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1、1附录附录: :数学高考数学高考“素养立意素养立意”的解读与典例分析的解读与典例分析 一、核心素养 1 1.“核心素养”的内涵 核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展需要 的必备品格与关键能力.“核心素养”之“核心”应当是基础,是起着奠基作用的品格和能力,聚集 的是思维素养.核心素养强调的不是知识和技能,而是获取知识的能力. 2 2.核心素养的基本特点 (1)核心素养是知识、能力和态度等的综合表现. (2)核心素养可以通过接受教育、训练来形成和发展. (3)核心素养具有发展连续性和阶段性. (4)核心素养兼具个人价值和社会价值. (5)核心素养的作用发挥
2、具有整合性. 二、数学核心素养 数学核心素养是学生在接受相应学段的教育过程中,逐步形成的适应个人终身发展和社会发展 需要的数学思维品质与关键能力.高中阶段数学核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、 直观想象、数学运算、数据分析.这些数学核心素养既有独立性,又相互交融,形成一个有机整体. 三、如何认识和理解数学的核心素养 数学核心素养是学生通过数学的学习、反思、积累、升华、孕育出来的,面对复杂的、不确定 的现实情境和问题时,能够综合运用特定的数学观念、知识、技能、思维模式、探究技能等,用积 极的态度、科学的精神去提出问题、分析问题、解决问题、交流结果的过程中表现出来的综合品 质. 四、在教
3、学中培育学生核心素养的措施 1 1.树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识. 2 2.教师在教学实践中要结合情境不断探索和创新教学方式,以有效提升学生的数学基本能力. 3 3.以学生发展为本,充分发挥数学在培养学生的科学精神、思维品质的重要作用. 4 4.帮助学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能,体会数学内容中所蕴含的基本思想和文化 价值,积累学习数学和解决实际问题的基本经验,提升数学基本能力,特别是抽象能力、推理能力、 建模能力、运算能力、直观想象能力、数据分析能力. 5 5.坚持并加强问题导向,重视创设合适的教学情境,特别是实际情境,发展学生的创新意识和应 用能力. 6 6.把教学活
4、动的重心放在促进学生学会学习数学上,要加强“学法”指导,帮助学生养成良好 的数学学习习惯;充分运用信息技术手段,积极探索有利于学生学习的多样化教学方式. 五、数学学科的各项核心素养 1 1.数学抽象 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程.主要包括:从数量与数 量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规 律和结构,并且用数学符号或者数学术语予以表征. 在数学抽象核心素养的形成过程中,积累从具体到抽象的活动经验.学生能更好地理解数学概 念、命题、方法和体系,能通过抽象、概括去认识、理解、把握事物的数学本质,能逐渐养成一般 性思考
5、问题的习惯,能在其他学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题. 2 2.逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规则推出一个问题的思维过程.主要包括两类: 一类是从特殊到一般的推理,推理形式主要有归纳、类比;一类是从一般到特殊的推理,推理形式主 要有演绎. 在逻辑推理核心素养的形成过程中,学生能够发现问题和提出问题;能掌握推理的基本形式,表 述论证的过程;能理解数学知识之间的联系,建构知识框架;形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维 品质,增强数学交流能力. 3 3.数学建模2数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决 问题的过程.主要包括
6、:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,求 解结论,验证结果并改进模型,最终解决实际问题. 在数学建模核心素养的形成过程中,积累用数学解决实际问题的经验.学生能够在实际情境中 发现和提出问题;能够针对问题建立数学模型;能够运用数学知识求解模型,并尝试基于现实背景验 证模型和完善模型;能够提升应用能力,增强创新意识. 4 4.直观想象 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题 的过程.主要包括:借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学 问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型,探索解决问题的思
7、路. 在直观想象核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展几何直观和空间想象能力,增强运用 图形和空间想象思考问题的意识,提升数形结合的能力,感悟事物的本质,培养创新思维. 5 5.数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的过程.主要包括:理解运 算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果等. 在数学运算核心素养的形成过程中,学生能够进一步发展数学运算能力;能有效借助运算方法 解决实际问题;能够通过运算促进数学思维发展,养成程序化思考问题的习惯;形成一丝不苟、严谨 求实的科学精神. 6 6.数据分析 数据分析是指针对研究对象获得相关
