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1、初中数学教师基本功比赛一等奖说题稿中考数学压轴题历来是初三师生关注的焦点，它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型，涉及到代数、几何多个知识点，囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言，中考压轴题是一根标尺，可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可以直接影响到学生今后的发展。下面我就 2022 年上海市数学中考第 23 题第 2 问进行讲评。中考题中考题如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片ABCD，点 P为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，
2、折痕为 EF，连接BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点 P 在 AD 边上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由1.1.审题分析审题分析本题涉及的知识点有：折叠问题；勾股定理；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；正方形的性质。本题通过翻折将全等变换，相似构造，勾股定理运用，融进正方形，不失一道好的压轴题，很值得推敲。由于此图形是正方形，因此里面隐含着很多直角，这是学生所不注意的地方，也正是解决问题的突
3、破口和切入点。题目的难点是学生无法将分散的条件集中到有效的图形上进行解决，总有“老虎吃天无从下口”的感觉。用好直角三角形和构造直角三角形是解决此题的关键。由于此题综合性较强，条件较分散，对学生分析问题的能力要求较高，因此难度较大，难度系数是 0.19。2.2.解题过程解题过程同一个问题，从不同的角度探究与分析，可有不同的解法。一题多解，有利于沟通各知识的联系，培养学生思维的发散性和创造性。思路与解法一：思路与解法一：从线段 AD 上有三个直角这一条件出发，运用“一线三角两相似”这一规律（见课件），可将条件集中到EAP 与PDH 上，通过勾股定理、相似三角形的判定与性质来解决。解法如下：答：PD
4、H的周长不变，为定值 8证明：设BE a,则AE 4a，有折叠可知PE BE a，第 1 页 共 9 页AEPDHGFCB图1 AP 2 2a 4,PD 4 2 2a 4，EPG 900,APE DPH 900.又PHD DPH 900,APE PHD又A D 900,AEPPDH.AEP的周长AEPDH的周长PD即4 2 2a 44a.PDH的周长42 2a 4328a 8.4 aPDH的周长=评析评析这种解法用的是设而不求的方法，这也是解决几何问题的常规解法之一，解题过程中运用了勾股定理、相似，使解题思路明确，计算过程简洁。思路与解法二：思路与解法二：求PDH 的周长，因为 PD、DH 都
5、在正方形的边上，所以需要将 PH 转化到正方形的边上进行解决，因此利用辅助线构造三角形全等进行转化。解法如下：答：PDH 的周长不变，为定值 8证明：如图 2，过 B 作 BQPH，垂足为 Q由（1）知APB=BPH，又A BQP 900,BP=BP，ABPQBPAP=QP,AB=BQ又 AB=BC，BC=BQ又C BQH 90,BH=BH，BCHBQHCH=QHPDH 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.评析评析这种解法用到了作辅助线,这样把问题进行了转化，利用三角形全等的知识，得出线段PH PQ PH AP CH,把分散的问题集中到已知条件上来，从而做到了化
6、未知为已知，使问题迎刃而解。3.3.总结提升：总结提升：在原题的条件下，还可得以下结论：求证：PBH 450；求证：SPBH SABP SBCH；当PH m时，则SDHP16 4m。证明略。评析评析拓展提升题有助于学生巩固所学知识，提高思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于拓展思维，激发学生学习兴趣，从而使学生学习积极性和主动性都得到提高。第 2 页 共 9 页0AEPQDHGFCB图2逆向探究：逆向探究：如图 1，现有一张边长为 4 的正方形ABCD纸片，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG
