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1、maC=F1-F2-Fr从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力F1 F2 Fr汽车向前行驶汽车向前行驶是否摩擦力使汽车的动是否摩擦力使汽车的动能增加？能增加？从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法MF2F FN2N2F1F FN1N1FrC CWW什么力使运动员的动能增加？什么力使运动员的动能增加？什么力使运动员的动能增加？什么力使运动员的动能增加？运动员跑步时，什么力使运动员的质心加速运动？运动员跑步时，什么力使运动员的质心加速运动？运动员跑步时
2、，什么力使运动员的质心加速运动？运动员跑步时，什么力使运动员的质心加速运动？什么力使自行车的动能增加？什么力使自行车的动能增加？什么力使自行车的速度增加？什么力使自行车的速度增加？121 力的功力的功 122 质点和质点系的动能质点和质点系的动能 123 动能定理动能定理 124 功率功率 功率方程功率方程 125 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定理机械能守恒定理 126 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用第十二章第十二章 动能定理动能定理12-1 力的功力的功力沿路程累积效应的度量，使物体的机械能增加。力沿路程累积效应的度量，使物体的机械能增加。一、常力沿直线路径作功一、常
3、力沿直线路径作功SF 功是代数量单位：J(焦耳),1J1 Nm力的功力的功元功元功二、变力在曲线运动中的功二、变力在曲线运动中的功记记力力 在在 路程上的功为路程上的功为三、合力的功三、合力的功（直角坐标表达式）（直角坐标表达式）力力 在在 路程上的功为路程上的功为1 1、重力的功、重力的功质点系质点系由由重力的功只与重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。始、末位置有关，与路径无关。得得四、几种常见力的功四、几种常见力的功质点质点2 2、弹性力的功、弹性力的功弹簧刚度系数弹簧刚度系数k(N/m)弹性力弹性力弹性力的功为弹性力的功为因因式中式中得得即即弹性力的功只与弹性力的功只与弹簧初始和末了
4、的位置的变形量有关，与弹簧初始和末了的位置的变形量有关，与路径无关路径无关3.3.定轴转动刚物体上作用力的功定轴转动刚物体上作用力的功则则若若 常量常量由由从角从角 转动到角转动到角 过程中力过程中力 的功的功为为力系全部力的元功之和为力系全部力的元功之和为4.4.平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功当质心由当质心由 ,转角由转角由 时时,力系的功力系的功为为即即:平面运动刚体上力系的功平面运动刚体上力系的功,等于力系向质心简化所得的力和等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和力偶作功之和.5、理想约束力作功理想约束力作功(1)对于光滑固定面约束力做功之和等于零。SN(2)不可伸长的绳
5、索F1F2dr1dr2 1 2W=0约束力作功之和等于零约束力不作功(5)光滑铰链光滑铰链(中间铰链中间铰链)(6)刚性二力杆(4)固定端约束固定端约束(3)光滑铰链支座光滑铰链支座FFdr一对约束力做功之和为零F1F2dr2dr112vB摩擦力作负功纯滚不滑时，滑动摩擦力不作功。(7)摩擦力做功摩擦力做功滑动摩擦时滑动摩擦时FSNFs当轮子在固定面上时，纯滚不滑当轮子在固定面上时，纯滚不滑NFsW=-Fs S纯滚不滑时，接触点也是理想约束。6、内力做功、内力做功FFdr1dr2a、当两点之间的相对位置发生变化时，内力做功、当两点之间的相对位置发生变化时，内力做功汽车发动机的气缸内膨胀的气体对
6、汽车发动机的气缸内膨胀的气体对活塞和气缸的作用力都是内力，但活塞和气缸的作用力都是内力，但内力功的和不等于零内力功的和不等于零。内力的功使气车的动能增加内力的功使气车的动能增加。二者都是运动员跑步前进的驱动力。二者都是运动员跑步前进的驱动力。二者都是运动员跑步前进的驱动力。二者都是运动员跑步前进的驱动力。脚底与地面之间的摩擦力不作功脚底与地面之间的摩擦力不作功脚底与地面之间的摩擦力不作功脚底与地面之间的摩擦力不作功小腿的肌肉小腿的肌肉小腿的肌肉小腿的肌肉(比目鱼肌比目鱼肌比目鱼肌比目鱼肌)收缩产生内力而作功，收缩产生内力而作功，收缩产生内力而作功，收缩产生内力而作功，b、刚体所有内力作功的和、
