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1、会计学1第二第二 连续时间系统连续时间系统(xtng)的时域分析的时域分析第一页，共157页。n n线性连续(linx)时间系统的分析，归结为建立并且求解线性常系数微分方程，求解微分方程通常有两种方法：一是直接求解，因涉及的函数变量都是时间t，所以称时域分析法。二是变换的方法，即将时间变量变换为其他变量，所以也称变换域分析法。n n这一章我们主要讨论时域分析法，考虑下面的RLC串联电路：2.1 引言引言(ynyn)第1页/共157页第二页，共157页。n n列回路列回路(hul)(hul)方程可得方程可得:或第2页/共157页第三页，共157页。对上述方程的三种常见解法：一、古典解法 这种形式
2、的方程其解法在高等数学中已学过。求解过程可分为三步：1、求出齐次方程的通解。（自由响应）2、根据激励函数的具体形式求特解。（受迫响应）3、根据初始条件求待定系数。这种方法对于简单的正弦(zhngxin)函数或指数函数、直流激励时求解比较简单，但对于一些复杂的激励信号求解就比较困难了。第3页/共157页第四页，共157页。二、拉普拉斯变换法二、拉普拉斯变换法 这种方法这种方法(fngf)可避免可避免求解微分方程（将求解微分方求解微分方程（将求解微分方程转化为求解代数方程），但程转化为求解代数方程），但需正反两次变换。需正反两次变换。第4页/共157页第五页，共157页。三、叠加积分法这种方法将全
3、响应分为(fn wi)零输入响应和零状态响应：r(t)=rzi(t)+rzs(t)初态0系系 统统第5页/共157页第六页，共157页。初态=0系系 统统初态=0系系 统统初态=0系系 统统第6页/共157页第七页，共157页。1、求解齐次方程，根据初始状态求出待定系数得rzi(t)；2、将e(t)分解为基本函数(hnsh)，分别求解系统对这些基本函数(hnsh)的响应；3、根据线性系统叠加原理将它们相加得rzs(t)；4、r(t)=rzi(t)+rzs(t)。第2步的分解一般有两种方法：1、分解为脉冲信号；2、分解为阶梯信号。第7页/共157页第八页，共157页。当分解到无限小的情况时，第3
4、步的求和变为积分，分解为脉冲信号得到卷积积分，分解为阶梯信号得到杜阿美尔积分。用得较为普遍(pbin)的还是卷积积分，虽然有时卷积比较复杂，难于手工计算，但可用计算机进行数值计算。分解为脉冲分解为阶梯第8页/共157页第九页，共157页。n n对于(duy)n阶线性非时变系统其输入输出方程为引入算子(sun z)则方程(fngchng)可改写为：2.2 系统方程的算子表示法系统方程的算子表示法第9页/共157页第十页，共157页。进一步可写成：第10页/共157页第十一页，共157页。p就不能随意(su y)消去，除非x(-)=0，另外由 px=py 也不能推出 x=y 这是因为：第11页/共
5、157页第十二页，共157页。结论：结论：1、代数量、代数量(shling)的运算的运算规则对于算子符号一般也适规则对于算子符号一般也适用，只是在分子分母或等式用，只是在分子分母或等式两边的相同算子符号不能随两边的相同算子符号不能随意约去。意约去。2、它表达的是一个运算过程，、它表达的是一个运算过程，应把它作为整体看待，书写应把它作为整体看待，书写时也应把它写在变量的左边，时也应把它写在变量的左边，表示该运算过程作用于某个表示该运算过程作用于某个变量。变量。3、算子形式的方程实质上还、算子形式的方程实质上还是微分方程。是微分方程。求零输入响应求零输入响应=解齐次方程解齐次方程 D(p)r(t)