7、 交 DC 于 H，折痕为 EF，连接 BP、BHDHP的周长为 8.求BPH面积的最小值。解：设BPH的面积为S,PD x,DH y,则 AP 4 x,CH 4 y,S正方形ABCD 2SBPH SDHP.16 2S 1xy.2HP AP CH,HP (4 x)(4 y)8 x y.由勾股定理得HP2 DP2 DH2,即(8 x y)2 x2 y2.整理得y 8x 32.x 818x 3216 2S x.2x 8化简得2x2(S 16)x (64 8S)0.(S 16)28(64 8S)0.S232S 256 0.S 16 2 16或S 16 2 16(舍去)。S 16 2 16.S的最小值
8、为16 2 16.评析评析加强逆向思维的训练，可改变思维结构，培养思维的灵活性、深刻性和双向性，提高分析问题和解决问题的能力。因此教学中应注重逆向思维的培养与塑造，以充分发挥学生的思考能力，训练其思维的敏捷性，从而激发学生探索数学奥秘的兴趣。像以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中，如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到一个题目，如果这样深入去观察、分析、解决与反思，那必能起道以一当十、以少胜多的效果，增大课堂的容量，培养学生各方面的技能，特别是自主探索，创新思维的能力，也就无需茫茫的题海，唯恐学生不学了。我会继续努力深入去研究课本的例、习题和全国各地的中考
9、试题，象学生一样，不断追求新知，完善自己。第 3 页 共 9 页初中数学如何进行说题在教师教学研究活动中，说课是个简便易行的形式。通过说课，我们可以洞在教师教学研究活动中，说课是个简便易行的形式。通过说课，我们可以洞察执教者的设计意图及行为规划。作为学生呢，要不要也说点什么？让他们说说察执教者的设计意图及行为规划。作为学生呢，要不要也说点什么？让他们说说你拿到这个题，首先是怎么想的，这么想的依据是什么。让他们说说以后，他们你拿到这个题，首先是怎么想的，这么想的依据是什么。让他们说说以后，他们解答时就不会出现盲目下笔的情况。这让我想到，说题，其实是一种很好的学习解答时就不会出现盲目下笔的情况。这
10、让我想到，说题，其实是一种很好的学习形式。形式。不妨来个界定。说题，就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规不妨来个界定。说题，就是把审题、分析、解答和回顾的思维过程按一定规律一定顺序说出来。律一定顺序说出来。要求学习者暴露面对题目的思维过程，要求学习者暴露面对题目的思维过程，即即“说数学思维说数学思维”，而不而不是像以前解完题拉倒。此前看波利亚的怎样解题也常在解题后提示学生回顾是像以前解完题拉倒。此前看波利亚的怎样解题也常在解题后提示学生回顾总结解题的经验。其实，解题功夫不能从解答后开始，而是从拿到这个题目开始总结解题的经验。其实，解题功夫不能从解答后开始，而是从拿到这个题目开始的。的
11、。我这里想到，说题应包括如下内容：我这里想到，说题应包括如下内容：1 1、说题目大致意思，尤其要说明题目的已知条件和问题，特别要注意挖掘题中隐、说题目大致意思，尤其要说明题目的已知条件和问题，特别要注意挖掘题中隐含条件；含条件；2 2、说题目所涉及的知识点；、说题目所涉及的知识点；3 3、说解题的方法；、说解题的方法；4 4、说解题的步骤；、说解题的步骤；5 5、说解答的格式和表述；、说解答的格式和表述；6 6、说检查；、说检查；7 7、说其它解法、解法的优化、变化和结论的一般推广；、说其它解法、解法的优化、变化和结论的一般推广；8 8、说解题总结，说题目的来源、背景和前后知识的联系，说解题的
12、特别注意点和、说解题总结，说题目的来源、背景和前后知识的联系，说解题的特别注意点和严密性。严密性。第 4 页 共 9 页“说题说题”时，教师不但要说清题目，还要说明怎样解，为什么这样解；该题与新时，教师不但要说清题目，还要说明怎样解，为什么这样解；该题与新课程理念、标准有什么联系；对培养学生数学素质所起的作用；与有关的数学教课程理念、标准有什么联系；对培养学生数学素质所起的作用；与有关的数学教育理论是怎样联系的等。育理论是怎样联系的等。数学数学“说题说题”，在形式上就是通过分析数学题目，说清楚，在形式上就是通过分析数学题目，说清楚“如何解题如何解题”和和“解题的解题的作用作用”；在表面看来，是
