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1、.高三数学试题高三数学试题一填空题：1.假设某 10X 奖券中有 1X，奖品价值 100 元，有二等奖 3X，每份奖品价值 50 元；其余 6X没有奖.现从这 10X 奖券中任意抽取 2X，获得奖品的总价值不少于其数学期望E的概率为.2.已知对任意的x,02不等式x 0,y1,1，成立，则实数a的取值范围为.3.在xOy平面上，将两个半圆弧(x1)y 1(x 1)和226822xy1y a0恒2xx(x3)2 y21(x 3)、两条直线y 1和y 1围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分记D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，过(0,y)(|y|1)作的水平截面，所得截面面积为41 y 8，试
2、利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为。4.已知y f(x)是定义在上的增函数,且y f(x)的图像关于点(6,0)对称.若实数x,y满2足不等式f(x26x)f(y28y 36)0,则x2 y2的取值范围_.5.已知一玻璃杯杯口直径 6cm,杯深 8cm.如图所示,其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分,一个玻璃小球放入玻璃杯中,若小球能够碰到杯底,求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).yP-xO优选C.二选择题：6.已知O是ABC外接圆的圆心,A,B,C为ABC的内角,若yBcosBcosC AB AC 2m AO,则m的值为答 sinCsinBA.1B.sin AC
3、.cosAD.tanA7.已知点列Anan,bnnN均为函数y aa 0,a 1xOCAx的图像上，点列Bnn,0满足AnBn AnBn1，若数列bn中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）（A）0,5 125 15 1（B）,2,123 13 12,（D）2,125 11,23 1（C）0,223 11,2(x1)(y 1)1的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B，AOB被圆8.过圆C：分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S S S S|,则直线 AB有（）（A）0 条（B）1 条（C）2 条（D）3 条三解答题：x2y29.已知直线y 2x是双曲线C:221的
4、一条渐近线，点A1,0,Mm,nn 0都ab在双曲线C上，直线 AM 与y轴相交于点 P，设坐标原点为 O.（1）设点 M 关于 y 轴相交的对称点为N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在x轴上是否存在定点 T，使得TP TQ?若存在，求出点 T 的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点D0,2的直线l与双曲线 C 交于 R,S 两点，且OROS RS，试求直线l的方程.-优选.x210.已知双曲线C:y21,设过点A(3 2,0)的直线l的方向向量为e (1,k).2(1)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;(2)证明:当k 11.已知集合M是满足
5、下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f(kx)2时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为6.2kf(x)恒成立2（1）判断一次函数f(x)axb(a0)是否属于集合M；（2）证明函数f(x)log2x属于集合M，并找出一个常数k；（3）已知函数f(x)logax(a1)与yx的图象有公共点，证明f(x)logaxM12.设函数f(x)和g(x)都是定义在集合M上的函数,对于任意的xM，都有f(g(x)g(f(x)成立，称函数f(x)与g(x)在M上互为“H函数”.（1）函数f(x)2x与g(x)sin x在M上互为“H函数”，求集合M；（2）若函
6、数f(x)a(a 0且a 1)与g(x)x 1在集合M上互为“H函数”,求证：a 1；（3）函数f(x)x 2与g(x)在集合M x|x 1且x 2k 3，k N上互为“H*x函数”，当0 x 1时,g(x)log2(x 1)，且g(x)在(1,1)上是偶函数,求函数g(x)在集合M上的解析式.-优选.13.设数列an的前n项和为Sn，且Sn1 anSnnN2.（1）求出S1,S2,S3的值，并求出Sn及数列an的通项公式；（2）设bn1n1anan1nN，求数列bn的前n项和Tn；（3）设cnn1annN，在数列cn中取出m mN且m 3项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列dn，若对任