6、=0 求零状态响应求零状态响应=解方程解方程 r(t)=H(p)e(t)下面我们先看一个例子：下面我们先看一个例子：第12页/共157页第十三页，共157页。例：电路如图所示，写出i1(t),i2(t)的转移算子。解：直接(zhji)用算子符号列方程：第13页/共157页第十四页，共157页。第14页/共157页第十五页，共157页。第15页/共157页第十六页，共157页。第16页/共157页第十七页，共157页。讨论：1、在电路中有三个独立的储能元件为一个三阶系统，特征方程应为三次方程，即H(p)的分母多项式的最高次数应为三次。2、所以这类题目也可直接求解，最后通过核对电路的阶数来确定是否
7、能消去(xio q)分子分母中的公共因子。第17页/共157页第十八页，共157页。已知求零状态响应已知求零状态响应(xingyng)就是求解齐次就是求解齐次方程：方程：下面我们先看一阶、二阶下面我们先看一阶、二阶的简单情况，然后再推广的简单情况，然后再推广到一般情况。到一般情况。2.3 系统系统(xtng)的零输入响应的零输入响应第18页/共157页第十九页，共157页。其中的C为常数(chngsh)，需要系统的初始条件来确定。设初始条件为：t=0 时 r=r(0)第19页/共157页第二十页，共157页。一般(ybn)地，设初始条件为：t=t0 时 r=r(t0)第20页/共157页第二十
8、一页，共157页。显然r1(t)，r2(t)都满足原方程(fngchng)，所以解的一般形式可写为：第21页/共157页第二十二页，共157页。若t=0时的初始条件为 r(0),r(0)，代入上式得：解之便可得C1，C2 第22页/共157页第二十三页，共157页。对于一般(ybn)的n阶齐次方程 可设其特征方程 有n个根1,2 n 称特征根,也称为系统自然频率，或称为转移算子(sun z)H(p)的n个极点。下面分根的三种不同情况来讨论：第23页/共157页第二十四页，共157页。一、特征根为异实根算子方程写为：由前面的讨论可写出解的一般形式：若给定系统的n个初始条件：我们就可以确定其中的待
9、定常数C1，C2，Cn。将初始条件代入r(t)就得到一个线性方程组：第24页/共157页第二十五页，共157页。第25页/共157页第二十六页，共157页。二、特征根为共轭复根因为特征方程的系数(xsh)为实数，所以如果出现复根则必定成对出现。设特征根1，2为一对共轭复根，即1=+j，2=-j 则对应的解为：第26页/共157页第二十七页，共157页。所以特征(tzhng)根为一对共轭复根时解的一般形式写为：其中(qzhng)的C1，C2同样可由初始条件求出。第27页/共157页第二十八页，共157页。三、特征根为k阶重根设特征根为k阶重根，这种情况说明特征多项式D(p)中有因子(p-)k，根
10、为其它的情况前面已作出讨论(toln)，所以我们只要求解方程(p-)kr=0即可。该方程的解为：常数(chngsh)C1，C2，Ck同样可由初始条件求出。第28页/共157页第二十九页，共157页。例 如图RLC串联谐振电路，已知 L=1H,C=1F,R=2.5 初始条件为：1、i(0)=0 A,i(0)=1 A/s2、i(0)=0 A,uc(0)=10 V分别求上述两种情况下回路电流的零输入(shr)响应。第29页/共157页第三十页，共157页。解：前面(qin mian)我们已经列出了它的微分方程写成算子(sun z)形式：第30页/共157页第三十一页，共157页。1、初始条件为i(0
11、)=0 A,i(0)=1 A/s时第31页/共157页第三十二页，共157页。2、初始条件为i(0)=0 A,uc(0)=10V时初始条件uc(0)=10 V不能直接用于确定常数C1,C2，所以(suy)必须转化为i(0)。第32页/共157页第三十三页，共157页。代入零输入响应(xingyng)的一般形式得：第33页/共157页第三十四页，共157页。例 上例中将电阻改为R=2 初始条仍件为i(0)=0 A,i(0)=1 A/s求回路电流(dinli)的零输入响应。解:第34页/共157页第三十五页，共157页。零输入响应小结：零输入响应小结：求解零输入响应就是解齐次方求解零输入响应就是解
