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1、II.范希尔的几何思维水平起因 在在50年代的荷年代的荷兰兰，几何教学所面，几何教学所面临临的的问题问题是是很普遍的（很普遍的（Freudenthal,1958）。范希）。范希尔尔夫夫妇妇（Pierre Van Hiele&Dina Van Hiele）作）作为为荷荷兰兰一所中学的数学教一所中学的数学教师师，每天都，每天都亲亲身身经历经历着着这这些些问问题题。最。最让让他他们们感到困惑的是教材所呈感到困惑的是教材所呈现现的的问题问题或或作作业业所需要的所需要的语语言及言及专业专业知知识识常常超出了学生的常常超出了学生的思思维维水平，水平，这这使得他使得他们们开始关注皮开始关注皮亚亚杰的工作。杰
2、的工作。经过经过一段一段时间时间的研究，他的研究，他们们提出了几何思提出了几何思维维的五的五个水平。个水平。这这一成果最初一成果最初发发表在他表在他们们夫夫妇妇于于1957年年在在乌乌特勒克大学共同完成的的博士特勒克大学共同完成的的博士论论文上。文上。评价前前苏联苏联学者很快就注意到了范希学者很快就注意到了范希尔尔的思想，他的的思想，他的论论文文（1959）在）在1963年就由皮什卡年就由皮什卡罗罗（A.M.Pyshkalo）作了）作了详详尽的尽的报报道。道。10年之后，美国人才开始了解范希年之后，美国人才开始了解范希尔尔的工作。在的工作。在1974年召开的大西洋城年召开的大西洋城NCTM年会
3、上，芝加哥大学的威年会上，芝加哥大学的威兹兹普普（Isaak Wirszup）将范希）将范希尔尔的思想正式介的思想正式介绍给绍给了美国学者，了美国学者，并同并同时时介介绍绍了前了前苏联苏联几何教学的几何教学的“惊人惊人进进展展”。威。威兹兹普的普的报报告告后来以后来以“几何教学心理学中的一个重大突破几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发为标题发表在表在Martin 和和Bradbard主主编编的著作上（的著作上（Wirszup，1976）。）。与与此此同同时时，弗，弗赖赖登塔登塔尔尔也提供了思也提供了思维维水平在数学水平在数学归纳归纳法学法学习习中中的范例。他的范例。他发现发现，数学，数学归
4、纳实际归纳实际上也是沿着五个思上也是沿着五个思维维水平水平发发展的（展的（Freudenthal,1973,p123）。所有）。所有这这一些，使范希一些，使范希尔尔理理论论引起了全世界的广泛关注，并成引起了全世界的广泛关注，并成为为上世上世纪纪80年代几何教年代几何教学研究的一个学研究的一个热热点。点。水平的划分层层次次0视觉视觉(visuality)层层次次1分析分析(analysis)层层次次2非形式化的演非形式化的演绎绎(informal deduction)层层次次3形式的演形式的演绎绎(formal deduction)层层次次4严严密性密性(rigior)层次0视觉(visuali
5、ty)儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名称分析图形，也无法对图形做概括的论述.如：儿童可能会某个图形是三角形，因为它看起像一个三明治。层次1分析(analysis)儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也无法导出公式和使用正式的定义。如：儿童会知道三角形有三条边和三个角，但能解如果内
6、角愈大，则对边愈长的性质。层次2非形式化的演绎(informal deduction)儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。如：学生解了等腰三角形的性质后，他们会推出等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为等腰直角三角形较直角三角形多一些性质的限制。因此，学童能作一些非正式的说明但还能作系统性的证明.层次3形式的演绎 学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素”、“定
7、理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中的必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件；能写出一定理的逆定理，如平行四边形的对角线互相平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四边形。层次4严密性 在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何
8、与非欧氏几何系统的比较。水平的修正（Van Hiele，1986）1.直观水平（visual level）整体地认识几何对象。Fuys,geddes,Lovett和Tischler（1988）认为这一阶段是“学习者依据几何图形的外表来认识，命名，比较，和画出这些图形的时候，像三角形，角度，平行线”。2.描述水平（descriptive level）通过几何性质认识几何对象。在这一阶段学生按照图形的组成部分和这些组成部分之间的联系来分析图形。学生依据经验确立图形的性质和使用这些性质解决问题。3.理论水平（theoretical level）利用演绎推理证明几何关系。在描述阶段中由Murray（1
9、997）提出的概念网络图在这一阶段完整和稳定了。学生理解和接受了准确的定义，学生谈论形状时涉及到这些定义，学生理解图形内部和图形之间的联系。这一阶段学生能够运用“如果那么”思想，并由此发展逻辑推理能力。几何教学阶段 1.学前咨询(information)，教师和学生就学习对象进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语，并且帮助学生理解要学习的课题。学生提出问题，对课题的对象和运用的词汇做出观察，确定下一步的学习。2.引导定向(guided Orientation)，教师为学生仔细安排活动顺序，使学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构的特性。在这个阶段中，许多活动都是引起一个特定的反应的一步（
10、简单）作业。几何教学阶段3.阐明(explication)，通过前面的经验和教师最小程度的提示，学生明确了词汇的意义，表达自己对内在结构的看法。通过这一阶段，学 生 开 始 形 成 学 习 的 关 系 系 统。van Hiele（1984b）指出：在这个阶段的过程中，经验的获得取决于正确的语言符号和学生们在课堂上学习透过讨论去表达他们所观察到的结构之意见，老师只需注意这些讨论所使用的习惯措词。关连系统在这阶段就有一部份形成了几何教学阶段4.自由定向(free orientation)，在这个阶段，学生碰到多步作业或能以不同方式完成的作业。在寻找方法和解决问题过程中，学生获得了经验。通过自己确定
11、学习领域的方向，他们对学习对象之间的关系越来越明确。按照van Hiele（1984b）的观点：这个阶段是自由探索，调查的范围是大多数学生知道的，但学生仍需迅速地找到他的方向。几何教学阶段5.整合(integration)，学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，对象和关系被统一并内化进一个新的思维领域。教师对学生理解的东西作一个全面的评述，帮助学生完成这一过程，在此，教师要小心，不要提出新的或不一致的观点 范希尔理论的特点 1.次序性(sequential)：学生几何思维水平的发展是循序渐进的，要在特定的水平顺发展，必须具有前一水平的各个概和策。也就是说，学生在没通过第n-1层次之前，无法到达
12、第n层次。2.进阶性(advancement)：学生几何思维水平的提升是经由教学，而是随龄成长或心成熟自然而然的。没有一种教学方法能让学生跳过某一水平而进入下一水平，由一水平进入下一水平并非一蹴而就的。3.内隐性及外显性(intrinsic and extrinsic)：某一水平的内隐性质成为下一水平的外显性质，如某一个水平上的个人化的模糊概念在下一水平上通过外显的表征工具(如符号)而得到澄清。4.语言性(linguistics)：每一层次有其专属的阶段性语言符号。在某一层次使用的语言符号，可能到另一层次就必须调整为另一语言符号，因此每一层次有其独特的语言符号，谓之语言性。5.适配性(mismatch)：如果学生的思维处于一个水平,而教师的教学处于另一个水平,那么就不可能取得预期的教学效果.尤其是当教师的教材内容、教具选择及语汇使用均属于较高层次时，学生将无法解、思考其过程与结果。