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1、会计学1结构力学华中结构力学华中(Huzhng)矩阵位移法矩阵位移法第一页，共116页。第第1010章章 矩阵矩阵(j(j zhn)zhn)位移法位移法第1页/共116页第二页，共116页。10-1 10-1 概述概述10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵10-3 10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵10-4 10-4 连连续续(linx)(linx)梁梁的的整整体体刚刚度度矩矩阵阵10-5 10-5 刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵10-6 10-6 荷载列阵荷载列阵10-7 10-7 计算步骤及算例计算步骤及算例10-8 10-8 忽
2、忽略略轴轴向向变变形形时时刚刚架架的的整整体体分分析析10-9 10-9 桁架结构的整体分析桁架结构的整体分析主要(zhyo)内容第2页/共116页第三页，共116页。10-1 10-1 概述概述(i sh)(i sh)1 1、结构分析方法、结构分析方法 1 1）传统方法）传统方法前面前面(qin mian)(qin mian)介绍的力法、位移介绍的力法、位移法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法法、力矩分配法等都是传统的结构分析方法,适用于适用于手算手算,只能分析较简单的结构。只能分析较简单的结构。2 2）矩阵分析方法）矩阵分析方法矩阵力法和矩阵位移法，或称矩阵力法和矩阵位移法，或称为柔度法
3、与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是为柔度法与刚度法等都被称为矩阵分析方法。它是以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表以传统结构力学作为理论基础、以矩阵作为数学表达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方达形式，以计算机作为计算手段的电算结构分析方法，它能解决大型复杂的工程问题。法，它能解决大型复杂的工程问题。第3页/共116页第四页，共116页。2 2、基本思路、基本思路 1 1）手算位移法）手算位移法（1 1）取取基基本本体体系系构构造造各各自自独独立立的的单单跨跨超超静静梁梁的的组组 合体；合体；（2 2）写写出出杆杆端端弯弯矩矩表表达达式式建建立立(jinl)(jinl)各各杆
4、杆件件的的杆端弯矩与杆端位移间的关系；杆端弯矩与杆端位移间的关系；3）矩阵位移(wiy)法它是以结点位移(wiy)作为基本未知量的结构分析方法。由于它易于实现计算过程程序化，故本章只对矩阵位移(wiy)法进行讨论。杆件结构的矩阵位移(wiy)法也被称为杆件结构的有限元法。10-1 概述(i sh)第4页/共116页第五页，共116页。（3 3）根根据据(gnj)(gnj)结结点点、截截面面的的平平衡衡条条件件建建立立力力的的平衡方程，即位移法方程。平衡方程，即位移法方程。2 2）矩阵位移法）矩阵位移法 （1 1）结构离散化）结构离散化划分单元；划分单元；（2 2）单单元元分分析析建建立立单单元
5、元的的杆杆端端力力与与杆杆端端位位移移间间的的关系，形成单元刚度矩阵；关系，形成单元刚度矩阵；（3 3）整整体体分分析析建建立立整整个个结结构构的的结结点点位位移移与与结结点点荷荷载间的关系，形成结构刚度矩阵。载间的关系，形成结构刚度矩阵。10-1 10-1 概述概述(i sh)(i sh)第5页/共116页第六页，共116页。下面下面(xi mian)用一道例题来说明矩阵位移法的基本用一道例题来说明矩阵位移法的基本思路。思路。用位移(wiy)法解该题：2、杆端弯矩：1、未知量：M1M3M2i1i210-1 概述(i sh)132第6页/共116页第七页，共116页。3、建立(jinl)方程：
6、4、解方程得：5、回代得：杆端弯矩M1M3M2i1i210-1 概述(i sh)132 第7页/共116页第八页，共116页。把以上解题过程写成矩阵形式：1、确定未知量：可以通过编号(bin ho)来解决（一个结点一个转角未知量）。2、杆端弯矩表达式（按杆件来写）1-2杆单元(dnyun)刚度方程M1M3M2i1i210-1 10-1 概述概述(i sh)(i sh)132写成矩阵形式1 212第8页/共116页第九页，共116页。2-3杆单元(dnyun)刚度方程M1M3M2i1i210-1 概述(i sh)132写成矩阵形式2 3233、位移(wiy)法方程：第9页/共116页第十页，共1
