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1、椭圆测试题椭圆测试题一、选择题：一、选择题：（本大题共（本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分）1、离心率为2，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是（）3x2y2x2y2x2y21（B）1或1（A）959559x2y2x2y2x2y21（D）1或1（C）3620362020362、动点 P 到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）的距离之和为 8，则 P 点的轨迹为（）A.椭圆B.线段F1F22C.直线F1F2D.不能确定y21，则椭圆的焦点坐标为（）3、已知椭圆的标准方程x 10A.(10,0)B.(0,10)C.(0,3)D.(3,0)x2y21
2、上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（）4、已知椭圆59A.2 5 3B.2C.3D.6x2y21表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数a 的取值围为（）5、如果2aa2A.(2,)B.2,12,C.(,1)(2,)D.任意实数 R6、关于曲线的对称性的论述正确的是（）A.方程x xy y 0的曲线关于 X 轴对称B.方程x y 0的曲线关于 Y 轴对称C.方程x xy y 10的曲线关于原点对称D.方程x y 8的曲线关于原点对称33223322x2y2x2y221（ab0,k0 且 k1)与方程221（ab0)表示的椭圆（）.7、方程2kakbabA.有相同的离心率B
3、.有共同的焦点C.有等长的短轴.长轴D.有相同的顶点.x2y238、已知椭圆C:221(ab0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与C相交于2abA、B两点若AF 3FB，则k()（A）1（B）2（C）3（D）29、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()4321B.C.D.5555x2y21的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大10、若点 O 和点 F 分别为椭圆43A.值为()A2B3C6D8x2y211、椭圆221ab0的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A在椭圆上存在点P满足线段abAP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率
4、的取值围是()（A）（0，211（B）（0，（C）2 1，1）（D），1）222B.12,3D.12 2,31212若直线y xb与曲线y 34x x2有公共点，则 b 的取值围是()A.12 2,12 2C.-1,12 2二、填空题：二、填空题：（本大题共（本大题共 5 5 小题，共小题，共 2020 分分.）13若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是x2y21上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角，则RtPF1F2的面积为.14椭圆49241515已知F是椭圆C的一个焦 点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF 2FD，则C的离心率
5、为.2x0 x222 y 1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0 y01,则|PF1|+PF2|的取值围1616已知椭圆c:22为三、解答题：三、解答题：(本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)x2y21上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P，并且 M 为线17.（10 分）已知点 M 在椭圆259段PP的中点，求P点的轨迹方程.5x2y21(0 m 45)的焦点分别是F1和F2，已知椭圆的离心率e 18.(12 分)椭圆过中心O作直345m线与椭圆交于 A，B 两点，O为原点，若A
6、BF2的面积是 20，求：（1）m的值（2）直线 AB 的方程x2y219（12 分）设F1，F2分别为椭圆C:221(a b 0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交ab于A,B两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线l的距离为2 3.（）求椭圆C的焦距；（）如果AF2 2F2B,求椭圆C的方程.x2y220（12 分）设椭圆 C：221(a b 0)的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，ab直线 l 的倾斜角为 60,AF 2FB.o(I)(II)求椭圆 C 的离心率；如果|AB|=15，求椭圆 C 的方程.421（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点
7、B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP的斜率之积等于1.3()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。3x2y222（12 分）已知椭圆221（ab0）的离心率 e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的2ab面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）.|=（i）若|AB4 2，求直线 l 的倾斜角；5（0，y0）（ii）若点 Q在线段 AB 的垂