12、齐次方程程(fngchng)D(p)r(t)=0，可由特征方程可由特征方程(fngchng)D(p)=0根的三种根的三种不同情况写出解的一般形式。不同情况写出解的一般形式。第35页/共157页第三十六页，共157页。对于复杂的系统其特征根中可能既有异实根又有重根还可能有共轭复根(f n)，则系统零输入响应的一般形式我们可以根据根的不同情况分别写出，例如系统的特征根中1，2为两个不同的实根，3=+j，4=-j为一对共轭复根(f n)，5为三阶重根则系统零输入响应的一般形式写为：第36页/共157页第三十七页，共157页。系统的全响应是零输入响应和零状态响应之和，上一节讨论了零输入响应的求法，后面
13、几节将讨论零状态响应的求法。本节先介绍几个很有用的信号函数，由于这些信号在实际中并不存在，只是数学上对某些信号的一种抽象(chuxing)和理想化，所以称为奇异函数。2.4 奇异奇异(qy)函数函数第37页/共157页第三十八页，共157页。一、单位一、单位(dnwi)阶跃函数阶跃函数(t)单 位(dnwi)阶跃函数延迟(ynch)t0的单位阶跃函数任意一个函数f(t)乘(t)以后，其乘积在阶跃之前为0，之后则保持f(t)不变。第38页/共157页第三十九页，共157页。二、单位二、单位(dnwi)冲冲激函数激函数(t)第39页/共157页第四十页，共157页。单位冲激函数(t)除了t=0外其
14、余均为0。(t)函数在t=0处的值没有定义，但其面积为1，即：，其面积称为单位冲激函数的冲激强度。在图象上用括号括起来，表示冲激强度而不是函数的幅度；其幅度有时也将它看成(kn chn)无穷大，在图上用箭头表示。第40页/共157页第四十一页，共157页。单位(dnwi)冲激函数的几个性质：第41页/共157页第四十二页，共157页。(t)和(t)这两个奇异函数特别(tbi)重要，要求重点掌握。有了这二个函数对一些分段表示的函数表达起来就比较方便，另外对一些不连续的函数也可以求导数了。第42页/共157页第四十三页，共157页。例如(lr)：如图所示的函数可分段表示为：第43页/共157页第四
15、十四页，共157页。实际上对于这种函数的求导，通过图形(txng)来求更方便。在函数连续的部分用常规的求导方法求，而在函数有跳变的地方则有一个冲激存在，冲激的方向取决于向上还是向下跳变，冲激的强度则决于它的跳跃量。第44页/共157页第四十五页，共157页。三、单位三、单位(dnwi)斜变函数斜变函数R(t)第45页/共157页第四十六页，共157页。四、门函数四、门函数(hnsh)我们把幅度为1宽度(kund)为的对称矩形脉冲信号称为门函数，记为G(t)，下标表示其宽度(kund)。则宽度(kund)为幅度为1/的门函数记为1/G(t)。第46页/共157页第四十七页，共157页。五、单位五
16、、单位(dnwi)冲激冲激偶偶(t)我们(w men)注意到门函数1/G(t)，不管取何值它的面积总是1，当变小时它的幅度增大，但面积保持不变。所以，当0时1/G(t)(t)，而1/G(t)(t)第47页/共157页第四十八页，共157页。第48页/共157页第四十九页，共157页。(t)为一正一负两个冲激，因此称单位冲激偶，带括号(kuho)的1标在中间，它并不表示冲激的强度，而表示单位冲激函数的导数。冲激(chn j)偶有下面的性质：第49页/共157页第五十页，共157页。一、周期脉冲信号表示(biosh)为奇异函数之和1、有始周期矩形脉冲2.5 信号信号(xnho)的时域分解的时域分解
