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1、可编辑修改2019-20202019-2020 年高二数学年高二数学 二项式定理同步教案二项式定理同步教案 新人教新人教 A A 版版【教学内容】【教学内容】1、二项式定理；2、二项式系数的性质。【教学目标】【教学目标】使学生理解并掌握二项式定理，理解二项展开式的通项、二项式系数、项的系数等概念，理解并掌握二项式系数的性质，并能够比较熟练地运用这些基本概念和性质来解决一些常见的题型。【知识讲解】【知识讲解】1、二项式定理的性质0n1n12n22rnrrn1nn(a b)n Cna CnabCnab Cnab Cnabn1Cnb（1）二项展开式共有 n+1项。（2）指数：a 的指数由 n开始按降
2、幂排列到 0，b的指数由 0 按升幂排列到 n，在每一项中 a与 b 的指数之和为 n。（3）系数：各项的二项式系数依次为：，。（4）在二项展开式中，要注意区分“二项式系数”与“展开式系数”两个不同的概念。（5）通项：二项展开式中第r+1项（0rn）叫做通项。通项公式是一个非常重要的公式，常常用它来求二项展开式中某特殊项，例如求指定幂的项，常数项，中间项，有理项，系数最大的项，具有某种性质的连续若干项等等。因此我们必须清楚地记住通项公式的结构特点，同时还注意：通项是对(a+b)n形式的展开而言，至于(b+a)n展开式的通项是，两者的通项不相同，不可混淆。(ab)n展开式的通项是（0rn）。2、
3、如果 a的绝对值比 1 小得多，且 n 不太大的时候，可以应用公式：(1+a)n=1+na(a0)(1a)n=1na(a0)计算(1a)n的近似值，使它达到预定的精确要求，如果精确的要求很高，还应用这个近似公式来计算，其结果的误差会达不到要求，因此就需要在(1a)n的展开式中往后继续取一项或几项来计算，结果总会达到要求。3、(a+b)n的展开式中相邻两项和的二项式系数之间有一个特定的关系：r1Cnn(n 1)(n r 1)(n r)123r(r 1)这里，nr 正好是第 r+1项中 a 的幂指数，从而二项展开式的系数又具有一个性质：在展开式中，从第 2项起的二项式系数，等于它的前一项的二项式系
4、数乘以该项中a的幂指数，再除以该项中 b的幂指数与 1 的和。4、二项式系数的性质（1）如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大。（2）在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。精品文档可编辑修改（3）(a+b)n的展开式的所有二项式系数的和等于2n。（4）(a+b)n的展开式，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。例 1.展开解法一：原式=C6(2 x)C6(2 x)(06151121323)C6(2 x)4()C6(2 x)3()xxxC6(2 x)(324214151656)C6(2 x)
5、()C6()xxx6012123xxx=64x 192x 240 x 160 解法二：原式=10123456C6(2x)6C6(2x)5 C6(2x)4C6(2x)3 C6(2x)2C6(2x)C63x601213223 64x 192x 240 x 160 xxx说明：对于比较复杂的二项式要进行展开时，可以先对它进行适当地化简后再进行展开，这样可以简便运算。例 2.求(1+2x)7的展开式中第四项的二项式系数及第四项的系数。解：展开式的第四项第四项的二项式系数为第四项的系数为。例 3.求的展开式中 x3的系数及 x3的二项式系数。解：展开式的通项是：由题意得：92r=3r=3x3项的系数为x
6、3项的二项式系数为。例 4.求的展开式中的常数项（或称不含x 的项或称含 x0的项）。解：展开式的通项是：Tr1 C15(3x)r15r(1r)x由题意得：，r=6常数项为。答：常数项为 5005。例 5.计算(0.997)3的近似值（精确到 0.001）解：(0.997)3=(10.003)3=C3C30.003C30.003 C30.003130.003=0.991由精确度的要求，从第三项起以后各项都可以删除。012233精品文档可编辑修改例 6.在的展开式中有多少个有理项？r解：展开式的通项为：Tr1 C100(2)100r(43)r根据题意当与均为正整数时，Tr+1为有理项。r 应是
7、4 的倍数且r100r 可取 0，4，8，12，100展开式中共有 26个有理项。例 7.已知的展开式中第 5项的二项式系数与第 3项的二项式系数的比为 14:3，求展开式中的常数项。解：由已知条件得：整理得：n25n50=0n=10展开式的通项为：由题意得：，r=2常数项为第三项。例 8.已知的展开式，第5项的系数与第 3 项的系数的比是 56:3，求展开的中间项。解：第 5项的系数为同理可求第 3项的系数为。由题意得：n25n50=0解之得：n=10展开式共有 11项展开式的中间项为第 6项答：中间项为。例 9.证明：32n+28n9能被 64整除（nN）证明：32n+28n9=9n+18
8、n9=(8+1)n+18n90n11nn12nn1=CnCn1818 Cn18 Cn18Cn18n 9=8(Cn18020n11n2n1Cn8C1n1)8(n 1)18n 91n2n1CnCn181)=64(Cn18又Cn180n1n11n2n1CnCn181N32n+28n9 能被 64 整除。例 10.若展开式的各项系数的和是128，求展开式中含 x5这一项的系数。精品文档可编辑修改解：由题意知展开式的各项系数的和就是各项的二项式系数的和。2n=128n=7展开式的通项为：Tr1 C7(r17rr)(x x)3x令r=4含 x5项的系数为例 11.若(1+x)n展开式中连续三项的系数的比是
9、3:8:14，求展开式中二项式系数最大的项。解：因为(1+x)n展开式中连续三项的系数就是连续三项的二项式系数，所以由题意得：8r=3(nr+1)故14(r+1)=8(nr)n=10解之得：r=3展开式中二项式系数最大的项为第6项，即。例 12.求(1+5x)15的展开式中的最大系数。解：设第 r+1项系数最大，因为r1r1r1Tr C15(5x)r1 5r1C15xr1r1r1Tr2 C15(5x)r1 5r1C15x这三项的系数分别为，所以即 11r解之得：r即：r又 rN，所以 r=13，该展开式中第 14项的系数最大，其系数是：。【一周一练】【一周一练】一、选择题：1、的展开式中的常数
10、项是（）A、28B、7C、7D、282、在的展开式中含 x的项是（）A、B、C、D、3、(1x)2n展开式的中间项是（）精品文档可编辑修改A、B、C、D、4、展开式的第三项为（）A、B、C、D、5、在(1+2xx2)4的展开式中的 x7的系数是（）A、8B、12C、6D、126、10110除以 11所得的余数是（）A、0B、1C、2D、37、设展开式中第 7 项与倒数第 7 项的比是 1:6，则展开式中的第 7 项为（）A、B、C、D、二、填空题：8、设，则的展开式中的常数项是 _。9、展开式的所有项系数的总和为 _。10、1.0026精确到 0.001的近似值是 _。三、解答题：11、已知展开式的第三项系数与第五项的系数的比为18:7，求 n。12、求展开式中的所有有理项。13、求(1+2x)12展开式中系数最大的项。14、求证：72n48n1 能被 2304整除（nN）【一周一练答案】【一周一练答案】一、选择题：1、C2、B3、C4、A5、A6、B7、A二、填空题：8、9、10、1.012三、解答题：11、n=912、，813、T9 C12(2x)8126720 x814、略.精品文档