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1、二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果y ax2bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y ax2的性质（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a 0）.3.二次函数y ax2bx c的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.4.二次函数y ax bx c用配方法可化成：y ax h22b4ac b2 k的形式，其中h ，k.2a4a25.二次函数由特殊
2、到一般，可分为以下几种形式：y ax2；y ax2 k；y ax h；y ax h k；y ax2bx c.26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b4ac b2bb 4ac b2（，）（1）公式法：y ax bx c ax ，顶点是，对称轴是直线x .2a
3、4a2a2a4a22（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对2称轴是直线x h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y ax2bx c中，a,b,c的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2bx c的对称轴是直线x bbb，故：b 0时，对称轴为y轴；0（即a、b同号）时，对称
4、轴在y轴左侧；02aaa（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c的大小决定抛物线y ax2bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c，抛物线y ax2bx c与y轴有且只有一个交点（0，c）：c 0，抛物线经过原点;c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式y ax2y ax ky ax h22b 0.a开口方向当a 0时开口向上对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)b4ac b2(，)2a4ax 0（y轴）2x 0（y轴）x hy ax h
5、 k当a 0时x hx b2ay ax2bx c开口向下11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y ax2bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.2（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y ax x1x x2.12.直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线y ax2bx c得交点为(0,c).（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2bx c有且只有一个交点(h,ah2bh c).（3）抛物线与x轴的交点二次函数y ax2bx c的图像 与x轴的两个 交点 的横 坐标
6、x1、x2，是对应 一元 二次方 程ax2bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bx c k的两个实数根.（5）一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax2bx ca 0的图像G的交点，由方程组y kxny ax bxc2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G
7、有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.0，Bx2，0，（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax2bx c与x轴两交点为Ax1，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的两个根，故bcx1 x2,x1 x2aaAB x1 x2x1 x22x1 x224cb24acb4x1x2 aaaa2二次函数图象的平移（左加右减）二次函数图象的平移（左加右减）1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式y ax h k，确定其顶点坐标h，k；保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：2y=ax2向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k 2.平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：y ax2bx c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y ax2bx c变成y ax2bx c m（或y ax2bx c m）y ax2bx c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y ax2bx c变成y a(x m)2b(x m)c（或y a(x m)2b(x m)c）