8、直平分线上，且QAQB 4，求y0的值.椭圆参考答案椭圆参考答案1.1.选择题：选择题：题号题号答案答案1 1B B2 2B B3 3C C4 4C C5 5B B6 6C C7 7A A8 8B B9 9B B1010C C1111D D1212D D8 8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A，B 分别作 AA1，BB1垂直于 l，A1，B 为垂足，过B 作BE 垂直于 AA1与 E，由第二定义得，由，得，即 k=9 9，故选 B.x02y02x0221,解得y0 3(1)，1010【解析】由题意，F（-1，0），设点 P(x0
9、,y0)，则有434因为FP(x01,y0)，OP(x0,y0)，所以OPFP x0(x01)y02x02x02)=x03，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0 2，因为=OPFP x0(x01)3(144222 x0 2，所以当x0 2时，OPFP取得最大值23 6，选 C。4【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。1111 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等a2b2c 而|FA|cc|PF|ac,acb2于是ac,
10、acc即accbacc222222acc a c222a c accc1ac 1或c1a2a又e(0,1)故e,1答案：D1212（20102010 文数）文数）9.若直线y xb与曲线y 34x x2有公共点，则 b 的取值围是A.12 2,12 2C.-1,12 2B.12,3D.12 2,31 2 二、填空题：二、填空题：（本大题共（本大题共 4 4 小题，共小题，共 1616 分分.）13若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是x2y21上一点P与椭圆两焦点F1,F2的连线的夹角为直角，则RtPF1F2的面积为.14椭圆49241515（20102010 全
11、国卷全国卷 1 1 文数）文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF 2FD，则C的离心率为.3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程3与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析 1】如图，|BF|b2c2 a,作DD1 y轴于点 D1,则由BF 2FD，得y yB BO OD1F Fx xD D|OF|BF|233,所以|DD1|OF|c,|DD1|BD|322a23c3c23c即xD,由椭圆的第二定义得|FD|e()ac22a23
12、3c2,e 又由|BF|2|FD|,得a 2a3ax2y2【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式221，设Dx2,y2，F 分 BD 所成的比为 2，abxc3y b30b02x2b2y233b x2xcc;yc y2c，代入12221222239 c21 b2 e 1，34 a24 b22x0 x222 y 1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0 y01,则1616（20102010 文数文数）15.已知椭圆c:22|PF1|+PF2|的取值围为_。【答案】2,22,0【解析】依题意知，点 P 在椭圆部.画出图形，由数形结合可得，当P 在原点处时(|PF1|PF2|)max 2，当
13、P 在椭圆顶点处时，取到(|PF1|PF2|)max为x2xx02 y 1 y y012,22(2 1)(2 1)=2 2(x,y)2200，故围为.因为在椭圆的部，则直线上的点（x,y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0 个.二二.填空题：填空题：1313331414242415151616352,22,0三三.解答题：解答题：17.解：设p点的坐标为p(x,y)，m点的坐标为(x0,y0)，由题意可知y 2 y0 x x0 x0 xyy02x2y21上，所以有因为点m在椭圆25922x0y0 x2y2x2y21，1，1把代入得所以 P 点的轨迹是焦点在y轴上，标准方程为2
14、5925362536的椭圆.18.解：（1）由已知e 2c5，a 45 3 5，得c 5，a322所以m b a c 4525 20（2）根据题意SABF2SF1F2B20，设B(x,y)，则SF F B11 22F1F2y，F1F2 2c 10，所x2y21，得x 3，所以B点的坐标为以y 4，把y 4代入椭圆的方程，所以直线（3，4）4520AB 的方程为y 44x或y x331919（20102010 文数）文数）（20）（本小题满分 12 分）x2y2设F1，F2分别为椭圆C:221(a b 0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A,Bab两点，直线l的倾斜角为60，F1到直线
15、l的距离为2 3.（）求椭圆C的焦距；（）如果AF2 2F2B,求椭圆C的方程.解：（）设焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离3c 2 3,故c 2.所以椭圆C的焦距为 4.（）设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y1 0,y2 0,直线l的方程为y 3(x2).y 3(x2),得(3a2b2)y24 3b2y3b4 0.联立x2y2221ba 3b2(22a)3b2(2 2a),y2.解得y122223a b3a b因为AF2 2F2B,所以 y1 2y2.3b2(22a)3b2(22a)2.即22223a b3a b22得a 3.而a b 4,所以b 5.x2y21.故椭圆C