7、16页。位移法方程写成矩阵(j zhn)形式：整体刚度(n d)矩阵4、解方程得：5、回代得：杆端弯矩 以上五个方面就是我们(w men)在本章中需仔细研究的。M1M3M2i1i210-1 概述1321 2 3 123结点荷载列阵结点位移列阵第10页/共116页第十一页，共116页。10-2 10-2 局部坐标下的单元局部坐标下的单元(dnyun)(dnyun)刚刚度矩阵度矩阵 1 1、单单元元(dnyun)(dnyun)划划分分及及编编号号 在杆系结构中以自然的一根杆件 为一个(y)单元，并以加圈的数字为记号。如图所示为刚架的单元划分。2、结点编号及未知量确定结点编号的作用：用于单元定位确定
8、未知量结点编号的方法：先处理法后处理法第11页/共116页第十二页，共116页。因此一个因此一个(y(y )刚结点就有刚结点就有3 3个位移：个位移：，而且支，而且支 座位移也要作为未知量。座位移也要作为未知量。在确定(qudng)未知量时：不忽略(hl)轴向变形；所有单元都是两端固定的。先处理法：是直接给未知量编号。后处理法：是先给结点编号（包括支座结点），然后按一个结点3个位移再减去支座约束计算。10-2 10-2 10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第12页/共116页第十三页，共116页。后处理法：结点(j
9、i din)编号如图所示，先处理(chl)法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例1：因此(ync)未知量为6个。结点编号如图所示，编号顺序为：先水平，后竖向，再转动。位移为零编“0”号。由于：10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第13页/共116页第十四页，共116页。后处理法：单元(dnyun)编号如图所示，先处理(chl)法：12341,2,34,5,60,0,00,0,0例1：单元(dnyun)编号如图所示，单元两头的结点号为：“1”、“2”，如果结点的坐标已知，单元的位置就定了。单元两头的结点号为：“1,2,3”、“4,5,6”，如果结点
10、的坐标已知，单元的位置同样定了。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第14页/共116页第十五页，共116页。后处理法：结点(ji din)编号如图所示，1,2,34,5,60,0,70,0,0例2：1234由于(yuy)：因此(ync)未知量为7个。先处理法：结点编号如图所示，7个未知量，号就编到7。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第15页/共116页第十六页，共116页。先处理(chl)法：后处理法：124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例3：结点(ji
11、 din)编号如图所示，由于(yuy)：因此未知量为8个。结点编号如图所示，8个未知量，号就编到8。10-2 10-2 10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第16页/共116页第十七页，共116页。先处理(chl)法：后处理法：124531,2,34,5,60,0,80,0,04,5,7例3：单元(dnyun)编号如图所示，单元(dnyun)编号如图所示。单元 “1”、“2”对应单元 “1”、“4”对应单元 “3”、“5”对应单元 “123”、“456”对应单元 “123”、“008”对应单元 “457”、“000
12、”对应10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第17页/共116页第十八页，共116页。后处理法：12341,23,40,00,5例4：结点(ji din)编号如图所示，桁架一个结点2各线位移(wiy)，由于：因此(ync)未知量为5个。先处理法：结点编号如图所示，8个未知量，号就编到8。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第18页/共116页第十九页，共116页。后处理法：例4：1234单元(dnyun)编号如图所示，1,23,40,00,5先处理(chl)法：单元(dnyun)编号如