17、第50页/共157页第五十一页，共157页。第51页/共157页第五十二页，共157页。第52页/共157页第五十三页，共157页。2、有有始始周周期期(zhuq)锯齿形脉冲信号锯齿形脉冲信号第53页/共157页第五十四页，共157页。第54页/共157页第五十五页，共157页。第55页/共157页第五十六页，共157页。二、任意二、任意(rny)信号分解信号分解为奇异函数为奇异函数1、任意、任意(rny)信号表示为信号表示为阶跃的积分阶跃的积分 第56页/共157页第五十七页，共157页。当t0时为无穷小量，用d表示(biosh)；kt连续变量，记为；求和积分；近似相等相等。第57页/共15
18、7页第五十八页，共157页。2、任意信号(xnho)表示为冲激函数的积分 第58页/共157页第五十九页，共157页。当t0时为无穷小量，用d表示；kt连续变量，记为；求和积分(jfn)；近似相等相等。第59页/共157页第六十页，共157页。第60页/共157页第六十一页，共157页。一、单位阶跃响应一、单位阶跃响应(xingyng)与单位冲激响应与单位冲激响应(xingyng)系统对单位阶跃函数系统对单位阶跃函数(t)的零状态响应的零状态响应(xingyng)称称单位阶跃响应单位阶跃响应(xingyng)，用用r(t)表示；表示；系统对单位冲激函数系统对单位冲激函数(t)的零状态响应的零状
19、态响应(xingyng)称称单位冲激响应单位冲激响应(xingyng)，用用h(t)表示。表示。2.6 阶跃响应阶跃响应(xingyng)与冲激与冲激响应响应(xingyng)第61页/共157页第六十二页，共157页。对于(duy)线性非时变系统有：第62页/共157页第六十三页，共157页。所以对于线性非时变系统(xtng)，还有如下的结论：若：e(t)r(t)则：e(t)r(t)第63页/共157页第六十四页，共157页。可见r(t)，h(t)只要求出其中之一，另一个也就相与地确定下来了。在实际的系统分析中更重要的是单位冲激响应h(t)。所以，下面我们主要(zhyo)讨论单位冲激响应h(
20、t)的求法。第64页/共157页第六十五页，共157页。二、单位冲激响应h(t)的求法 h(t)是系统在单位冲激函数(t)激励下的零状态响应。所以当系统的激励为(t)时，输入输出算子(sun z)方程写为：第65页/共157页第六十六页，共157页。1、由转移、由转移(zhuny)算算子子H(p)求求h(t)设其特征方程有n根1,2 n它们为特征根，也称为转移算子H(p)的n个极点，或叫系统(xtng)自然频率。下面要分几种不同情况来讨论。第66页/共157页第六十七页，共157页。（1）H(p)有n个单极点1,2 n且nm则H(p)可写成部分(b fen)分式的形式 第67页/共157页第六
21、十八页，共157页。第68页/共157页第六十九页，共157页。第69页/共157页第七十页，共157页。（2）H(p)有n个单极点(jdin)1,2 n 但nm这时我们可以把H(p)化为一个多项式和一个真分式(fnsh)之和，然后将真分式(fnsh)写成部分分式(fnsh)的形式。即：第70页/共157页第七十一页，共157页。第71页/共157页第七十二页，共157页。（3）H(p)有两个(lin)互为共轭的极点1=+j，2=-j第72页/共157页第七十三页，共157页。（4）H(p)有k阶极点(jdin)第73页/共157页第七十四页，共157页。第74页/共157页第七十五页，共15
22、7页。例：已知系统(xtng)的微分方程为：求单位冲激响应h(t)。解：1、求转移(zhuny)算子H(p)第75页/共157页第七十六页，共157页。2、将H(p)分解(fnji)第76页/共157页第七十七页，共157页。例：已知系统(xtng)的微分方程为:求单位(dnwi)冲激响应h(t)。第77页/共157页第七十八页，共157页。解：解：解：解：第78页/共157页第七十九页，共157页。例 如图RLC串联谐振(xizhn)电路，已知 L=1H,C=1F,R=1,e(t)=(t)。求回路电流i(t)和电感上电压uL(t)的零状态响应。解：1、由算子(sun z)的概念可直接写出关于