7、意的数列dn，均有d1d2试求M的最小值.dn M，214.已知数列an的各项均为正数，其前n项的和为Sn，满足(p 1)Sn p an（n N*），其中p为正常数，且p 1（1）求数列an的通项公式；（2）是否存在正整数M，使得当n M时，a1a4a7a3n2 a78恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若p 1，设数列bn对任意n N*，都有b1anb2an1b3an2bn1a221bna1 2nn 1，问数列bn是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，2请说明理由-优选.15.已知抛物线C:y2px(p 0)上横坐标为 4 的
8、点到焦点的距离等于 5。2（1）求抛物线的方程。（2）设 直 线y kx b(k 0)与 抛 物 线 交 于 两 点A(x1,y1),B(x2,y2)，且|y1 y2|a(a 0)，M是弦AB的中点，过M做平行于x轴的直线交抛物线于点D，得到ABD；在分别过弦AD,BD的中点作平行于x轴的直线交抛物线于点E,F，得到三角形ADE,BDF；按此方法继续下去。解决如下问题：求证：a216(1 kb)；计算ABD的面积SABD；根据ABD的面积的计算结果，2k写出ADE,BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭图形的面积。yAEDOFMxB-优选.1.假设某
9、10X 奖券中有 1X，奖品价值 100 元，有二等奖 3X，每份奖品价值 50 元；其余 6X没有奖.现从这 10X 奖券中任意抽取 2X，获得奖品的总价值不少于其数学期望E的概率为2.3已知对任意的2.x,0 0,y1,1，不等式x2168（,8 4 2.2xy1 y2a 0恒成立，则实数a的取值范围为2xx223.在xOy平面上，将两个半圆弧(x1)y 1(x 1)和(x3)2 y21(x 3)、两条直线y 1和y 1围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分记D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，过(0,y)(|y|1)作的水平截面，所得截面面积为41 y 8，试利用祖暅原理、一个平放的圆
10、柱和一个长方体，得出的体积值为。4.已知y f(x)是定义在上的增函数,且y f(x)的图像关于点(6,0)对称.若实数x,y满2足不等式f(x26x)f(y28y 36)0,则x2 y2的取值范围_.解:由对称性可知f(6)0,由单调性可知x 6时,f(x)0;x 6时,f(x)0;由y28y 36 (y 4)2 20 6,则x26x 6,结合草图可知y28y 36到 6 的距离不超过比x26x到 6 的距离,即y28y 366 6(x26x),整理得x2 y26x 8y 24 0 (x 3)2(y 4)21,-优选.其几何意义是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆(及其内部),而x2 y2即
11、为该区域内点到原点距离的平方,结合图形可知,故其取值范围为16,36.5.已知一玻璃杯杯口直径6cm,杯深8cm.如图所示,其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分,一个玻璃小球放入玻璃杯中,若小球能够碰到杯底,求小球半径的范围(不记玻璃杯的玻璃厚度).解:如图建系,抛物线方程为抛物线y 89x2,x3,3,小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心C距离最短的点,由小球能碰到杯底,则有|CO|CP|,设P(x,y)(x3,3)在抛物线上,设小球的半径为r,则圆心的坐标为C(0,r),|CP|x2(y r)2y2(92r)y r28,y0,3,由|CP|CO|,即当y 0时,|CP|最小,故1 9m
12、in2(8 2r)0,所以r(0,916.选择题：6.已知O是ABC外接圆的圆心,A,B,C为ABC的内角,若cosBsinC ABcosCsinB AC 2m AO,则m的值为答 BA.1B.sin AC.cosAD.tanA解:不妨设外接圆的半径为1,如图建立直角坐标系,则有AOB 2C,AOC 2B,故可设B(cos2C,sin 2C),C(cos(2 2B),sin(2 2B),结合诱导公式得C(cos2B,sin2B),则AB (cos2C 1,sin2C),AC (cos2B 1,sin2B),由cosBsinC ABcosCsinB AC 2m AO,得cosBsinC(cos2
13、C 1)cosCsinB(cos2B 1)2m,又cos2C 12sin2C,cos2B 12sin2B,上式化为cosBcosCsinC(2sin2C)sinB(2sin2B)2m,-优选yPCOxyBOAxC.整理得m sinCcosB cosCsinB sin(B C)sin A,故选 B.7.已知点列已知点列Anan,bnnN均为函数均为函数y axa 0,a 1的图像上，的图像上，点列点列Bnn,0满足满足AnBn AnBn1，若数列，若数列bn中任意连续三项能构成三角形的三边，则中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为的取值范围为（B B）（A A）0,5 125 15
