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1、会计学1矩阵矩阵(j zhn)论节论节第一页，共80页。2 设 是 上线性无关函数族，在 中找一函数 ，使误差(wch)平方和（5.1）这里(zhl)（5.2）第1页/共80页第二页，共80页。3 这个问题(wnt)称为最小二乘逼近，几何上称为曲线拟合的最小二乘法.用最小二乘求拟合曲线时,首先要确定 的形式.确定 的形式问题不仅是数学问题,还与问题的实际背景有关.通常要用问题的运动规律及给定(i dn)的数据进行数据描图,确定 的形式,然后通过实际计算选出较好的结果.第2页/共80页第三页，共80页。4 为了使问题的提法(t f)更有一般性，通常在最小二乘法中考虑加权平方和 （5.2）（5.3
2、）这里 是 上的权函数，它表示不同点 处的数据比重不同.就是 次多项式.若 是 次多项式，的一般表达式为（5.2）表示的线性形式.第3页/共80页第四页，共80页。5 这样，最小二乘问题(wnt)就转化为求多元函数 （5.4）的极小点 问题.用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在形如(5.2)的 中求一函数 ，由求多元(du yun)函数极值的必要条件，有 使（5.3）取得(qd)最小.（5.2）（5.3）第4页/共80页第五页，共80页。6若记（5.5）上式可改写(gixi)为（5.6）这个(zh ge)方程称为法方程，可写成矩阵(j zhn)形式第5页/共80页第六页，共80页。7其中（5.
3、7）要使法方程(5.6)有惟一解，就要求矩阵 非奇异，而 在 上线性无关不能推出矩阵 非奇异，必须加上另外的条件.（5.6）第6页/共80页第七页，共80页。8 显然 在任意 个点上满足哈尔条件.哈尔条件，则法方程(5.6)的系数矩阵(5.7)非奇异，如果 在 上满足函数 的最小二乘解为 定义(dngy)10设 的任意线性组合在点集 上至多只有 个不同的零点，则称 在点集 上满足哈尔哈尔(Haar)条件条件.方程(5.6)存在惟一的解从而(cng r)得到于是(ysh)（5.6）第7页/共80页第八页，共80页。9这样得到的 ，对任何形如(5.2)的 ，都有故 确是所求最小二乘解.（5.2）第
4、8页/共80页第九页，共80页。10一般可取 ，但这样做当 时，通常对 的简单情形都可通过求法方程（5.6）得到 给定 的离散数据 ，例如，求解法方程（5.6）将出现系数矩阵 为病态的问题，有时根据给定数据图形，其拟合函数 表面上不是（5.2）的形式，但通过变换仍可化为线性模型.若两边(lingbin)取对数得（5.6）（5.2）第9页/共80页第十页，共80页。11 例例7 7这样(zhyng)就变成了形如（5.2）的线性模型 .此时(c sh)，若令 则已知一组实验(shyn)数据如下，求它的拟合曲线.第10页/共80页第十一页，共80页。12 解解 从图中看到各点在一条直线(zhxin)
5、附近，故可选择线性函数作拟合曲线，将所给数据(shj)在坐标纸上标出，见图 3-4.图3-4第11页/共80页第十二页，共80页。13 令这里故 第12页/共80页第十三页，共80页。14解得由（5.6）得方程组 于是所求拟合(n h)曲线为（5.6）第13页/共80页第十四页，共80页。15 关于(guny)多项式拟合，Matlab中有现成的程序 其中输入参数 为要拟合的数据，为拟合多项式的次数，输出参数 为拟合多项式的系数.利用下面(xi mian)的程序，可在 Matlab中完成上例的多项式拟合.第14页/共80页第十五页，共80页。16x=1 1 2 3 3 3 4 5;f=4 4 4
6、.5 6 6 6 8 8.5;aa=poly(x,f,1);y=polyval(aa,x);plot(x,f,r+,x,y,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=s1(x)）第15页/共80页第十六页，共80页。17结果(ji gu)如下：第16页/共80页第十七页，共80页。18 例例8 8设数据 由表3-1给出，用最小二乘法确定 及 .解解表中第4行为通过描点可以(ky)看出数学模型为它不是(b shi)线性形式.用给定数据描图可确定拟合曲线方程为两边(lingbin)取对数得第17页/共80页第十八页，共80页。19 若令先将 转化为为确定 ，根据最小二乘法，取 则