13、图所示，单元 “1”、“2”对应单元 “1”、“4”对应单元 “1,2”、“3,4”对应单元 “1,2”、“0,5”对应10-2 10-2 10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第19页/共116页第二十页，共116页。3 3、建立、建立(jinl)(jinl)坐标坐标坐标系：局部(jb)坐标整体坐标1）局部(jb)坐标作用：用于表明杆端力及单元定位方法：x 轴与杆件重合及顺时针转原则。标法如图所示，箭头表示x 轴的方向，y轴 不标出。单元的起始点是“1”，终点是“2”。1234ABFAXFBXFBYFAYMABMBA10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局
14、部坐标下的单元刚度矩阵第20页/共116页第二十一页，共116页。后处理法：例4：局部(jb)坐标如图所示，1234单元 “1”、“2”对应单元 “4”、“1”对应单元定位(dngwi)向量：123142344132先起始(q sh)点后终点10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵第21页/共116页第二十二页，共116页。例4：先处理(chl)法：局部(jb)坐标如图所示，单元 “1,2”、“3,4”对应1,23,40,00,5单元 “0,5”、“1,2”对应单元(dnyun)定位向量：12340012053400050512003410-2 局部坐标下的单元刚度矩阵第22页/共116页第二十三页
15、，共116页。2）整体(zhngt)坐标作用：用于建立位移(wiy)法方程方法：可根据结构情况及顺时针转原则(yunz)建立。1234XYXYOx 表述杆端力时每根杆件都需要一套局部坐标，但建立位移法方程时每个结构则需要一个统一的坐标。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第23页/共116页第二十四页，共116页。4、单元刚度(n d)矩阵 单元刚度矩阵两端(lin dun)固定单元，由两端(lin dun)发生单 位位移产生的杆端力的矩阵形式。单元(dnyun)刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵整体坐标下的单元刚度矩阵本节先介绍局部坐标下的单元刚度矩阵 以两端固
16、定单元为研究对象，让其两端各发生3个位移，求出6个杆端力，然后写成矩阵形式，即可得到单元刚度矩阵。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵局部坐标下的单元刚度矩阵第24页/共116页第二十五页，共116页。单元形式 两端(lin dun)固定单元杆端位移 每端各三个位移，杆端力 每端各三个杆力，正负号规定 与局部坐标一致为正，相反为负。eE，A，Il122u2v1ue211v1q2qx2Fy2F2Mx1F1My1Fe1210-2 10-2 局部坐标下的单元局部坐标下的单元(dnyun)(dnyun)刚度矩阵刚度矩阵第25页/共116页第二十六页，共116页。121212EALEI,EAEA
17、LEI,EA6EIL212EIL26EIL212EIL24EIL6EIL22EIL6EIL2EI,EA10-2 10-2 10-2 10-2 局部局部局部局部(jb)(jb)(jb)(jb)坐标下的单元刚度矩坐标下的单元刚度矩坐标下的单元刚度矩坐标下的单元刚度矩阵阵阵阵第26页/共116页第二十七页，共116页。121212EI,EAEALEALEI,EA12EIL212EIL22EIL6EIL24EIL6EIL2EI,EA6EIL26EIL210-2 10-2 10-2 10-2 局部坐标局部坐标局部坐标局部坐标(zubio)(zubio)(zubio)(zubio)下的单元刚下的单元刚下的
18、单元刚下的单元刚度矩阵度矩阵度矩阵度矩阵第27页/共116页第二十八页，共116页。当两端固定单元的两端同时发生六个位移(wiy)时，六个杆端力可利用叠加原理求出：1号杆端 2号杆端10-2 10-2 局部坐标局部坐标(zubio)(zubio)下的单元下的单元刚度矩阵刚度矩阵第28页/共116页第二十九页，共116页。把杆端力与杆端位移(wiy)的表达式写成矩阵形式：EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EI