14、1（B B）,2,125 11,23 1（C C）0,223 13 12,（D D）2,123 11,2(x1)(y 1)1的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B，AOB被圆8.过圆C：分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S S S S|,则直线 AB有（）（A）0 条（B）1 条（C）2 条（D）3 条三解答题：x2y29.已知直线y 2x是双曲线C:221的一条渐近线，点A1,0,Mm,nn 0都ab在双曲线C上，直线 AM 与y轴相交于点 P，设坐标原点为 O.（1）设点 M 关于 y 轴的对称点为 N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在x轴上是否存在定点 T，使
15、得TP TQ?若存在，求出点 T 的坐标;若不存在，请说明理由.（2）若过点D0,2的直线l与双曲线 C 交于 R,S 两点，且OROS RS，试求直线l的方程.x210.已知双曲线C:y21,设过点A(3 2,0)的直线l的方向向量为e (1,k).2(3)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;2时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为6.2x(1)解:双曲线C的渐近线m:y 0,即x 2y 0,2(4)证明:当k-优选.直线l的方程为x 2y 3 2 0,直线l与m的距离为d 3 21 26.(2)证法一:设过原点且平行于l的直线b:kx y
16、0,则直线l与b的距离d 3 2|k|1 k2,当k 2时,d 6,2又双曲线C的渐近线方程为x 2y 0,双曲线C的右支在直线b的右下方,双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于6,故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为6.证法二:假设双曲线右支上存在点Q(x0,y0)到直线l的距离为6,|kx0 y03 2k|6,(1)2则,1 k22x0 2y0 2,(2)由(1)得y0 kx0 3 2k 6 1 k2,设t 3 2k 6 1 k2,当k 2时,t 3 2k 6 1 k2 0,22t 3 2k 6 1 k6 2k213k 1 k22 0,2 4ktx0 2(t21)0()
17、,将y0 kx0t代入(2)得(1 2k2)x02,t 0,12k2 0,4kt 0,2(t21)0,2方程()不存在正根,即假设不成立,k 故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为6.11.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f(kx)kf(x)恒成立2-优选.（1）判断一次函数f(x)axb(a0)是否属于集合M；（2）证明函数f(x)log2x属于集合M，并找出一个常数k；（3）已知函数f(x)logax(a1)与yx的图象有公共点，证明f(x)logaxM解：（1）若f(x)axbM，则存在非零常数k，对任意xD均有f(kx
18、)akxbk2k 1 0，k无解，所以f(x)Mf(x)，即a(k1)x恒成立，得k 0，2（2）log2(kx)kklog2x，则log2k，k4，k2 时等式恒成立，所以f(x)22log2xM（3）因为ylogax(a1)与yx有交点，由图象知，ylogax与y设logakx必有交点2kk，则f(kx)loga(kx)logaklogaxf(x)，所以f(x)M2212.设函数f(x)和g(x)都是定义在集合M上的函数,对于任意的xM，都有f(g(x)g(f(x)成立，称函数f(x)与g(x)在M上互为“H函数”.（1）函数f(x)2x与g(x)sin x在M上互为“H函数”，求集合M；
19、（2）若函数f(x)a(a 0且a 1)与g(x)x 1在集合M上互为“H函数”,求证：a 1；（3）函数f(x)x 2与g(x)在集合M x|x 1且x 2k 3，k N上互为“H*x函数”，当0 x 1时,g(x)log2(x 1)，且g(x)在(1,1)上是偶函数,求函数g(x)在集合M上的解析式.（1）由f(g(x)g(f(x)得2sin x sin2x化简得，2sin x(1cosx)0，sin x 0或cosx 12解得x k或x 2k，k Z，即集合M x|x kk Z2 分(若学生写出的答案是集合M x|x k,k Z的非空子集，扣 1 分，以示区别。)（2）证明：由题意得，a