7、得数据表见表 3-1.得第18页/共80页第十九页，共80页。20故有法方程(fngchng)解得 于是(ysh)得最小二乘拟合曲线为 第19页/共80页第二十页，共80页。21 利用(lyng)下面的程序，可在 Matlab中完成曲线拟合.x=1.00 1.25 1.50 1.75 2.00;y=5.10 5.79 6.53 7.45 8.46;y1=log(y);aa=poly(x,y1,1);a=aa(1);b=exp(aa(2);y2=b*exp(a*x);plot(x,y,r+,x,y2,k)xlabel(x);ylabel(y);gtext(y=a*exp(bx);第20页/共80
8、页第二十一页，共80页。22结果(ji gu)如下：第21页/共80页第二十二页，共80页。23 用正交多项式做最小二乘拟合用正交多项式做最小二乘拟合用正交多项式做最小二乘拟合用正交多项式做最小二乘拟合(n h)(n h)(n h)(n h)如果 是关于点集（5.8）用最小二乘法得到的法方程组（5.6），其系数矩阵 是病态的.带权 正交的函数族，即（5.6）第22页/共80页第二十三页，共80页。24（5.9）则方程(fngchng)（5.6）的解为 且平方(pngfng)误差为（5.6）第23页/共80页第二十四页，共80页。25 接下来根据给定节点 及权函数 构造带权 正交的多项式 .注意
9、 ，用递推公式表示 ，即（5.10）这里 是首项系数为 1的 次多项式，根据 的正交性，得第24页/共80页第二十五页，共80页。26（5.11）下面用归纳法证明这样给出的 是正交的.第25页/共80页第二十六页，共80页。27 假定 对 及要证 对 均成立.由（5.10）有 由（5.10）第二式及（5.11）中 的表达式，有 均成立，（5.12）（5.10）（5.10）第26页/共80页第二十七页，共80页。28 而 ，于是由（5.12），当 时，另外，是首项系数为 1的 次多项式，它可由由归纳法假定(jidng)，当 时的线性组合表示.由归纳法假定(jidng)又有（5.12）第27页/共
10、80页第二十八页，共80页。29由假定(jidng)有 再考虑(kol)（5.13）利用（5.11）中 表达式及以上结果，得 第28页/共80页第二十九页，共80页。30至此已证明了由（5.10）及（5.11）确定的多项式 组成一个关于点集 的正交系.用正交多项式 的线性组合作最小二乘曲线拟合，只要根据公式（5.10）及（5.11）逐步求 的同时，相应计算出系数最后，由 和 的表达式（5.11）有 第29页/共80页第三十页，共80页。31并逐步把 累加到 中去，最后就可得到所求的 用这种方法编程序不用解方程组，只用递推公式，并且当逼近次数增加(zngji)一次时，只要把程序中循环数加 1，其
11、余不用改变.这里 可事先给定或在计算过程中根据误差确定.拟合(n h)曲线第30页/共80页第三十一页，共80页。323.6 3.6 最佳平方三角最佳平方三角最佳平方三角最佳平方三角(snji(snji o)o)逼近与快速傅里叶逼近与快速傅里叶逼近与快速傅里叶逼近与快速傅里叶变换变换变换变换 当 是周期函数时，显然用三角多项式逼近 比用代数多项式更合适，本节主要讨论用三角多项式做最小平方逼近及 快速傅里叶变换，快速傅里叶变换，简称FFT算法.第31页/共80页第三十二页，共80页。33 最佳平方三角最佳平方三角最佳平方三角最佳平方三角(snjio)(snjio)(snjio)(snjio)逼近
12、与三角逼近与三角逼近与三角逼近与三角(snjio)(snjio)(snjio)(snjio)插值插值插值插值 设 是以 为周期的平方可积函数，用三角多项式（6.1）作为(zuwi)最佳平方逼近函数.由于(yuy)三角函数族 在 上是正交函数族，于是 在 上的最小平方三角逼近多项式 的系数是 第32页/共80页第三十三页，共80页。34 称为傅里叶系数.函数 按傅里叶系数展开得到的级数 （6.3）就称为(chn wi)傅里叶级数.（6.2）第33页/共80页第三十四页，共80页。35 只要 在 上分段连续，则级数（6.3）一致收敛到 .对于最佳(zu ji)平方逼近多项式（6.1）有 由此可以(
13、ky)得到相应于（4.11）的贝塞尔不等式 因为右边不依赖于 ，左边单调有界，所以级数 （6.3）（6.1）（4.11）第34页/共80页第三十五页，共80页。36 当 只在给定的离散点集 上已知时，则可类似得到离散点集正交性与相应(xingyng)的离散傅里叶系数.下面(xi mian)只给出奇数个点的情形.收敛(shulin)，并有 第35页/共80页第三十六页，共80页。37可以证明对任何 成立 令第36页/共80页第三十七页，共80页。38这表明函数族 在点集上正交.若令其中(qzhng)则 的最小二乘三角逼近为第37页/共80页第三十八页，共80页。39当 时 于是(ysh)（6.4