7、刚体所有内力作功的和等于零等于零等于零等于零使运动员的动能增加。使运动员的动能增加。使运动员的动能增加。使运动员的动能增加。1、物体的质量为、物体的质量为M，与斜面间的动摩擦系数为，与斜面间的动摩擦系数为f，弹簧刚度为，弹簧刚度为K。当弹簧处于原长时，物体沿倾。当弹簧处于原长时，物体沿倾角为角为的斜面向下移动了距离的斜面向下移动了距离S，求在此位移中各，求在此位移中各力所作的功。力所作的功。2、高、高4米、宽米、宽3米的木箱的质量为米的木箱的质量为M，绕其，绕其棱边棱边E翻倒，问在此过程中重力何时做正功翻倒，问在此过程中重力何时做正功？何时做负功？重力做得总功如何？何时做负功？重力做得总功如何
8、？E3、弹簧原长为、弹簧原长为R，O端固定，另一端由端固定，另一端由B处拉处拉到到A处，求弹力作功。处，求弹力作功。AB12-2 质点和质点系的动能质点和质点系的动能瞬时量，与速度方向无关的正标量瞬时量，与速度方向无关的正标量物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。强弱的又一种度量。一、质点的动能一、质点的动能 二、质点系的动能二、质点系的动能质点系内各质点动能的算术和质点系内各质点动能的算术和(1)平动刚体的动能三、刚体的动能三、刚体的动能(2)定轴转动刚体的动能(3)平面运动刚体的动能JPJC+md 2平面运动刚体的
9、动能=dCP+绕质心转动的动能。随质心平动的动能例例1：连杆结构如图所示，：连杆结构如图所示，OA=AB=BD=l。质量均质量均为为M。若若OA绕绕O轴以匀轴以匀角速度角速度 转动转动,求系统的动能求系统的动能.ODABCT=TOA+TDB+TABODABCvC=vA=l Cv vC C例例2 2 牢记均质圆盘在地面上或斜面上作纯滚动时的牢记均质圆盘在地面上或斜面上作纯滚动时的动能动能:例例3 均质细杆长为均质细杆长为l，质量为，质量为m，上端，上端B靠在光滑的墙上，靠在光滑的墙上，下端下端A用铰与质量为用铰与质量为M半径为半径为R且放在粗糙地面上的圆且放在粗糙地面上的圆柱中心相连，在图示位置
10、圆柱作纯滚动，中心速度为柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为v，杆与水平线的夹角，杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。，求该瞬时系统的动能。vABCvABCPI为为AB杆的瞬心杆的瞬心OA例例4：行星轮系机构置于水平面内，曲柄行星轮系机构置于水平面内，曲柄OA质量为质量为M，且以角速度且以角速度 运运动。动。R为定齿轮为定齿轮 O 的半径，动齿轮的半径，动齿轮A 的半径为的半径为 r，质量为质量为 m。求系统的动能。求系统的动能。T=TOA+TAOAIvA=(R+r)=r A运动分析分析练习练习1、均质圆轮的质量为、均质圆轮的质量为M，半径为，半径为R；杆的质；杆的质量为量
11、为M，杆长，杆长L。计算各物体的动能。计算各物体的动能。纯滚纯滚v2、滑块的质量为、滑块的质量为m1，在水平滑道内以，在水平滑道内以V速度匀速速度匀速滑动。杆的质量为滑动。杆的质量为m2，杆长为，杆长为L，杆绕铰点，杆绕铰点A匀匀速转动，转动角速度为速转动，转动角速度为，求当杆与铅垂线的夹，求当杆与铅垂线的夹角为角为时系统动能。时系统动能。vA3、曲柄、曲柄OA长为长为R，重为，重为P，以匀角速度，以匀角速度转动。三个均质圆轮各重转动。三个均质圆轮各重W，求系统，求系统的总动能。的总动能。OAB4、履带行走机构中，履带的总重量为、履带行走机构中，履带的总重量为P；二轮共；二轮共重重Q，半径为，
12、半径为R，视为均质圆盘。二轮的间距，视为均质圆盘。二轮的间距为为R，车的前进速度为，车的前进速度为V，求系统的动能。，求系统的动能。5、均质杆的质量为、均质杆的质量为M，杆长为，杆长为L，匀角速度，匀角速度转动，求动能。转动，求动能。L/46、均质圆轮的质量为、均质圆轮的质量为M，半径为，半径为R，求动量、，求动量、动量矩、动能。动量矩、动能。1、质点的动能定理、质点的动能定理质点动能的增量等于作用在质点上的力的元功。12-3动动 能能 定定 理理Ma=F微分形式微分形式在质点运动的某个过程中，积分形式积分形式质点动能的改变量=作用于质点的力作的功。2、质点系的动能定理、质点系的动能定理设第设