19、L2FX1FY1FX2Fy2M2M1u 2u 1v 2v 2=10-2 10-2 局部局部(jb)(jb)坐标下的单元刚坐标下的单元刚度矩阵度矩阵第29页/共116页第三十页，共116页。EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2FX1FY1FX2Fy2M2M1u 2u 1v 2v 2=可缩写成:-单元(dnyun)刚度方程10-2 10-2 局部坐标下的单元局部坐标下的单元(dnyun)(dnyun)刚度
20、矩阵刚度矩阵第30页/共116页第三十一页，共116页。单元刚度(n d)方程：其中(qzhng)：-单元杆端力列阵-单元杆端位移列阵FX1FY1FX2Fy2M2M1=u 2u 1v 2v 2=10-2 10-2 10-2 10-2 局部坐标局部坐标局部坐标局部坐标(zubio)(zubio)(zubio)(zubio)下的单元刚下的单元刚下的单元刚下的单元刚度矩阵度矩阵度矩阵度矩阵第31页/共116页第三十二页，共116页。EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-
21、6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=-单元刚度矩阵也可写成：122110-2 10-2 10-2 10-2 局部坐标下的单元局部坐标下的单元局部坐标下的单元局部坐标下的单元(dnyun)(dnyun)(dnyun)(dnyun)刚刚刚刚度矩阵度矩阵度矩阵度矩阵第32页/共116页第三十三页，共116页。单元(dnyun)刚度矩阵的性质 单元(dnyun)刚度矩阵是杆端力用杆端位移来表达的联系矩阵。=ijkjik 其中每个元素称为单元刚度系数，表示由于单位杆端 位移引起的杆端力。由反力互等定理可知：，因此单元刚度矩阵是对称矩阵。第k列元素分别表示当第k个杆端位移=1时
22、引起(ynq)的六个 杆端力分量。一般单元的单元刚度矩阵是奇异矩阵。，不 存在逆矩阵。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度矩阵第33页/共116页第三十四页，共116页。EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1221 由上述一般单元的刚度矩阵，可以根据实际情况处理后，得到(d do)特殊情况下的单元刚度矩阵。10-2 10-2 局部坐标下的单元局部坐标下的单元(dnyun)(dnyun)刚度矩阵刚
23、度矩阵第34页/共116页第三十五页，共116页。EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1 2 3 4 5 6123456 例如：已知两端固定单元两头只发生转角，其它位移等于零，同时只需要写杆端弯矩。处理的方法是：把下面刚度(n d)矩阵的第1、2、4、5行和列划掉即可。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度局部坐标下的单元刚度(n(n d)d)矩阵矩阵第35页/共116页第三十六页，共116页。两
24、端固定单元两头只发生转角(zhunjio)的单元刚度矩阵：4EIL2EIL2EIL=1 2 124EIL10-2 10-2 局部局部(jb)(jb)坐标下的单元刚度坐标下的单元刚度矩阵矩阵第36页/共116页第三十七页，共116页。EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1 2 3 4 5 6123456 又如：已知两端固定单元没有轴向变形，也不需要写杆端轴力。处理的方法是：把下面刚度(n d)矩阵的第
25、1、4行和列划掉即可。10-2 10-2 局部局部(jb)(jb)坐标下的单元刚度坐标下的单元刚度矩阵矩阵第37页/共116页第三十八页，共116页。两端固定单元不考虑轴向变形的单元刚度(n d)矩阵：6EIL24EIL12EIL36EIL2-6EIL22EIL-12EIL36EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1 2 3 4 123410-2 10-2 10-2 10-2 局部局部局部局部(jb)(jb)(jb)(jb)坐标下的单元刚度矩坐标下的单元刚度矩坐标下的单元刚度矩坐标下的单元刚度矩阵阵阵阵第38页/共116页第三十九页，