14、）就是三角(snjio)插值多项式，系数仍由（6.4）表示.第38页/共80页第三十九页，共80页。40由于(yuy)所以函数族 在区间 上是正交的.一般情形，假定 是以 为周期的复函数，给定 在 个等分点 上的值函数 在等距点集 上的值组成的向量记作第39页/共80页第四十页，共80页。41当 时，个复向量 具有如下正交性：（6.5）第40页/共80页第四十一页，共80页。42事实上，令于是(ysh)即 若若则有则从而(cng r)第41页/共80页第四十二页，共80页。43于是(ysh)若这就证明(zhngmng)了（6.5）成立.即 是正交的.则于是(ysh)因此，在 个点 上的最小二乘
15、傅里叶逼近为 （6.5）第42页/共80页第四十三页，共80页。44（6.6）其中(qzhng)（6.7）在（6.6）中，若 ，则 为 在点上的插值函数，于是(ysh)由（6.6）得 即（6.8）第43页/共80页第四十四页，共80页。45 而（6.8）是由 求 的过程，称为 反变换反变换.（6.7）是由 求 的过程，称为 的离散离散傅里叶变换傅里叶变换.简称DFT，（6.7）（6.8）第44页/共80页第四十五页，共80页。46 快速快速快速快速(kui s)(kui s)(kui s)(kui s)傅氏变换（傅氏变换（傅氏变换（傅氏变换（FFTFFTFFTFFT）不论是按（6.7）式由 求
16、 ，由 求 ，（6.9）其中 (正变换)或 (反变换)，还是由（6.4）计算傅里叶逼近系数都可归结为计算(j sun)是已知复数序列.或是(hu sh)按（6.8）（6.4）第45页/共80页第四十六页，共80页。47 当 较大且处理数据很多时，就是用高速的电子计算机，很多实际问题仍然无法计算，如直接用（6.9）计算 ，需要 次复数乘法和 次复数加法，称为 个操作，计算全部 共要 个操作.直到20世纪60年代中期(zhngq)产生了FFT算法，大大提高了运算速度，从而使傅氏变换得以广泛应用.FFT算法的基本思想就是(jish)尽量减少乘法次数.（6.9）第46页/共80页第四十七页，共80页。
17、48用（6.9）计算全部 ，表面看要做 个乘法，实际上所有 中，只有 个不同的值特别当 时，只有 个不同的值.因此可把同一个 对应的 相加后再乘 ，这就能大量减少乘法次数.（6.9）第47页/共80页第四十八页，共80页。49 设正整数 除以 后得商 及余数 ，则 ，称为 的 同余数，以 表示.由于 因此计算 时可用 的 同余数 代替 ，从而推出FFT算法.以 为例.说明FFT的计算方法.由于 则（6.9）的和是（6.10）故有第48页/共80页第四十九页，共80页。50将 用二进制表示为 其中 只能取0或1.例如根据 表示法，有公式(gngsh)（6.10）可表示为 （6.10）第49页/共
18、80页第五十页，共80页。51（6.11）若引入记号(j ho)（6.12）第50页/共80页第五十一页，共80页。52则（6.11）变成 它说明利用 同余数可把计算 分为 步，用公式（6.12）计算.每计算一个 只用2次复数乘法，计算一个 用 次复数乘法，计算全部 共用 次复数乘法.若注意 公式（6.12）还可进一步简化为 第51页/共80页第五十二页，共80页。53将这表达式中二进制表示(biosh)还原为十进制表示(biosh)：第52页/共80页第五十三页，共80页。54（6.13）同样（6.12）中的 也可简化为 即 即 得第53页/共80页第五十四页，共80页。55把二进制表示(b
19、iosh)还原为十进制表示(biosh)，得（6.14）同理（6.12）中 可简化为 即 第54页/共80页第五十五页，共80页。56表示(biosh)为十进制，有 （6.15）第55页/共80页第五十六页，共80页。57 根据(gnj)公式(6.13)，(6.14)，(6.15)，由逐次计算到见表3-2(略）.上面推导的 的计算公式可类似地推广到 的情形.根据公式(6.13)，(6.14)，(6.15)，一般(ybn)情况的FFT计算公式如下：第56页/共80页第五十七页，共80页。58（6.16）其中 从 出发，由 到 算到 一组 占用 个复数单元，计算时需给出两组单元，括号内的数代表它的
20、位置，在计算机中代表存放数的地址.即为所求.第57页/共80页第五十八页，共80页。59 这个计算(j sun)公式除了具有不倒地址的优点外，计算(j sun)只有两重循环，计算过程中只要按地址号存放 则最后得到的 就是所求离散(lsn)频谱的次序.外循环 由 计算到 ，内循环 由 计算到由 计算到更重要的是整个计算(j sun)过程省计算(j sun)量.由公式看到算一个 共做 次复数乘法，而最后一步计算 时，由于第58页/共80页第五十九页，共80页。60 当 时比值是 它比一般FFT的计算量（次乘法）也快一倍.（注意 时 故 ），因此，总共要算次复数乘法，它比直接用（6.9）需 次乘法快