13、教师在；在表面看来，是教师在“说说”数学知识间的前后联系，如何解出这个题目的数学知识间的前后联系，如何解出这个题目的方法和策略，其实质展现的是教师自身的数学教学理论功底、数学知识的掌握程方法和策略，其实质展现的是教师自身的数学教学理论功底、数学知识的掌握程度、数学方法的理解能力及数学教学的前瞻性理论。度、数学方法的理解能力及数学教学的前瞻性理论。“说题教学说题教学”活动，看似教师的培训活动，但最终目的是推动学生说题，我们平活动，看似教师的培训活动，但最终目的是推动学生说题，我们平时看到学生解题一般只表达出解题过程和结果，不能完全暴露其思维过程，使教时看到学生解题一般只表达出解题过程和结果，不能
14、完全暴露其思维过程，使教者无法对症下药，者无法对症下药，根除后患，根除后患，“说题说题”能展现学生的思维过程并及时纠正学生的思维能展现学生的思维过程并及时纠正学生的思维偏差。使教师能帮学生从根本上纠正问题，减轻学生的偏差。使教师能帮学生从根本上纠正问题，减轻学生的“做题做题”负担。负担。我们提倡教师在课堂中让学生来说题：我们提倡教师在课堂中让学生来说题：说对题目的认识、说对题目的认识、理解；理解；说题目的条件、说题目的条件、结论、知识点；说条件、结论之间的转化；说与学过的哪一类问题相似；说可能结论、知识点；说条件、结论之间的转化；说与学过的哪一类问题相似；说可能用到的数学思想方法；说自己的想法
15、和猜测；说解题方法是如何想到的，为什么用到的数学思想方法；说自己的想法和猜测；说解题方法是如何想到的，为什么这样想。这样想。“说题教学说题教学”可激发学习兴趣，巩固、深化所学知识，能挖掘学生潜力，培可激发学习兴趣，巩固、深化所学知识，能挖掘学生潜力，培养思维能力和自己获取知识的能力。养思维能力和自己获取知识的能力。“说题教学说题教学”在相互交流中各抒己见，在相互交流中各抒己见，互献智慧，互献智慧，在磨练中探索、尝试、验证，进行思想方法的沟通，以达到集思广益和突破创新在磨练中探索、尝试、验证，进行思想方法的沟通，以达到集思广益和突破创新的目的，能培养学生思维的深刻性、广阔性、创造性乃至批判性，开
16、发学生的脑的目的，能培养学生思维的深刻性、广阔性、创造性乃至批判性，开发学生的脑力资源，挖掘学生的潜在能力。最终让学生用自己的眼光观察数学问题，用自己力资源，挖掘学生的潜在能力。最终让学生用自己的眼光观察数学问题，用自己的头脑思考、解决数学问题。的头脑思考、解决数学问题。“说题说题”至少有这几点功效：一是有利于提高教师数质。在至少有这几点功效：一是有利于提高教师数质。在“说题说题”前，教师必须前，教师必须认真学习有关的理论和资料，认真学习有关的理论和资料，深入研究数学结构与分类，深入研究数学结构与分类，长期坚持长期坚持“说题说题”必然促进必然促进教师自身的数学知识的熟练，其理论学习变得越来越广
17、博而深刻，理论应用变得教师自身的数学知识的熟练，其理论学习变得越来越广博而深刻，理论应用变得第 5 页 共 9 页熟练而有效，从而促进教师业务素质产生飞跃性的变化，即由经验型教师逐步变熟练而有效，从而促进教师业务素质产生飞跃性的变化，即由经验型教师逐步变为理论型教师、科研型教师；二是有利于理论联系实际与实践的结合。课程标准为理论型教师、科研型教师；二是有利于理论联系实际与实践的结合。课程标准的实施为的实施为“说题说题”提供了广阔的空间。提供了广阔的空间。教师在教师在“说题说题”时，时，体现的是教师的数学教育理体现的是教师的数学教育理论功底的深厚、数学知识的掌握程度的生熟、数学方法理解的强弱、数
18、学教学前论功底的深厚、数学知识的掌握程度的生熟、数学方法理解的强弱、数学教学前瞻性理念的探求。瞻性理念的探求。数学数学“说题说题”为现在的课堂教学的改革提供了良好的教育平台，为现在的课堂教学的改革提供了良好的教育平台，在在课改中各类教研活动会更加活跃，课改中各类教研活动会更加活跃，“说题说题”这种教研方式将发挥更重要的作用；这种教研方式将发挥更重要的作用；三是三是有利于营造教研气氛。有利于营造教研气氛。一般来说，一般来说，“说题说题”活动往往和教学实践活动结合在一起进行，活动往往和教学实践活动结合在一起进行，通过通过“说说”发挥了发挥了“说题说题”教师的作用；教师的作用；通过课堂具体实践，通过