26、共116页。EAL-EAL6EIL2-6EIL24EIL2EIL12EIL3-12EIL300000000-EAL0000EAL6EIL200006EIL2-12EIL36EIL2-6EIL22EIL12EIL3-6EIL24EIL-6EIL2=1 2 3 4 5 6123456 再如：对于轴力杆件的单元刚度矩阵，处理(chl)的方法是：把下面刚度矩阵的第2、3、5、6行和列划掉即可。10-2 10-2 局部坐标下的单元刚度局部坐标下的单元刚度(n(n d)d)矩阵矩阵第39页/共116页第四十页，共116页。轴力杆件的单元刚度矩阵应该是22的，但考虑(kol)到斜杆在整体坐标中的需要，写成4
27、4的。-EAL0EAL00=1 2 3 4 12340000-EAL0EAL000010-2 10-2 10-2 10-2 局部坐标局部坐标局部坐标局部坐标(zubio)(zubio)(zubio)(zubio)下的单元刚下的单元刚下的单元刚下的单元刚度矩阵度矩阵度矩阵度矩阵第40页/共116页第四十一页，共116页。10-3 整体坐标下的单元(dnyun)刚度矩阵 整体坐标下的单元刚度(n d)矩阵 如前所述，为了表述杆端力，需要每个单元都要有自己(zj)的一套局部坐标系。但当要建立位移法方程时，则需要结构有一套统一的整体坐标系，因此在建立方程之前，必须把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐
28、标下的。下面以一根斜杆为例，说明两套坐标系的转换方法。第41页/共116页第四十二页，共116页。yx10-3 整体坐标下的单元(dnyun)刚度矩阵x1Fy1F1Mx2Fy2F2Myxyx局部(jb)坐标系中的杆端力x1Fy1F1Mx2Fy2F2M整体(zhngt)坐标系中的杆端力yx第42页/共116页第四十三页，共116页。yxyx局部坐标系中杆端力与整体(zhngt)坐标系中杆端力之间的关系：x1Fy1F1Mx2Fy2F2Myxx1Fy1F1Mx2Fy2F2Myx局部(jb)坐标系中的杆端力整体(zhngt)坐标系中的杆端力10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第43页/共116页第四十四
29、页，共116页。其中：T单元坐标(zubio)转换矩阵同理：0000100000000100000000000000可缩写成：写成矩阵(j zhn)形式10-3 整体坐标下的单元刚度(n d)矩阵第44页/共116页第四十五页，共116页。T单元坐标转换(zhunhun)矩阵；0000100000000100000000000000T=其中(qzhng)：是一正交矩阵(j zhn),T-1=TT。10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第45页/共116页第四十六页，共116页。整体坐标系中的单元(dnyun)刚度矩阵局部(jb)坐标下的单元刚度方程：将、式代入式，有：与 比较，令：杆端力、杆端位移
30、局部坐标(zubio)和整体坐标(zubio)的关系式：等式两边前乘 ，得：10-3 整体坐标下的整体坐标下的单元刚度矩阵第46页/共116页第四十七页，共116页。与 同阶，性质类似：一般单元的 是奇异矩阵。是对称矩阵。表示在整体坐标系第j个杆端位移分量=1时引 起的第i个杆端力。整体坐标(zubio)下的单元刚度矩阵：10-3 整体(zhngt)坐标下的单元刚度矩阵第47页/共116页第四十八页，共116页。计算计算(j sun)步骤：步骤：1）对每个结点(ji din)（包括支座结点(ji din)）用先处理法或后处理法进行编号；对每个单元进行编号；对每个单元分别建立局部坐标；对结构建立
31、一套整体坐标。2）对每个单元按式写出局部坐标(zubio)下的单元刚度矩阵。3）对每个单元按式写出坐标转换矩阵。4）对每个单元按式求出整体坐标下的单元刚度矩阵。10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵第48页/共116页第四十九页，共116页。例1：求图示结构各单元(dnyun)的整体刚度矩阵，杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。解：1）编号(bin ho)、建立坐标如图所示。1231,2,30,0,00,0,4yx2）写出各单元局部(jb)坐标下的刚度矩阵。10-3 整体坐标下的单元刚度矩阵单元刚度矩阵第49页/共116页第五十页，共116页。3）写出各单元(dnyun