20、x1x ax1（a 0且a 1），变形得，a(a 1)1，由于a 0-优选.且a 1，a x11x，因为a 0，所以 0，即a 1a 1a 1（3）当1 x 0，则0 x 1，由于函数g(x)在(1,1)上是偶函数则g(x)g(x)log2(1 x)，所以当1 x 1时，g(x)log2(1|x|)由于f(x)x 2与函数g(x)在集合M上“互为H函数”所以当xM，f(g(x)g(f(x)恒成立,g(x)2 g(x 2)对 于 任 意 的x(2n 1,2n 1)(nN)恒 成 立,即g(x 2)g(x)2，所以gx 2(n 1)2 gx 2(n 1)2,即g(x 2n)gx 2(n 1)2，所
21、以g(x 2n)g(x)2n,当x(2n 1,2n 1)（nN）时,x 2n(1,1)g(x 2n)log2(1|x 2n|)，所以当xM时，g(x)g(x 2n)2n g(x 2n)2n log2(1|x 2n|)2n13.设数列an的前n项和为Sn，且Sn1 anSnnN2.（1）求出S1,S2,S3的值，并求出Sn及数列an的通项公式；n12（2）设bn(1)(n1)anan1(n N)，求数列bn的前n项和Tn；（3）设cnn1annN，在数列cn中取出m mN且m 3项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列dn，若对任意的数列dn，均有d1d2试求M的最小值.214.已知数列an的
22、各项均为正数，其前n项的和为Sn，满足(p 1)Sn p andn M，（n N*），其中p为正常数，且p 1（1）求数列an的通项公式；-优选.（2）是否存在正整数M，使得当n M时，a1a4a7a3n2 a78恒成立？若存在，求出使结论成立的p的取值范围和相应的M的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若p 1，设数列bn对任意n N*，都有b1anb2an1b3an2bn1a221bna1 2nn 1，问数列bn是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，2请说明理由解：（1）由题设知，(p 1)a1 p a1，解得a1 p（1 分）21(p 1)Sn p an,由两式作差得，(p 1
23、)an1 an an1，即an1an，（2 分）2p(p 1)Sn1 p an1,2所以，数列an是首项为p，公比为1的等比数列，（3 分）p 1 所以an ppn1 1 pn2（n N*）（4 分）125(3n4)n(3n5)276（2）a1a4a7a3n2 1 p76 1 p 1，（5 分）而a78 p，1 由题意，pn(3n5)2 1 p，（6 分）所以，n(3n5)176，即3n25n 1520，1，则p2当p 1时，0 解得19；（7 分）n 8（舍去）3n(3n5)176，即3n25n 1520，1，则p2当0 p 1时，解得n 8或n 19（舍去）此时存在满足题意的Mmin 8（
24、8 分）3综上，当0 p 1时，存在M的最小值为8,使a1a4a7a3n2 a78恒成立（10 分）1111，因为a1，所以b11（11 分）2221n因为b1anb2an1b3an2bn1a2bna1 2 n 1211n1所以b1an1b2an2b3an3bn2a2bn1a1 2n（n 2）（13 分）22（3）令n 1，则b1a1 2-优选.因为an的公比1 2，所以在的两边同乘以2得，pb1anb2an1b3an2 bn1a2 2n n 1（n 2）（15 分）减去得，bna1n，所以bn n（n 2），（17 分）2因为b11，所以bn是等差数列，其通项公式为bn n（18 分）15.
25、已知抛物线C:y2px(p 0)上横坐标为 4 的点到焦点的距离等于 5。2（1）求抛物线的方程。（2）设 直 线y kx b(k 0)与 抛 物 线 交 于 两 点A(x1,y1),B(x2,y2)，且|y1 y2|a(a 0)，M是弦AB的中点，过M做平行于x轴的直线交抛物线于点D，得到ABD；在分别过弦AD,BD的中点作平行于x轴的直线交抛物线于点E,F，得到三角形ADE,BDF；按此方法继续下去。解决如下问题：求证：a216(1 kb)；计算ABD的面积SABD；根据ABD的面积的计算结果，2k写出ADE,BDF的面积；请设计一种求抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的方法，并求出封闭
26、图形的面积。解：（1）由抛物线定义得：4(yp)5,p 22AEDOFy2 4x。Mxy kx b44b y2y 0（2）2kky 4x416bk|y1 y2|(y1 y2)2 4y1y2()22 akkBa2x1 x2x1 x22bky1 y22y1 y216(1 kb)k()b,。，2222k22kkM(|bk 1|12 kb 212|DM|,S|DM|y1 y2|，求得点，,)D(,)DAB2k2kk2kk2-优选.|1bk|1 a2a3a a 22 16322ka()3|yA yD|a32由知SADE8 SBFD。第n此作图产生2n1个三角形，每一3232211个三角形的面积是上一个面积的，所以Sn是一个公比为的等比数列。令an为第n此88作图产生的2n1个三角形的面积和an 2n1Sn 2n1a31n1()，前n此作图所有三角形32 8a3111(12n1)。抛物线C与线段AB所围成封闭图形面积的面积和为Tn32444a31a3。S 1243214-优选