23、电流i(t)的H(p)第79页/共157页第八十页，共157页。第80页/共157页第八十一页，共157页。2、由算子的概念可直接(zhji)写出关于电压uL(t)的H(p)第81页/共157页第八十二页，共157页。第82页/共157页第八十三页，共157页。第83页/共157页第八十四页，共157页。讨论：在电路理论中往往强调电感中的电流和电容上的电压不能突变。在本例中系统的初始状态为0，即电感中的初始电流应为0，但在t=0时电感中的电流发生了突变。原因是电路所受的激励为(t)，这是一种理想的电源，在实际中并不存在，它的幅度为无穷大。所以，当(t)在t=0时作用于系统的瞬间就使电感中的电流
24、达到某一数值，电流发生了突变，在响应的图形中我们同时画出了电感两端的电压，可以看到在t=0时有一冲激(chn j)电压存在，正是这个冲激(chn j)电压使得电流发生的突变；电容上的电压也发生了突变。第84页/共157页第八十五页，共157页。例：如图RC串联电路受冲激电压激励，求回路电流(dinli)i(t)和电容上电压uc(t)的零状态响应。解：关于(guny)电流i(t)的H(p)第85页/共157页第八十六页，共157页。关于(guny)电压uc(t)的H(p)uc(t)也可以(ky)由i(t)的积分来求：第86页/共157页第八十七页，共157页。第87页/共157页第八十八页，共1
25、57页。由由由由H(p)H(p)求单位求单位求单位求单位(dnwi)(dnwi)冲激响冲激响冲激响冲激响应小结：应小结：应小结：应小结：本质(bnzh)上求单位冲激响应就是求解微分方程：1、H(p)有n个单极点(jdin)1,2 n且nm其中 Ki i=1,2,n 为部分分式系数第88页/共157页第八十九页，共157页。2、H(p)有n个单极点(jdin)1,2 n但nm其中 Ki i=1,2,n 为部分分式(fnsh)系数,C0,C1,Cm-n为多项式系数。第89页/共157页第九十页，共157页。3、H(p)有两个(lin)互为共轭的极点1=+j，2=-j其中 KR为部分分式(fnsh)
26、系数的实部，KI为部分分式(fnsh)系数的虚部。4、H(p)有k阶极点(jdin)其中C1,C2,Ck为部分分式系数。第90页/共157页第九十一页，共157页。2、用求零输入、用求零输入响应响应(xingyng)的方法求的方法求h(t)冲激响应也与方程的特征根有关，而且也可以分为冲激响应也与方程的特征根有关，而且也可以分为三种不同的情况。比较冲激响应与零输入响应的公式发三种不同的情况。比较冲激响应与零输入响应的公式发现在现在nmnm时它们的形式时它们的形式(xngsh)(xngsh)是完全一样的，所不同是完全一样的，所不同的是零输入响应中的系数是由系统的初始状态决定的，的是零输入响应中的系
27、数是由系统的初始状态决定的，而冲激响应中的系数是由部分分式的系数决定的。而冲激响应中的系数是由部分分式的系数决定的。其实这种现象并不是偶然的。因为，冲激响应是激其实这种现象并不是偶然的。因为，冲激响应是激励为励为(t)(t)时的系统响应。在时的系统响应。在t=0t=0时作用于系统，所以在时作用于系统，所以在t0t0时系统的激励已为时系统的激励已为0 0，因此我们完全可以用前面讲过，因此我们完全可以用前面讲过的求零输入响应的方法求的求零输入响应的方法求h(t)h(t)。关键问题是要求出。关键问题是要求出(t)(t)在在t=0t=0时作用于系统后在时作用于系统后在0+0+时刻系统留下的初始状态。时
