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1、数学选修数学选修 1-11-1 期末复习卷期末复习卷考生考生注注意：意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共共 2020 个小题，考试时间个小题，考试时间 120120 分钟，分钟，试卷满分试卷满分 100100 分分.一一.选择题：本大题共选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填写在答题卷中相应的表格内合题目要求的，把各题答案的代号填写在答题卷中相应的表格内.x21.椭圆4y251的一个焦点坐
2、标是（D）A.（3，0）B.（0，3）C.（1，0）D.（0，1）2.给出下列四个语句：两条异面直线有公共点；你是师大附中的学生吗？x1，2，3，4；方向相反的两个向量是共线向量.其中是命题的语句共有（C）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个3.给出下列五个导数式：(x)()44x3；(cosx)xsinx；(2)2xln2；(lnx)1x1.其中正确的导数式共有（A）2x1a1”的（B）1；xA.2 个B.3 个C.4 个D.5 个4.“a1”是“A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)(x（A）1)ex的单调递增区间是A.0，）B.1
3、，）C.（，0D.（，16.下列命题的逆命题为真命题的是（C）A.正方形的四条边相等B.正弦函数是周期函数C.若 ab 是偶数，则 a，b 都是偶数D.若 x0，则|x|x7.过抛物线 y24x 的焦点 F 作直线 l，交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的中点的横坐标为 3，则|AB|（B）A.6B.8C.10D.14by1表示8.给出下列两个命题：命题 p：2是有理数；命题 q：若 a0，b0，则方程ax的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（D）A.pqB.pqC.(p)qD.(p)q9.设 a 为非零常数，若函数f(x)A.22ax3x在x1处取得极值，则a 的值为（C）aD
4、.33B.3C.3x210.设点 A 为双曲线12y241的右顶点，则点 A 到该双曲线的一条渐近线的距离是（A）33D.22A.3B.3C.二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共5 5 小题，每小题小题，每小题4 4 分，共分，共2020 分，把答案填写在答题卷中相应题次后的横线上分，把答案填写在答题卷中相应题次后的横线上.11.命题“若 a2，则 a24”的逆否命题可表述为：若 a24，则 a2.12.抛物线 y212x 的准线方程是 x3.13.设某物体在时间 t 秒内所经过的路程为 s，已知s瞬时速度为 20 m/s.14.曲线y4t24t.3(t0)，则该物体在第 2 秒末的sin
5、x在点 M(，0)处的切线的斜率是x115.已知动点 M 分别与两定点 A(1，0)，B(1，0)的连线的斜率之积为定值m(m0)，若点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆(除去点 A、B)，则 m 的取值范围是（1，0）；若点 M 的轨迹是离心率为 2 的双曲线(除去点 A、B)，则 m 的值为3.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 5 小题，共小题，共 4040 分分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分 6 分)已知含有量词的两个命题 p 和 q，其中命题 p：任何实数的平方都大于零；命题 q：二元一次方程 2xy3
6、有整数解.（）用符号“”与“”分别表示命题 p 和 q；（）判断命题“(p)q”的真假，并说明理由.【解】（）命题 p：xR R，x20；（1 分）命题 q：x0Z Z 且 y0Z Z，2x0y03.（3 分）（）因为当 x0 时，x20，所以命题 p 为假命题，从而命题p 为真命题.（4 分）因为当 x02，y01 时，2x0y03，所以命题 q 为真命题.（5 分）故命题“(p)q”是真命题.（6 分）17.(本小题满分 8 分)已知函数f(x)（）求函数y3ln x12x22x.（）确定函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；f(x)的图象在点 x1 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面
