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1、1三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质一、考点突破一、考点突破知识点课标要求题型说明三角函数的图象和性质1. 会画正弦、余弦、正切函数的图象。2. 掌握正弦、余弦、正切函数的性质。填空解答三角函数图象及性质是高考的高频考点，也是学习后面三角知识的基础。二、重难点提示二、重难点提示重点：重点：正、余弦函数的图象、性质及“五点法”作图，以及正切函数的图象与性质。难点：难点：正弦、余弦、正切函数的性质及应用，并会运用性质解决简单问题。一、正弦、余弦函数的图象及性质一、正弦、余弦函数的图象及性质函数正弦函数ysin x，xR R余弦函数ycos x，xR R图象定义域R RR R 值域1，11，1
2、最值当x2k2（kZ Z）时，ymax1；当x2k2（kZ Z）时，ymin1当x2k（kZ Z）时，ymax1；当x2k（kZ Z）时，ymin1周期22 奇偶性奇函数偶函数单调性在2k2，2k2（kZ Z）上是增函数；在2k2，2k23（kZ Z）上是减函数在2k，2k（kZ Z）上是增函数；在2k，2k（kZ Z）上是减函数对称轴()2xkkZ()xkkZ2对称中心(,0)()kkZ(,0)()2kkZ二、正切函数的图象及性质二、正切函数的图象及性质函数ytan x图象定义域x|xk2，kZ Z值域R R 周期 奇偶性奇函数单调性在（k2，k2） （kZ Z）上都是增函数【核心突破核心突
3、破】正切函数正切函数tan ,(,)()22yAx xkkkZ是单调递增函数，但不能说函数是单调递增函数，但不能说函数在定义域内是单调递增函数。在定义域内是单调递增函数。 函数tan()(0,0)yAxA其定义域由不等式()2xkkZ得到，其周期为周期为T 。正切函数是中心对称图形，对称中心是对称中心是(,0)()2kkZ；不是轴对称图形，没有对称轴。示例：示例：函数y2cos（2x3）的对称中心为 。思路分析：思路分析：本题主要利用正、余弦函数的对称中心与对称轴坐标再结合整体代入的思想求解。答案：答案：ycos x 的对称中心为（k2，0） （kZ） ，由 2x3k2，得 x2k125（kZ
4、） ；故y2cos（2x3）的对称中心为（2k125，0） （kZ Z） 。技巧点拨：技巧点拨：牢记ycos x的对称中心为（k2，0） （kZ Z） ，且对称中心是点，不要写成xk2（kZ Z） 。3例题例题 1 1 求函数ycos2 x2sin x2 的值域。思路分析：思路分析：对于内外两层的复合型函数常采用换元法将其拆分成基础函数模型。故可令tsin x，化成关于x的二次函数求解。答案：答案：令tsin x（xR R） ，则由1sin x1，知1t1，ycos2 x2sin x2sin2x2sin x1t22t1（t1）2（1t1） ，1t1，2t10，0（t1）24，即4y0，故函数y
5、cos2x2sin x2 的值域为4，0。技巧点拨：技巧点拨：1. 求解形如yasin2xbsin xc（或yacos2xbcos xc） ，xD的函数的值域或最值时，通过换元换元，令tsin x（或 cos x） ，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可，求解过程中要注意tsin x（或 cos x）的有界性有界性。2. 求最值时要注意注意三角函数的定义域定义域，在定义域内求值域，尤其要注意题目中是否给定了区间。例题例题 2 2 比较 tan 1，tan 2，tan 3 的大小。思路分析：思路分析：把各角化归到同一单调区间内，再利用函数的单调性进行比较。答案：答案：tan
6、 2tan（2） ，tan 3tan（3） ，又22，220，23，230，显然22312，且ytan x在（2，2）内是增函数，tan（2）tan（3）tan 1，即 tan 2tan 3tan 1。技巧点拨：技巧点拨：比较三角函数值的大小时，若函数名不同，一般应先化为同名三角函数化为同名三角函数，再运用诱导公式把它们化到同一单调区间同一单调区间上，以便运用函数的单调性进行比较。4重视数形结合思想的运用重视数形结合思想的运用【满分训练满分训练】函数( )sin2 sin,0,2f xxx x的图象与直线yk有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 。思路分析：思路分析：该题是图象的交点的个数问题，从“图形”的角度加以解决。即画出函数图象解决。答案：答案： 3sin ,0,( )sin2 sinsin ,2x xf xxxx x如图，则k的取值范围是13k。 技巧点拨：技巧点拨：方程的根的个数和图象的交点的个数是一类问题，解决这类问题从两个角度解 决。第一从方程的角度方程的角度解决，即解方程，方程有几个根即有几个解或几个交点。如果方程 不会解或方程含参数不好解，这时采用第二种方法，构造函数，从图形的角度图形的角度解决问题。 在构造函数时，往往参变分离，使其一个函数为定函数，另一个函数为简单的“动”函数。