28、刻系统留下的初始状态。第91页/共157页第九十二页，共157页。一个n阶的算子方程(fngchng)但不包含激励的导数：当e(t)=(t)时响应就是h(t)写成微分方程(wi fn fn chn)的形式为：为使等式成立方程(fngchng)的左边应有冲激存在，且只可能在第一项中，而其后的各项中不可能存在冲激，否则方程(fngchng)的左边将出现冲激的导数从而等式不成立。第92页/共157页第九十三页，共157页。对上式两边(lingbin)求积分，积分区间为0-到0+上式中第一项中有冲激，积分后为阶跃在t=0处不连续，而其它各项积分后为t的正幂次函数在t=0处连续，并考虑到系统(xtng)
29、在未加激励的0 时刻初始状态为0 即：第93页/共157页第九十四页，共157页。所以我们得到(d do)系统在0+时刻的n个初始条件为：第94页/共157页第九十五页，共157页。这样求h(t)就没有问题了，这种方法的关键是确定系统在0+时刻的初始条件。对于更一般的情况方程(fngchng)中包含激励的导数。那么只要先求出方程(fngchng)中不含激励导数时的冲激响应，将它记为h0(t)，然后设 根据(gnj)线性系统的叠加性可知冲激响应 第95页/共157页第九十六页，共157页。例：设系统(xtng)的微分方程为：求h(t)解一：由H(p)求解二：由求零输入响应(xingyng)的方法
30、求第96页/共157页第九十七页，共157页。第97页/共157页第九十八页，共157页。第98页/共157页第九十九页，共157页。3、用待定系数(xsh)法求h(t)由于冲激响应与零输入响应在nm时它们的形式是完全一样的，所以我们完全可以根据特征方程的根来写出h(t)的一般形式，如果nm 只要在h(t)中加入(t)及其导数(do sh)就可以了。然后代入原微分方程待定系数。第99页/共157页第一百页，共157页。例：设系统(xtng)的微分方程为：解：特征根为二阶重根，且nm 所以(suy)h(t)的一般形式可写为：第100页/共157页第一百零一页，共157页。代入原方程(fngchn
31、g)得：第101页/共157页第一百零二页，共157页。例2、设系统(xtng)的微分方程为：求h(t)。特征(tzhng)根为二阶重根，但n=m 所以h(t)的一般形式可写为：再用上例的方法(fngf)待定系数解：第102页/共157页第一百零三页，共157页。单位(dnwi)冲激响应小结：1、由转移(zhuny)算子H(p)求h(t)2、用求零输入响应(xingyng)的方法求h(t)3、用待定系数法求h(t)第103页/共157页第一百零四页，共157页。所以对于线性非时变(sh bin)系统有：称卷积积分(jfn)2.7 叠加积分(jfn)第104页/共157页第一百零五页，共157页
32、。用*表示两个函数的卷积运算，所以上式可写为r(t)=e(t)*h(t)；更一般地对于任意两个函数f1(t)和f2(t)，它们(t men)的卷积运算定义为：第105页/共157页第一百零六页，共157页。一、卷积的计算(j sun)过程 如果我们将f1(t)和f2(t)的卷积结果记为g(t)，则卷积可写成：由卷积的定义式可以看出(kn ch)，卷积的过程可以分为三个步骤：1、将f1(t)和f2(t)两个函数的变量由t换成；2、将f2()反折并移动；3、将两个函数相乘并求积分。2.8 卷积及其性质卷积及其性质(xngzh)第106页/共157页第一百零七页，共157页。下面我们以下(yxi)图
33、两个有始函数来说明卷积的计算过程：f1(t)tf2(t)tf2()f1()1、将t换成第107页/共157页第一百零八页，共157页。2、将f2()反折并移动(ydng)第108页/共157页第一百零九页，共157页。3、将两个函数(hnsh)相乘并求积分第109页/共157页第一百一十页，共157页。第110页/共157页第一百一十一页，共157页。因此，对于两个有始的函数(hnsh)卷积，则可简单地写为：第111页/共157页第一百一十二页，共157页。例1：计算(j sun)矩形脉冲和指数函数(zh sh hn sh)的卷积解：作图第112页/共157页第一百一十三页，共157页。2、1