7、积.33x22xx22x3x2(x0).（1 分）【解】（）f(x)xxx由f(x)0，得 x22x30，即(x1)(x3)0，所以 0 x3.（2 分）由f(x)0，得 x22x30，即(x1)(x3)0，所以 x3.（3 分）故f(x)在区间(0，3)上是增函数，在区间(3，)上是减函数.（4 分）13（）因为f(1)3124，f(1)，（5 分）22235所以切线的方程为y.（6 分）4(x1)，即y4x2255从而切线与两坐标轴的交点坐标为(0,)和(,0).（7 分）2815525故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S.（8 分）2283218.(本小题满分 8 分)已知椭圆中心在原
8、点，焦点在x 轴上，长轴长等于 12，离心率为1.3（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆左顶点作直线l，若动点M 到椭圆右焦点的距离比它到直线l 的距离小 4，求点 M 的轨迹方程.【解】（）设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为 b，半焦距为 c.y由已知，2a12，所以a6.（1 分）MHc1又，即 a3c，所以 3c6，即 c2.（2 分）la3于是 b2a2c236432.（3F1OFx222分）因为椭圆的焦点在 x 轴上，故椭圆的标准方程是x36y321.（4 分）（）法一：因为a6，所以直线 l 的方程为 x6，又 c2，所以右焦点为F2(2，0).（5 分）过点 M 作直线 l 的垂线，垂
9、足为 H，由题设，|MF2|MH|4.设点 M(x，y)，则(x22)22y2(x26)4x2.（6 分）y(x2)，即 y28x.（7 分）两边平方，得(x2)故点 M 的轨迹方程是 y28x.（8 分）法二：因为a6，c2，所以ac4，从而椭圆左焦点F1到直线 l 的距离为 4.（5 分）由题设，动点 M 到椭圆右焦点的距离与它到直线x2 的距离相等，所以点M 的轨迹是以右焦点为 F2(2，0)为焦点，直线 x2 为准线的抛物线.（7 分）显然抛物线的顶点在坐标原点，且p|F1F2|4，故点 M 的轨迹方程是 y28x.（8 分）19.(本小题满分 8 分)某汽车制造厂有一条价值为 60
10、万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入x万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为(60 x)x万元，并且2x(0,5.60 x（）求技改投入x的取值范围；技改投入比率（）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？x 0 x50 x 600 0 x 50.（3 分）【解】（）由60 x 060 xx 50 x (60 x)5x 0故技改投入x的取值范围是(0，50.（4 分）（）设f(x)(60 x)x 60 x x，x(0,50.则223f(x)120 x3x2 3x(x40).（5 分）由f(x)0，得0 x 40；由f
11、(x)0，得40 x 50.（6 分）所以f(x)在区间（0，40内是增函数，在区间40，50内是减函数，从而当 x40 时f(x)取最大值.（7 分）又f(40)(6040)40 32000，故当技改投入 40 万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为 32000 万元.（8 分）20.(本小题满分 10 分)已知双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，过左焦点F1作倾斜角为 30的直线 l，交双曲线于 A，yB 两点，F2为双曲线的右焦点，且AF2x 轴，如图.A（）求双曲线的离心率；（）若|AB|16，求双曲线的标准方程.Bx2y21(a0,b0).【解】（）设双曲线方程为22OabF2
12、xF1由已知AF1F230，A F2F190.（1 分）在 RtAF2F1中，|AF1|2|F1F2|cos304 3c34 3c，|AF2|F1F2|tan3032 3c32a，即3c32 3c.（3 分）3因为|AF1|AF2|2a，所以a，所以ecay22a23.（5 分）（）因为c即2x23a，所以by22c2a2x22a，从而双曲线方程化为2a21，2a2.（6 分）因为右焦点为 F2(3a，0)，则直线 l 的方程为y3(x33a).代人双曲线方程，得2x21(x33a)22a2，即5x22 3ax9a20.（7 分）92a.（8 分）5设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22 3a,x1x25叶1212a236a222所以|AB|x1x2|1(x1x2)4x1x23325538 3a216a.（9 分）535x2y2221.(10 分)因为|AB|16，所以 a5，从而b2a50.故双曲线方程是2550