16、的方程为952020（20102010 理数）理数）(20)（本小题满分 12 分）x2y2设椭圆 C：221(a b 0)的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 lab的倾斜角为 60,AF 2FB.o(III)(IV)解：求椭圆 C 的离心率；如果|AB|=15，求椭圆 C 的方程.4设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y10，y20.（）直线 l 的方程为y 3(xc)，其中c a2b2.y 3(xc),22224联立x2y2得(3a b)y 2 3b cy 3b 0221ba 3b2(c2a)3b2(c2a),y2解得y13a2b23a2b2因
17、为AF 2FB，所以y1 2y2.即3b2(c2a)3b2(c2a)23a2b23a2b2得离心率e c2.6 分a3124 3ab215（）因为AB 1y2 y1，所以22.4333a b由5c2515a.所以a，得 a=3，b 5.得b 3a344x2y21.12 分椭圆 C 的方程为952121（20102010 理数）理数）（19）（本小题共 14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于1.3()求动点 P 的轨迹方程；()设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存
18、在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点 B 与 A(1,1)关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,1).设点P的坐标为(x,y)由题意得y 1 y 11 x1 x1322化简得x 3y 4(x 1).故动点P的轨迹方程为x 3y 4(x 1)22（II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN).则直线AP的方程为y 1y01y 1(x1)，直线BP的方程为y 10(x1)x01x01令x 3得yM4y0 x032y0 x03，yN.x01x01于是PMN得面积SPMN|x0 y0|
19、(3 x0)21|yM yN|(3 x0)2|x021|又直线AB的方程为x y 0，|AB|2 2，点P到直线AB的距离d 于是PAB的面积|x0 y0|.2SPAB1|AB|d|x0 y0|2当SPAB|x0 y0|(3 x0)2 SPMN时，得|x0 y0|x021|又|x0 y0|0，22所以(3 x0)=|x01|，解得|x05。322因为x03y0 4，所以y0 3395333).9故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,解法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)11|PA|PB|sinAPB|PM|PN|sinMPN.22因为
20、sinAPB sinMPN,则所以|PA|PN|PM|PB|x01|3 x0|3 x0|x1|所以22即(3 x0)|x01|，解得x0533395333).922因为x03y0 4，所以y0 故存在点PS 使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为(,2222（2010XX2010XX 文数）文数）（21）（本小题满分 14 分）3x2y2已知椭圆221（ab0）的离心率 e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.2ab（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）.|=（i）若|AB4 2，求直线 l 的倾斜角；5（0，y0）（ii
21、）若点 Q在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB=4.求y0的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分 14 分.（）解：由 e=由题意可知c322222，得3a 4c.再由c a b，解得 a=2b.a212a2b 4，即 ab=2.2解方程组a 2b,得 a=2，b=1.ab 2,x2 y21.所以椭圆的方程为4()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为(x1,y1)，直线 l 的斜率为 k.则直线 l
22、的方程为 y=k（x+2）.y k(x2),于是 A、B 两点的坐标满足方程组x2消去 y 并整理，得2 y 1.4(14k2)x216k2x(16k24)0.16k2428k24kx y 由2x1，得.从而.1114k214k214k228k 4k4 1k2所以|AB|2.22214k14k14k4 24 1k24 2由|AB|，得.2514k542整理得32k 9k 23 0，即(k 1)(32k 23)0，解得 k=1.22222所以直线 l 的倾斜角为3或.448k22k,（ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为.2214k14k以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0），线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是QA2,y0,QB 2,y0.由QAQB 4，得y0 2 2。2k1 8k2（2）当k 0时，线段 AB 的垂直平分线方程为y x。14k2k14k2令x 0，解得y0 6k。14k2由QA2,y0，QB x1,y1 y0，QAQB 2x1 y0y1 y0228k214k26k4k6k14k214k214k2416k415k2114k22 4，142 14。所以y0。752整理得7k 2。故k 综上，y0 2 2或y0 2 145