32、)整体坐标下的刚度矩阵 单元的局部坐标与整体坐标一致，因此没有必要转换，即：kk单元：=900，转换矩阵为：T113556223446xy10-3 整体坐标(zubio)下的单元刚度矩阵第50页/共116页第五十一页，共116页。kkTT1 2 3 0 0 01 2 3 0 0 0k10 4122110-3 整体坐标下的单元刚度(n d)矩阵第51页/共116页第五十二页，共116页。例2：求整体坐标(zubio)下的单元刚度矩阵A=0.5m2,I=1/24m4,E=3107Mpa。yx1231,2,30,0,00,0,06m8m6m解：编号(bin ho)建立坐标如图所示。10-3 整体(z
33、hngt)坐标下的单元刚度矩阵第52页/共116页第五十三页，共116页。kk由于单元的局部坐标与整体(zhngt)坐标一致，因此：10-3 整体(zhngt)坐标下的单元刚度矩阵第53页/共116页第五十四页，共116页。单元：=36.870转换(zhunhun)矩阵为：T10-3 整体坐标(zubio)下的单元刚度矩阵第54页/共116页第五十五页，共116页。kTTk10-3 10-3 整体整体(zhngt)(zhngt)坐标下的单元刚度矩阵坐标下的单元刚度矩阵第55页/共116页第五十六页，共116页。123426123456xy10-3 10-3 整体坐标下的单元刚度整体坐标下的单元
34、刚度(n d)(n d)矩阵矩阵第56页/共116页第五十七页，共116页。1、编号、建立坐标如图所示。2、单元刚度矩阵（局部(jb)坐标与整体坐标是一致的）。M1M3M2i1i213210-4 10-4 连续梁的整体连续梁的整体(zhngt)(zhngt)刚度矩阵刚度矩阵重做一下概述(i sh)中的例题：3、位移法方程整体刚度方程这是目前会做的第57页/共116页第五十八页，共116页。由前面得到(d do)的位移法方程：10-4 连续(linx)梁的整体刚度矩阵写成矩阵(j zhn)形式：可以缩写成：整体刚度方程第58页/共116页第五十九页，共116页。10-4 连续梁的整体(zhngt
35、)刚度矩阵整体刚度(n d)方程：其中(qzhng)：整体刚度矩阵结构位移列阵结构荷载列阵本节中主要讨论连续梁的整体刚度矩阵。1 2 3 12312212233第59页/共116页第六十页，共116页。整体刚度矩阵形成整体刚度矩阵形成整体刚度矩阵形成整体刚度矩阵形成(xngchng)(xngchng)步骤：步骤：步骤：步骤：n n把单元的定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上；把单元的定位向量标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上；n n把单元刚度矩阵中已知支座位移把单元刚度矩阵中已知支座位移(wiy)(wiy)为零的行和列为零的行和列划去；划去；n n整体刚度矩阵整体刚度矩阵KK的阶数等于结构未
36、知量数，若未知量的阶数等于结构未知量数，若未知量为为n n，KK就是就是nnnn的方阵；的方阵；n n把各单元刚度矩阵把各单元刚度矩阵keke按定位向量对入座于整体刚度矩按定位向量对入座于整体刚度矩阵，形成阵，形成KK。10-4 连续(linx)梁的整体刚度矩阵第60页/共116页第六十一页，共116页。例1：2）单元刚度(n d)矩阵1234510-4 连续梁的整体刚度(n d)矩阵解：1）编号(bin ho)及建立坐标123456i1i5i4i3i21 2122 3233 4344 5455 656第61页/共116页第六十二页，共116页。3）整体刚度(n d)矩阵 2 3 4 5 6
37、2 3 4 5 64i1+4i22i22i24i2+4i32i32i34i3+4i42i42i44i4+4i52i52i54i510-4 连续梁的整体(zhngt)刚度矩阵000000000000第62页/共116页第六十三页，共116页。6EI1L24EI1L12EI1L3-6EI1L22EI1L-12EI1L36EI1L26EI1L26EI1L24EI1L2EI1L-6EI1L212EI1L3-6EI1L2-6EI1L2-12EI1L3例2：单元刚度(n d)矩阵：121230,00,12,00 0 0 1 0001=121210-4 连续梁的整体(zhngt)刚度矩阵第63页/共116页