19、课堂具体实践，又使教师自身的教学理论又使教师自身的教学理论得以提炼。得以提炼。也给旁人提供参考，也给旁人提供参考，教师的智慧得以发挥。教师的智慧得以发挥。“说题说题”者要努力寻找现代教者要努力寻找现代教育理论的指导，育理论的指导，评价者也要努力寻求评价者也要努力寻求“说题说题”教师的特色与成功经验的理论依据，教师的特色与成功经验的理论依据，说说评双方围绕着共同的课题形成共知识，达到取长补短、优势互补的效果。评双方围绕着共同的课题形成共知识，达到取长补短、优势互补的效果。“说题说题”者得到反馈，进而改进、提高和完善自己的教学方案；听者从中得到比较、鉴别者得到反馈，进而改进、提高和完善自己的教学方
20、案；听者从中得到比较、鉴别和借鉴，得到案例示范和理论滋养两方面的收益，营造了较好的教研氛围和借鉴，得到案例示范和理论滋养两方面的收益，营造了较好的教研氛围.通过此次通过此次“说题说题”，既展示我们教师的亮点、优点和长处，也暴露了在解题教学，既展示我们教师的亮点、优点和长处，也暴露了在解题教学中存在的问题和不足。中存在的问题和不足。丰南中学肖兴贵老师巧妙变式，多题归一的丰南中学肖兴贵老师巧妙变式，多题归一的“说题说题”，他选（华东师大版他选（华东师大版八年级数学（下）第八年级数学（下）第124124 页复习题页复习题 A A 组第组第 7 7 题）的一题，已知：如图题）的一题，已知：如图1 1，
21、在，在ABCABC中，中，C=900C=900，四边形，四边形 ABDEABDE、AGFCAGFC 都是正方形，求证：都是正方形，求证：BG=ECBG=EC他从题目的他从题目的考查目标、考查目标、潜在价值、潜在价值、解题策略和拓展延伸解题策略和拓展延伸“四变式，四变式，两联想两联想”等四个方面进行等四个方面进行“说题说题”，对题目的能力立意、对题目的能力立意、知识立意；知识立意；说明题目出处以及题目所涉及的知识点；说明题目出处以及题目所涉及的知识点；说明题目所蕴含的数学思想方法的指导意义；对题目的类型、条件等有效拓展，说明题目所蕴含的数学思想方法的指导意义；对题目的类型、条件等有效拓展，一题多
22、变，启发思维等。肖兴贵老师能做到结合学情、因材施教、循序渐进、拓一题多变，启发思维等。肖兴贵老师能做到结合学情、因材施教、循序渐进、拓第 6 页 共 9 页展延伸有章法、展延伸有章法、触及中考热点和难点，触及中考热点和难点，充分体现了新课程理念，充分体现了新课程理念，把握把握“说题说题”的实质。的实质。同时他对教学内容的十分娴熟，理解、把握教材也到位，给与会教师较好启迪。同时他对教学内容的十分娴熟，理解、把握教材也到位，给与会教师较好启迪。永兴中学劳先智老师一题多解，多题归一永兴中学劳先智老师一题多解，多题归一一道解直角三角形题的探讨拓一道解直角三角形题的探讨拓展的展的“说题说题”的选题很符合
23、教学实际，的选题很符合教学实际，他把解决这一题目所涉及的数学思想：他把解决这一题目所涉及的数学思想：转化思转化思想、建模思想、方程思想、化归思想概括准确，引导学生去探索数学问题的规律想、建模思想、方程思想、化归思想概括准确，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，性和方法，“做一题、通一类、会一片做一题、通一类、会一片”的教学效果明显。的教学效果明显。永兴中学王来燕老师用分类讨论的思想，解有关等腰三角形的问题的永兴中学王来燕老师用分类讨论的思想，解有关等腰三角形的问题的“说说题题”题目是：等腰三角形的周长为题目是：等腰三角形的周长为 1616，其中一边长是，其中一边长是 6 6，求另两条边的长（
24、华师版，求另两条边的长（华师版七年级下册第七年级下册第 9999 页习题页习题 10.310.3 中的一道练习题）中的一道练习题）。她用简单的题目说出了课堂教学。她用简单的题目说出了课堂教学的平常事，挖掘习题的深度和广度。反映了她在教学中强化分类讨论的思想，特的平常事，挖掘习题的深度和广度。反映了她在教学中强化分类讨论的思想，特别是解与等腰三角形的边、角有关的问题时，考虑周到、全面，正确运用分类讨别是解与等腰三角形的边、角有关的问题时，考虑周到、全面，正确运用分类讨论思想，对所有可能的情况进行分析讨论，防止解一题多解的习题时漏解、错解，论思想，对所有可能的情况进行分析讨论，防止解一题多解的习题
25、时漏解、错解，提高了学生解题能力和培养了学生的思维能力。提高了学生解题能力和培养了学生的思维能力。东山中学东山中学邝展华老师的邝展华老师的 以以“静静”制制“动动”从一道动点习题说起的从一道动点习题说起的“说题说题”的原题目：的原题目：如图所示，在如图所示，在ABCABC 中，中，C=90C=90，AB=10cmAB=10cm，AC=8cm.AC=8cm.两个动点两个动点 P P、Q Q 分分别从别从 B B、C C 两点同时出发，其中点两点同时出发，其中点 P P 以以 1 cm/S1 cm/S 的速度沿着线段的速度沿着线段 BCBC 向点向点 C C 运动，运动，点点 Q Q 以以 2 c