34、、第113页/共157页第一百一十四页，共157页。3、第114页/共157页第一百一十五页，共157页。最后(zuhu)，卷积的结果可用图形表示为：第115页/共157页第一百一十六页，共157页。或用数学(shxu)表达式表示为：这种完全用作图的方法确定积分限计算卷积的方法称图解法。这是要求同学重点掌握的。我们也可以将函数直接代入公式计算。这种方法虽然简单，但对卷积的计算过程的理解没有帮助，所以这种方法不推荐(tujin)。例如上例的卷积可计算如下：第116页/共157页第一百一十七页，共157页。第117页/共157页第一百一十八页，共157页。从上面计算卷积的过程可以看出，计算卷积的实
35、质是二个具体化：1、函数形式(xngsh)的具体化；2、积分限的具体化。第118页/共157页第一百一十九页，共157页。二、卷积的性质(xngzh)设有三个函数u(t),v(t),w(t)：1、交换律、分配律和结合律u(t)*v(t)=v(t)*u(t)u(t)*v(t)+w(t)=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)u(t)*v(t)*w(t)=u(t)*v(t)*w(t)第119页/共157页第一百二十页，共157页。交换律证明(zhngmng)：结合律证明(zhngmng)：第120页/共157页第一百二十一页，共157页。第121页/共157页第一百二十二页，共157页。例2：用交
36、换律重做前例(qinl)1第122页/共157页第一百二十三页，共157页。第123页/共157页第一百二十四页，共157页。第124页/共157页第一百二十五页，共157页。2、卷积后的微分、卷积后的微分(wi fn)两个函数(hnsh)卷积后的导数等于其中之一求导后与另一函数(hnsh)的卷积。证明(zhngmng)：第125页/共157页第一百二十六页，共157页。由交换律知：由这个(zh ge)性质得到的直接推论是：任何函数与(t)卷积相当于对函数求导：第126页/共157页第一百二十七页，共157页。3、卷积后的积分(jfn)两个函数卷积后的积分(jfn)等于其中之一求积分(jfn)
37、后与另一函数的卷积。第127页/共157页第一百二十八页，共157页。证明(zhngmng)：第128页/共157页第一百二十九页，共157页。由交换律知：由这个性质得到的直接推论是：任何(rnh)函数与(t)卷积相当于对函数求积分：第129页/共157页第一百三十页，共157页。4、两函数(hnsh)的卷积等于其中一个函数(hnsh)的微分和另一个函数(hnsh)的积分。由卷积后的微分(wi fn)和卷积后的积分不难证明：利用这个(zh ge)性质还可以简化卷积的计算。第130页/共157页第一百三十一页，共157页。5、函数(hnsh)延迟后的卷积证明(zhngmng)：第131页/共15
38、7页第一百三十二页，共157页。任意一个函数与(t)卷积等于它自己，即：f(t)*(t)=f(t)由此性质我们又可得出结论：任意一个函数与(t)的延迟(ynch)卷积等于函数本身作相应的延迟(ynch)，即：f(t)*(t-t0)=f(t-t0)第132页/共157页第一百三十三页，共157页。例3：利用(lyng)性质4、5重做例1解：第133页/共157页第一百三十四页，共157页。第134页/共157页第一百三十五页，共157页。6、相关卷积、相关卷积两个两个(lin)函数函数x(t)与与y(t)的相关定义为：的相关定义为：第135页/共157页第一百三十六页，共157页。所以(suy)