38、第六十四页，共116页。整体刚度(n d)矩阵：6EI2L24EI2L12EI2L3-6EI2L22EI2L-12EI2L36EI2L26EI2L26EI2L24EI2L2EI2L-6EI2L212EI2L3-6EI2L2-6EI2L2-12EI2L3=0 1 2 0 01203223=10-4 连续(linx)梁的整体刚度矩阵4EI1L4EI2L-6EI2L212EI2L3-6EI2L2+1221第64页/共116页第六十五页，共116页。10-5 10-5 刚架的整体刚度刚架的整体刚度(n(n d)d)矩阵矩阵 刚架的整体刚度矩阵(j zhn)一定求解方法与连续梁的基本相同，步骤如下：1）
39、编号、建立坐标。2）写出局部坐标下的单元刚度矩阵。3）把局部坐标下的单元刚度矩阵转换成整体坐标下的。4）把单元定位向量(xingling)标在整体坐标下的单元刚度矩阵边上，并划去已知支座位移等于零的行和列。5）按定位向量(xingling)号用对号入座的方法集合成整体刚度矩阵。第65页/共116页第六十六页，共116页。例1：求图示结构各单元(dnyun)的整体刚度矩阵，杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。解：1）编号、建立(jinl)坐标如图所示。1231,2,30,0,00,0,4yx2）写出各单元(dnyun)局部坐标下的刚度矩阵。10-5 10-5 刚架的整
40、体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵刚架的整体刚度矩阵第66页/共116页第六十七页，共116页。1231,2,30,0,00,0,4yx1 2 3 0 0 4123004131 3104300 0 0 0 0 12 30 30 0 30 100 50 0 30 50 1001041 2 3 4123410-5 10-5 刚架的整体刚度刚架的整体刚度(n d)(n d)矩阵矩阵第67页/共116页第六十八页，共116页。kkTT1 2 3 0 0 01 2 3 0 0 01221k10 410-5 10-5 刚架的整体刚架的整体(zhngt)(zhngt)刚度矩阵刚度矩阵第68页/共
41、116页第六十九页，共116页。1 2 3 1 2 3k10 4 12 0 30 0 300 030 0 100拼装整体(zhngt)刚度矩阵：K10 4300 0 0 0 0 12 30 30 0 30 100 50 0 30 50 1001 2 3 41234+100+12-30+300-3010-5 10-5 刚架的整体刚架的整体(zhngt)(zhngt)刚度矩阵刚度矩阵第69页/共116页第七十页，共116页。整体整体(zhngt)(zhngt)刚度矩阵的特点：刚度矩阵的特点：1 1）整体刚度系数（）整体刚度系数（ki jki j）的意义）的意义 表表示示当当第第j j个个结结点点位
42、位移移分分量量1=11=1（其其它它结结点点位位移移分分量量为为零零）时时所产生的第所产生的第i i个结点力个结点力FiFi；2 2）整体刚度是对称）整体刚度是对称(duchn)(duchn)矩阵（反力互等定理）；矩阵（反力互等定理）；3 3）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵（先处理法，已考虑约束条件）；）整体刚度矩阵是满秩非奇异矩阵（先处理法，已考虑约束条件）；4 4）整整体体刚刚度度矩矩阵阵是是稀稀疏疏、带带状状矩矩阵阵（有有许许多多零零元元素素，且且非非零零元元素素都都分分布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。布在以主对角线为中心的倾斜带状区城内）。10-5 刚架的整体(zhngt)刚度矩
43、阵第70页/共116页第七十一页，共116页。例例2 2：图示有中间：图示有中间(zhngjin)(zhngjin)铰刚架，求其整体刚度矩铰刚架，求其整体刚度矩阵。阵。10-5 10-5 刚架的整体刚度刚架的整体刚度(n(n d)d)矩阵矩阵1421,2,3yx杆长5m,A=0.5m2,I=1/24m4,E=3104Mpa。34,5,64,5,70,0,00,0,05解：1）编号(bin ho)、建立坐标2）整体坐标下的单元刚度矩阵104300 0 0 -300 0 0 0 12 30 0 -12 30 0 30 100 0 -30 50-300 0 0 300 0 0 0 -12 -30 0