8、数据,运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断,形 成知识的过程.主要包括:收集数据,整理数据,提取信息,构建模型对信息进行分析、推断,获得结 论. 在数据分析核心素养的形成过程中,学生能够提升数据处理的能力,增强基于数据表达现实问 题的意识,养成通过数据思考问题的习惯,积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验. 六、“素养立意”的典例剖析【例 1 1】已知圆C:x2+y2-2x+4y=0 关于直线 3x-ay-11=0 对称,则圆C中以为中点的弦( 4, - 4) 长为( )A.1B.2C.3D.4 答案 D 解析圆C:x2+y2-2x+4y=0 关于直线 3x-ay-11=0 对
9、称, 直线 3x-ay-11=0 过圆心C(1,-2), 3+2a-11=0,直观想象 解得a=4,=(1,-1),数学运算( 4, - 4)点(1,-1)到圆心C(1,-2)的距离d=1,数学运算(1 - 1)2+ ( - 1 + 2)2圆C:x2+y2-2x+4y=0 的半径r=,数学运算1 24 + 16 = 5圆C中以为中点的弦长为 2=2=4.故选 D.直观想象和数学运( 4, - 4)2- 25 - 1 算 【例 2 2】已知矩形ABCD,AB=6,BC=4,E,F分别是AB,CD上两动点,且AE=DF,把四边形BCFE沿EF 折起,使平面BCFE平面ABCD,若折得的几何体的体积
10、最大,则该几何体外接球的体积为 .答案64 2 3 解析画出折得的几何体(直三棱柱)如图所示,直观想象3设DF=x,FC=6-x,则DC=,数学抽象和数学运算2- (6 - )2= 12 - 36由题设底面面积SDFC=(6-x)(6-x),数学抽象和数学运算1 212 - 36 = 3 - 3 因为高为 4,所以当g(x)=(6-x)的最大值时,折得的几何体的体积最大.逻辑推理 - 3令=tx=t2+3,6-x=3-t2, 数学抽象 - 3则g(x)=f(t)=t(3-t2)=-t3+3t,数学建模 求导可得f(t)=-3(t2-1)=-3(t+1)(t-1),故当t=1x=4 时,数学运算
11、 即DC=2时,几何体的体积最大,此时底面外接圆的半径为r=2.16 - 43设外接球的球心为O,则点O到底面的距离d=2,直观想象所以球的半径R=2,2+ 2= 4 + 42则外接球的体积V=(2)3=.数学运算4 3264 2 3 【例 3 3】从某校随机抽取 200 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:h)的数据,整理得到 数据的频数分布表和频率分布直方图(如图).编 号分组频 数10,2)12 22,4)16 34,6)34 46,8)4458,10 )50610,1 2)24712,1 4)12814,1 6)4916,1 84合 计200(1)从该校随机选取一名学生,试估计这
12、名学生该周课外阅读时间少于 12 h 的概率; (2)求频率分布直方图中的a,b的值;4(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 200 名学生该周课 外阅读时间的平均数在第几组. 解(1)由频率分布表,得该周课外阅读时间不少于 12 h 的频数为 12+4+4=20,数据分析故可估计该周课外阅读时间少于 12 h 的概率为 1-=0.9.数学运算20 200 (2)由频率分布表可知数据在4,6)的频数为 34,故这一组的频率为 0.17,即a=0.085, 数据在8,10)的频数为 50,故这一组的频率为 0.25,即b=0.125.数据分析(3)数据的平均数为(
13、121+316+534+744+950+1124+1312+154+174)1 200 =7.68(h),数学运算 故样本中的 200 名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组.数据分析【例 4 4】(2017 全国,理 20)已知椭圆C:=1(ab0),四点P1(1,1),P2(0,1),P322+22,P4中恰有三点在椭圆C上.(- 1,3 2)(1,3 2) (1)求C的方程; (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明: l过定点. 解(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.直观想象又由知,C不经过点P1
14、,所以点P2在C上.逻辑推理12+1212+342因此解得12= 1,12+342= 1,?2= 4,2= 1.?故C的方程为+y2=1.数学运算2 4 (2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2, 如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t0,且|t|0.数学运算设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.842+ 142- 442+ 1而k1+k2=1- 11+2- 12=1+ - 11+2+ - 12=.212+ ( - 1)(1+ 2)125由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)+(m-1)=0.42- 442+ 1- 842+ 1解得k=-. + 1 2当且仅当m-1 时,0,于是l:y=-x+m,逻辑推理 + 1 2即y+1=-(x-2), + 1 2 所以l过定点(2,-1).数学抽象