2019高中数学 第二章 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆及其标准方程学案 新人教A版选修2-1.doc
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1、12.2.12.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程学习目标:1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程,并能运用标准方程解决相关问题(难点)自 主 预 习探 新 知1椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距思考:(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数,其他条件不变,点的轨迹是什么?(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数,其他条件不变,动点的
2、轨迹是什么?提示 (1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时,动点的轨迹不存在2椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)x2 a2y2 b21(ab0)y2 a2x2 b2焦点(c,0)与(c,0)(0,c)与(0,c)a,b,c的关系c2a2b2基础自测1思考辨析(1)到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆( )(2)到两定点F1(2,0)和F2(2,0)的距离之和为 3 的点M的轨迹为椭圆( )(3)椭圆1 的焦点在x轴上( )x2 25y2 49答案 (1) (2) (3)2已知椭圆1 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为 3,到另一焦点
3、距离为x2 my2 167,则m等于( )A10 B5 C15 D25D D 由题意知 2a3710,a5,ma225.3椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0,8),F2(0,8),且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为 20,则此椭圆的标准方程为( ) 【导学号:46342060】2A.1 B.1x2 100y2 36y2 400x2 336C.1 D.1y2 100x2 36y2 20x2 12C C 由题意知c8,2a20,a10,b2a2c236,故椭圆的方程为1.y2 100x2 36合 作 探 究攻 重 难求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)
4、和(4,0),且椭圆经过点(5,0);(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);(3)经过点A(,2)和点B(2,1)33解 (1)由于椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为1(ab0)x2 a2y2 b2a5,c4,b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.x2 25y2 9(2)由于椭圆的焦点在y轴上,设它的标准方程为1(ab0)y2 a2x2 b2a2,b1.故所求椭圆的标准方程为x21.y2 4(3)法一:当焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为1(ab0)x2 a2y2 b2依题意有Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为1.x2 15y2 5当焦点在y轴上
5、时,设椭圆的标准方程为1(ab0)y2 a2x2 b2依题意有Error!解得Error!因为ab0,所以无解3所以所求椭圆的标准方程为1.x2 15y2 5法二:设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0,n0,mn),依题意有Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为1.x2 15y2 5规律方法 1.利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置;(2)设出方程;(3)寻求a,b,c的等量关系;(4)求a,b的值,代入所设方程2当焦点位置不确定时,可设椭圆方程为mx2ny21(mn,m0,n0)因为它包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两类情况,所以可以避免分类讨论,
6、从而简化了运算跟踪训练1已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,且经过两点A(0,2)和B,求椭(1 2, 3)圆的标准方程解 设椭圆的方程为mx2ny21(m0,n0,mn),将A,B两点坐标代入方程得Error!解得Error!所求椭圆方程为x21.y2 4椭圆中的焦点三角形问题(1)椭圆1 的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|4,则F1PF2x2 9y2 2的大小为_(2)已知椭圆1 中,点P是椭圆上一点,F1,F2是椭圆的焦点,且x2 4y2 3PF1F2120,则PF1F2的面积为_. 【导学号:46342061】思路探究 (1)求|PF2|求cosF1PF2求F1PF2的大
7、小(2)椭圆定义和 余弦定理建立关于|PF1|, |PF2|的方程联立求解 |PF1|求三角形 的面积解析 (1)由1,知a3,b,x2 9y2 22c.7|PF2|2a|PF1|2,4cosF1PF2 ,|PF1|2|PF2|2|F1F2|2 2|PF1|PF2|1 2F1PF2120.(2)由1,可知a2,b,所以c1,从而|F1F2|2c2.x2 4y2 33a2b2在PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2|PF1|2|F1F2|22|PF1|F1F2|cosPF1F2,即|PF2|2|PF1|242|PF1| .由椭圆定义得|PF1|PF2|2a4 .由联立可得|PF1| .6 5所以
8、S |PF1|F1F2|sinPF1F2 2.PF1F21 21 26 5323 35答案 (1)120 (2)3 35规律方法 1.椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为 2a.2椭圆中的焦点三角形椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的PF1F2,称为焦点三角形在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解跟踪训练2(1)已知P是椭圆1 上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且y2 5x2 4
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