44、 12 -30 0 30 50 0 -30 1001 2 3 4 5 6 12 3 4 5 6 1122第71页/共116页第七十二页，共116页。10-5 刚架的整体(zhngt)刚度矩阵 12 0 -30 -12 0 -30 0 300 0 0 -300 0-30 0 100 30 0 50 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0-30 0 50 30 0 1001 2 3 0 0 0 12 3 0 0 0 1144104第72页/共116页第七十三页，共116页。10-5 10-5 刚架的整体刚度刚架的整体刚度(n(n d)d)矩阵矩阵 12 0 -30 -1
45、2 0 -30 0 300 0 0 -300 0-30 0 100 30 0 50 -12 0 30 12 0 30 0 -300 0 0 300 0-30 0 50 30 0 1004 5 7 0 0 0 45 7 0 0 0 3355104第73页/共116页第七十四页，共116页。10-5 刚架的整体(zhngt)刚度矩阵 1 2 3 4 5 6 7K300+12 0 0-30 -300 0 0 0 0 12+300 30 0 -12 30 0 0-30 30 100+100 0 -30 50 0-300 0 0 300+12 0 0 -30 0 -12 -30 0 12+300 -30
46、 0 0 30 50 0 -30 100 0 0 0 0 -30 0 0 10010 41234567第74页/共116页第七十五页，共116页。10-6 荷载(hzi)列阵把位移法方程把位移法方程(fngchng)(fngchng)写成矩阵形式：写成矩阵形式：-结点荷载列阵一列n行，n未知量的个数，由作用在结点上的集中力组成，按编号的顺序及 的顺序由上而下排列，若某方向上没有集中力就填0。-等效结点荷载列阵-整体(zhngt)刚度方程其中 F -荷载列阵 荷载列阵通常有两部分组成:1）结点荷载列阵第75页/共116页第七十六页，共116页。10-6 荷载(hzi)列阵例：例：FpMFpx12
47、453yFp2MFp1x1234y1,2,34,5,60,0,00,0,01,2,34,5,64,5,70,0,00,0,0第76页/共116页第七十七页，共116页。由节间荷载(hzi)组成：例：（a）内力=（b）内力+（c）内力（b）内力：固端力可查表（c）内力：用矩阵(j zhn)位移法求解2）等效结点荷载列阵 Fp原结构(jigu)（a）FpFp（b）（c）=+等效结点荷载10-6 10-6 荷载列阵第77页/共116页第七十八页，共116页。把所有有结点位移的地方用附加(fji)刚臂或链杆固定起来，求出这些刚臂和链杆中的反力，把反力反向的加在结点上，即为等效结点荷载。等效结点荷载求解
48、方法：=+FpqqFp1320,0,00,0,01,2,3FPe1FPe2FPe31320,0,00,0,01,2,310-6 10-6 荷载荷载(hzi)(hzi)列阵列阵第78页/共116页第七十九页，共116页。qFp132取出“1”号结点(ji din)qL2qL212FP2FPL8FP2qL2qL212FPL8132FP2qL2qL212FPL8等效结点(ji din)荷载 下一步(y b)的工作是如何把以上的计算过程用矩阵形式来表示。10-6 荷载列阵荷载列阵xy第79页/共116页第八十页，共116页。qFp132 取、单元，求出固端力，并按局部坐标写成矩阵形式，称为(chn w
49、i)局部坐标下的单元固端力列阵。qqL2qL2qL212qL2120FP0qL2qL212qL2qL212=FPFP2FPL8FP2FPL80FP0=FP2FPL8FP2FPL810-6 荷载(hzi)列阵第80页/共116页第八十一页，共116页。把局部坐标下的单元固端力列阵(li zhn)转换成整体坐标下的，并反号，称为整体坐标下的单元固端力列阵(li zhn)。FP=TTFP单元：=900，转换矩阵为：TFP00=FP2FPL8FP2FPL8FPFP=10-6 10-6 荷载荷载(hzi)(hzi)列阵列阵第81页/共116页第八十二页，共116页。把定位向量(xingling)标在整体
50、坐标下的单元固端力列阵边上。FP00=FP2FPL8FP2FPL80FP0qL2qL212qL212=qL210003221000310-6 荷载(hzi)列阵第82页/共116页第八十三页，共116页。按对号入座(du ho r zu)的方式，求出等效结点荷载列阵。1320+0FPL8FP2+qL2qL212P=1）求出局部(jb)坐标下的单元固端力列阵；2）求出整体(zhngt)坐标下的单元固端力列阵；3）按定位向量形成等效结点荷载列阵。等效结点荷载的求解步骤：10-6 荷载列阵第83页/共116页第八十四页，共116页。例：求图示结构的等效(dn xio)结点荷载P。解:1）求单元(dn