1212：线面垂直的判定：线面垂直的判定,构造直角三角形构造直角三角形ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB 2，PA AD 4，E为BC的中点（1）求证：DE 平面PAE；2求直线DP与平面PAE所成的角考点考点 1313：线面垂直的判定：线面垂直的判定,构造直角三角形构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法定义法面面垂直的性质定理，二面角的求法定义法如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是DAB 60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且0平面PAD垂直于底面ABCD1假设G为AD的中点，求证：BG 平面PAD；2求证：AD PB；3求二面角ABC P的大小
6、考点考点 1414：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直平面MBD如图 1，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：AO1-优选.考点考点 1515：线面垂直的判定：线面垂直的判定如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD考点考点 1616：线面垂直的判定，三垂线定理：线面垂直的判定，三垂线定理证明：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1C平面 BC1DD1C1A1B1DCAB考点考点 1717：面面垂直的判定证二面角是直二面角：面面垂直的判定证二面角
7、是直二面角如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且ASB=ASC=60，BSC=90，求证：平面ABC平面 BSC-优选.参考答案参考答案1.证明：在ABD中，E,H分别是AB,AD的中点EH/BD,EH 12BD同理，FG/BD,FG 12BDEH/FG,EH FG四边形EFGH是平行四边形。(2)9030 2.证明：1BC ACAE BECE AB同理，AD BDAE BE DE AB又CEDE EAB 平面CDE2由1有AB 平面CDE又AB 平面ABC，平面CDE 平面ABC3.证明：连接AC交BD于O，连接EO，-优选.E为AA1的中点，O为AC的中点EO为三
8、角形A1AC的中位线 EO/AC1又EO在平面BDE，A1C在平面BDE外A1C/平面BDE。4.证明：ACB 90BC AC又SA 面ABCSA BCBC 面SACBC AD又SC AD,SC BC CAD面SBC5.证明：1连结A1C1，设A1C1AC且A1C1 AC又O1,O分别是A1C1,AC的中点，O1C1AO且O1C1 AOA1C1 B1D1 O1，连结AO1ABCD A1B1C1D1是正方体A1ACC1是平行四边形AOC1O1是平行四边形C1OAO1,AO1面AB1D1，C1O 面AB1D1C1O面AB1D12CC1面A1B1C1D1CC1 B1D!A1C1 B1D1 B1D1又
9、，B1D1 面AC11C 即AC1A1C AD1D1B1 AD1 D1同理可证，又面AB1D1AC17.证明：(1)由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中点G，AEB1G从而得B1EAG，同理GFAD AGDF B1EDF DF平面EB1D1 平面EB1D1平面FBD8.证明：取CD的中点G，连结EG,FG，E,F分别为AD,BC的中点，EG1/AC2/1BD，又AC BD,FG 1AC，在
10、EFG中，EG2 FG21AC2 EF2FG222EG FG，BD AC，又BDC 90，即BD CD，ACCD CBD 平面ACD9.证明：1取PA的中点Q，连结MQ,NQ，M是PB的中点，-优选.MQ/BC，CB 平面PAB，MQ 平面PABQN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连结PD，PA PB,PD AB，又AN 3NB，BN NDQN/PD，QN AB，由三垂线定理得MN AB2APB 90，PA PB,PD 1AB 2，QN 1，MQ 平面PAB.MQ NQ，且21BC 1，MN 2210.证明：E、F分别是AB、AD的中点，EFBD又EF 平面BDG，BD平面BDGE
11、F平面BDGMQ D1GEB四边形D1GBE为平行四边形，D1EGBEF D1E E，平面D1EF平面BDG又D1E 平面BDG，GB 平面BDGD1E平面BDG,11.证明：1设ACBD O，E、O分别是AA1、AC的中点，A1CEO平面BDE，EO 平面BDE，A1C平面BDE又AC12AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1 BD又BD AC，AC AA1 A2，BD 平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE 平面A1AC2212.证明：在ADE中，AD AE DE，AE DEPA平面ABCD，DE 平面ABCD，PA DE又PA AE A，DE 平面PAE2DPE为DP与平面PAE
12、所成的角在RtPAD，PD 4 2，在RtDCE中，DE 2 2在RtDEP中，PD 2DE，DPE 30013.证明：1ABD为等边三角形且G为AD的中点，BG AD又平面PAD 平面ABCD，BG 平面PAD2PAD是等边三角形且G为AD的中点，AD PG且AD BG，PGBG G，AD 平面PBG，PB 平面PBG，AD PB3由AD PB，ADBC，BC PB又BG AD，ADBC，BG BCPBG为二面角ABCP的平面角在RtPBG中，PG BG，PBG 45014.证明：连结MO，A1M，DBA1A，DBAC，A1A AC A，-优选.平面A1ACC1DBA1ODB平面A1ACC1
13、，而AO1设正方体棱长为a，那么A1O2在 RtA1C1M中，A1M2323a，MO2a22492 OMaA1O2 MO2 A1M2，AO14OMDB=O，A1O平面MBD15.证明：取AB的中点，连结CF，DFAC BC，CF ABAD BD，DF AB又CFDF F，AB 平面CDFCD平面CDF，CD AB又CD BE，BE AB B，CD平面ABE，CD AHAH CD，AH BE，CDBE E，AH 平面BCD16.证明：连结 ACBDAC AC 为 A1C 在平面 AC 上的射影BDA1C A1C平面BC1D同理可证A1CBC117 证明SB=SA=SC，ASB=ASC=60AB=SA=AC 取 BC 的中点 O，连 AO、SO，那么 AOBC，SOBC，2AOS 为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又BSC=90，BC=2a，SO=2a，11AO2=AC2OC2=a22a2=2a2，SA2=AO2+OS2，AOS=90，从而平面 ABC平面 BSC-优选