26、m/S2 cm/S 的速度沿着线段的速度沿着线段 CACA 向点向点 A A 运动，设运动时间为运动，设运动时间为 t t（S S），问：当问：当 t t 为何值时，为何值时，PCQPCQ 的面积等于的面积等于 8cm 28cm 2？邝老师意识到，原题以直角三角形为载体，在动态的情况下探究三角形的面积邝老师意识到，原题以直角三角形为载体，在动态的情况下探究三角形的面积问题，是几何和代数计算的综合训练，综合了勾股定理、图形面积、方程等初中问题，是几何和代数计算的综合训练，综合了勾股定理、图形面积、方程等初中数学的主要知识点；在数学思想方法方面，渗透了数形结合、方程及转化等数学数学的主要知识点；在
27、数学思想方法方面，渗透了数形结合、方程及转化等数学思想，考查了学生的思维能力、计算能力，培养了学生运动变化的辩证唯物主义思想，考查了学生的思维能力、计算能力，培养了学生运动变化的辩证唯物主义第 7 页 共 9 页观点，是一道有一定的综合性，难度适中的题目。她针对中考数学压轴性题正逐观点，是一道有一定的综合性，难度适中的题目。她针对中考数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、函数思想、存在性问题等方向发展而选题。她经过步转向数形结合、动态几何、函数思想、存在性问题等方向发展而选题。她经过两次变式两次变式“说题说题”概括此类题型的解题规律：解决动态几何问题不要被概括此类题型的解题规律：解决动态几
28、何问题不要被“动动”所迷惑，所迷惑，要要“以静制动以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解，即把动态问题变为静态问题来解，在变化中找到不变的性质，在变化中找到不变的性质，要善要善于利用图形的性质定理、勾股定理、面积关系，借助方程为桥梁，找到解决问题于利用图形的性质定理、勾股定理、面积关系，借助方程为桥梁，找到解决问题的途径。的途径。我们教师的我们教师的“说题说题”存在诸多不足如下：存在诸多不足如下：一是个别教师对原题目所隐含的数学思一是个别教师对原题目所隐含的数学思想未能准确把握，想未能准确把握，难以深刻挖掘；难以深刻挖掘；二是不结合学情变式，二是不结合学情变式，造成变式过度；造成变式过度；三
29、是对三是对“说说题题”还理解不透彻，全部把说课的有关步骤搬过来；四是只为还理解不透彻，全部把说课的有关步骤搬过来；四是只为“说题说题”而说题，不明而说题，不明确确“说题说题”的最终目的是推动学生说题。的最终目的是推动学生说题。可以说借助可以说借助“说题说题”这一平台，对促进中学数学解题教学的有效性、提高数学教这一平台，对促进中学数学解题教学的有效性、提高数学教师的素养和专业水平都是非常有益的。师的素养和专业水平都是非常有益的。虽然，虽然，对对“说题说题”我们还存在许多不足，我们还存在许多不足，但是但是我们有信心勇于进取，不断探索，终身学习，充实和完善自身的知识结构，致力我们有信心勇于进取，不断
30、探索，终身学习，充实和完善自身的知识结构，致力于中学数学教育。我们清醒的认识到现行的教材中有丰富的例题和练习题，对题于中学数学教育。我们清醒的认识到现行的教材中有丰富的例题和练习题，对题目的深入剖析与挖掘，指出题目承载了哪些知识点，题目难点的位置，程度和成目的深入剖析与挖掘，指出题目承载了哪些知识点，题目难点的位置，程度和成因；剖析解题过程，分析其中蕴涵的思想方法等，进而对有关题目进行归纳与整因；剖析解题过程，分析其中蕴涵的思想方法等，进而对有关题目进行归纳与整理，引申与推广，类比与猜想，特殊化，一般化等理，引申与推广，类比与猜想，特殊化，一般化等.经过这样的深入分析处理，能经过这样的深入分析处理，能够加深师生对教材知识内容的理解，更好地帮助学生形成数学学科素养，提高解够加深师生对教材知识内容的理解，更好地帮助学生形成数学学科素养，提高解决有关数学问题的能力，更好地实现教学目标，培养学生学习数学的兴趣，提高决有关数学问题的能力，更好地实现教学目标，培养学生学习数学的兴趣，提高广大师生数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流能力，发展学生广大师生数学地提出、分析和解决问题的能力，数学表达和交流能力，发展学生独立获取数学知识的能力独立获取数学知识的能力.第 8 页 共 9 页第 9 页 共 9 页