21、得多，计算量比值是 我们(w men)称（6.16）的计算公式为改进的 FFT算法.第59页/共80页第六十页，共80页。613.73.7 有有有有 理理理理 逼逼逼逼 近近近近 有理(yul)逼近与连分式 有理函数(yu l hn sh)逼近是指用形如 的函数逼近 与前面讨论一样，如果 最小就可得到最佳有理一致逼近最佳有理一致逼近.（7.1）第60页/共80页第六十一页，共80页。62 如果 最小则可得到 最佳有理平方逼近最佳有理平方逼近函数函数.本节主要讨论利用(lyng)函数的泰勒展开获得有理逼近函数的方法.对函数 用泰勒展开得 （7.2）取部分(b fen)和 第61页/共80页第六十
22、二页，共80页。63 另一方面,若对（7.2）式用辗转相除可得到 的一种连分式展开 （7.3）（7.2）第62页/共80页第六十三页，共80页。64（7.4）（7.3）右端为 的无穷连分式的前 5项，最后式子 若取（7.3）的前2，4，6，8项，则可分别得到 的以下有理逼近:是它的紧凑(jncu)形式.第63页/共80页第六十四页，共80页。65 若用同样多项的泰勒展开部分和 逼近 并计算 处的值 及 ，计算结果见表 3-2.的准确值为从表3-1可以(ky)看出，第64页/共80页第六十五页，共80页。66 但它们(t men)的计算量是相当的，这说明用有理逼近比多项式逼近好得多.由此看出 的
23、精度比 高出近10万倍，例例9 9用辗转相除法将它化为连分式(fnsh)并写成紧凑形式.解解给出有理函数(yu l hn sh)用辗转相除可逐步得到第65页/共80页第六十六页，共80页。67 本例中用连分式计算 的值只需3次除法，1次乘法和7次加法.第66页/共80页第六十七页，共80页。68 若直接用多项式计算的秦九韶算法则需6次乘法和1次除法(chf)及7次加法.可见将 化成连分式可节省计算乘除法次数.对一般的有理函数(yu l hn sh),（7.1）可转化为一个连分式它的乘除法运算只需 次.而直接用有理函数（7.1）计算乘除法次数为 次.第67页/共80页第六十八页，共80页。69
24、帕德逼近帕德逼近帕德逼近帕德逼近(bjn)(bjn)(bjn)(bjn)利用函数 的泰勒展开可以得到它的有理逼近.设 在 的泰勒展开为 （7.5）它的部分(b fen)和记作（7.6）第68页/共80页第六十九页，共80页。70 定义(dngy)11设其中 无公因式，且满足条件（7.8）则称 为函数 在 处的 阶帕德逼近帕德逼近，记作 ,简称 的帕德逼近.如果(rgu)有理函数（7.7）第69页/共80页第七十页，共80页。71 根据(gnj)定义，若令 则满足条件（7.8）等价(dngji)于 即 由于 应用莱布尼茨求导公式得 （7.8）第70页/共80页第七十一页，共80页。72这里 是由
25、（7.6）得到的，上式两端除 ，并由 可得（7.9）及（7.10）注意当 时故（7.10）可写成（7.6）第71页/共80页第七十二页，共80页。73（7.11）其中 时 ，若记（7.12）第72页/共80页第七十三页，共80页。74则方程组（7.11）的矩阵(j zhn)形式为 定理(dngl)10（7.7）的有理函数 是 的 阶帕德逼近的充分必要条件是多项式 的系数 及 满足方程组（7.9）及（7.11）.设则形如第73页/共80页第七十四页，共80页。75 根据定理10,求 的帕德逼近时，首先要由（7.11）解出 的系数 ，再由（7.9）直接算出 的系数 .的各阶帕德逼近可列成一张表，称
26、为帕德表（见表3-3）.（7.11）（7.9）第74页/共80页第七十五页，共80页。76 例例1010求 的帕德逼近 及 .解解由 的泰勒展开得 当 时，由（7.11）得 求得再由（7.9）得第75页/共80页第七十六页，共80页。77于是(ysh)得 当 时，由（7.11）得 第76页/共80页第七十七页，共80页。78代入（7.9）得 解得 于是(ysh)得 第77页/共80页第七十八页，共80页。79 为了求帕德逼近 的误差估计，由(7.9)及(7.11)求得的 系数 及 ，直接代入则得 将 除上式两端，即得 可以看到这里得到的 及 与 的前面 连分式展开得到的有理逼近（7.4）结果一样.第78页/共80页第七十九页，共80页。80（7.13）其中 当 时可得误差近似表达式 第79页/共80页第八十页，共80页。