39、，两个函数x(t)与y(t)的相关也定义为：第136页/共157页第一百三十七页，共157页。如果两个相同的函数(hnsh)进行相关运算，则称自相关，记为Rxx(t)：相关函数反映(fnyng)了两个函数的相似程度。Rxx(0)为信号能量，且 Rxx(0)Rxx(t)。这是因为：第137页/共157页第一百三十八页，共157页。第138页/共157页第一百三十九页，共157页。例4 求两个(lin)相同的门函数的卷积g(t)。解：第139页/共157页第一百四十页，共157页。第140页/共157页第一百四十一页，共157页。第141页/共157页第一百四十二页，共157页。第142页/共15
40、7页第一百四十三页，共157页。我们将这个结果总结为：1、两个相同的门函数（对称的）的卷积是一个三角形；2、宽度增加一倍；3、最大值为两个相同的门函数重合时函数值之积再乘以门函数的宽度。这是一个典型例子，很重要，希望把它记住。这个结论以后可以作为(zuwi)一个定理使用。第143页/共157页第一百四十四页，共157页。前面已经指出计算卷积的实质是二个具体化：函数形式的具体化和积分限的具体化。其中积分限的具体化更重要(zhngyo)些。下面列出几种特殊的情况：第144页/共157页第一百四十五页，共157页。例5 RC串联电路(dinl)，及激励信号如图所示。其中R=0.5，C=2F电路(di
41、nl)初始状态为零，求响应电流i(t)。第145页/共157页第一百四十六页，共157页。解：在前面(qin mian)的例题中已求得，该电路的冲激响应为：激励(jl)电压可写为：第146页/共157页第一百四十七页，共157页。则由线性非时变系统(xtng)的定义：第147页/共157页第一百四十八页，共157页。第148页/共157页第一百四十九页，共157页。一、时域分析(fnx)小结2.9 线性系统响应(xingyng)的时域求解第149页/共157页第一百五十页，共157页。r(t)=rzi(t)+rzs(t)系统(xtng)物理模型系统(xtng)方程转移(zhuny)算子H(p)
42、冲激响应h(t)卷积积分零状态响应rzs(t)全响应r(t)阶跃响应r(t)杜阿美尔积分零输入响应rzi(t)初始状态激励e(t)第150页/共157页第一百五十一页，共157页。二、指数函数(zh sh hn sh)激励下的系统响应 第151页/共157页第一百五十二页，共157页。第一部分为零输入响应，第二(d r)部分则为零状态响应。系统的全响应中只包含1，2，n分量称自然频率分量；另外含有s0分量相应地称为激励频率分量。第152页/共157页第一百五十三页，共157页。如果(rgu)将上式写为：第一部分只包含自然频率分量，第二部分只包含激励(jl)频率分量。所以，第一部分称自然响应或自
43、由响应；第二部就称为受迫响应。对于一个稳定系统，系统的响应或最终趋于零或最终趋于一个常数。所以我们(w men)将系统的响应中最终趋于零的部分称瞬态响应；最终趋于一个常数的部分称稳态响应。第153页/共157页第一百五十四页，共157页。结论：1、系统的全响应可分为零输入响应（输入为零）和零状态响应（状态为零）；自然响应（只含系统自然频率）和受迫响应（只含激励频率）；瞬态响应（最终趋于零）和稳态响应（最终趋于一个常数）。2、指数函数激励通过线性非时变系统后仍保持原指数函数的形式。3、指数函数也是一种典型的基本(jbn)信号，今后还会看到一般的信号也可以分解为指数信号。第154页/共157页第一百五十五页，共157页。例：如图RC串联电路，已知R=1，C=1F，e(t)=(1+e-3t)(t)；电容上的初始电压uc(0-)=1V求电容上的响应电压uc(t)。解：直接(zhji)列算子方程 第155页/共157页第一百五十六页，共157页。由H(p)还可求得：第156页/共157页第一百五十七页，共157页。