13、第i i个质点的质量为个质点的质量为mi，速度为，速度为vi质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式质点系质点系动能的微分动能的微分=作用在质点系上作用在质点系上所有力所作的元功之和所有力所作的元功之和。质点系在某一运动过程中质点系在某一运动过程中质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下在理想约束的条件下：起点和终点的起点和终点的动能的改变量动能的改变量=作用于质点系的作用于质点系的全部力在这一过程中所作的功之和全部力在这一过程中所作的功之和。问题问题将摩擦力、弹性内力等非理想约束的约将摩擦力、弹性内力等非理想约束的约束反力划入主动力计算力的功。束反力划入主动
14、力计算力的功。在非理想约束下，如何应用动能定理？在非理想约束下，如何应用动能定理？已知已知:均质圆盘均质圆盘R,m,F=常量常量,且很大且很大,使使O向右运动向右运动,f,初静止。初静止。求求:O走过走过S路程时圆盘的角速度、角加速度及盘心的加速度。路程时圆盘的角速度、角加速度及盘心的加速度。圆盘速度瞬心为圆盘速度瞬心为C,解解:将式将式(a)(a)两端对两端对t求导求导,并利用并利用得得已知已知:m,h,k,其它质量不计其它质量不计.求求:解解:已知：轮已知：轮O：R1 ，m1 1 ,质量分布在轮缘上质量分布在轮缘上;均质轮均质轮C ：R2 2 ，m2 2 ，纯滚动纯滚动,初始静止初始静止;
15、,M 为常力偶。为常力偶。求求:轮心轮心C 走过路程走过路程S时的速度和加速度时的速度和加速度轮轮C与轮与轮O共同作为一个质点系共同作为一个质点系解解:式式(a)(a)是函数关系式，两端对是函数关系式，两端对t求导求导,得得OaAFB例例4 在在对对称称连连杆杆的的A点点，作作用用一一铅铅垂垂方方向向的的常常力力F，开开始始时时系系统统静静止止，如如图图。设设连连杆杆长长均均为为l，质质量量均均为为m，均均质质圆圆盘盘质质量量为为m1，且且作作纯纯滚滚动动。求求连连杆杆OA运运动动到到水水平位置时的角速度。平位置时的角速度。OaAFB运动分析运动分析OABvAvBOaAFBmg mgFSFNm
16、1gFOxFOy受力分析受力分析 例例5 重物重物A和和B通过动滑轮通过动滑轮D和定和定滑轮而运动。设重物滑轮而运动。设重物A和和B的质量的质量均为均为m，滑轮，滑轮D和和C的质量均为的质量均为M，且为均质圆盘。重物，且为均质圆盘。重物B与水平面与水平面间的动摩擦系数为间的动摩擦系数为f，绳索不能伸，绳索不能伸长，其质量忽略不计。如果重物长，其质量忽略不计。如果重物A开始时向下的速度为开始时向下的速度为v0，试问重物，试问重物A下落多大距离，其速度增大一倍。下落多大距离，其速度增大一倍。DABCv02v0DABCv0系统动能系统动能 受力分析受力分析DABCmgMgMgmgFNFSFOyFOx
17、 例例6：均均质质杆杆质质量量m10 kg，长长度度l60 cm，两两端端与与不不计计重重量量的的滑滑块块铰铰接接，滑滑块块可可在在光光滑滑槽槽内内滑滑动动，弹弹簧簧的的弹弹性性系系数数为为k360 N/m。在在图图示示位位置置时时系系统统静静止止，弹弹簧簧的的伸伸长长为为20 cm。然然后后无无初初速速释释放放，求求当当杆杆到到达达铅铅垂位置时的角速度。垂位置时的角速度。BACmg30 cmBACmg30 cm运动分析运动分析vAvBABBACmg30 cm已知已知:,均质均质;杆杆m均质均质,=,=l ,M=常量常量,纯滚动纯滚动,处于水处于水平面内平面内,初始静止初始静止.求求:转过转过
18、角的角的研究整个系统研究整个系统解解:式式(a)(a)对任何对任何均成立均成立,是函数关系是函数关系,求导得求导得注意注意:轮轮、接触点接触点C是理想约束是理想约束,其摩擦力其摩擦力Fs尽管在空间是移动的尽管在空间是移动的,但但作用于速度瞬心作用于速度瞬心,故不作功故不作功.例例1 一一长长为为l，质质量量密密度度为为的的链链条条放放置置在在光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上，有有长长为为b的的一一段段悬悬挂挂下下垂垂，如如图图。初初始始链链条条静静止止，在在自自重重的的作作用用下下运运动动。求求当当末末端端滑滑离桌面时，链条的速度。离桌面时，链条的速度。例例7 均质圆盘均质圆盘A：m，r；滑块
19、；滑块B：m；杆；杆AB：质量不质量不计，平行于斜面。计，平行于斜面。斜面倾角斜面倾角，摩擦系数，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。静止。求：滑块的加速度。设向下位移设向下位移S时滑块时滑块B的速度为的速度为vvv受力分析受力分析mgmgNANBFAFB例例8 8：均质圆柱体重为均质圆柱体重为P,半径为半径为r，其中心，其中心O绞接一绞接一重为重为Q的均质直杆的均质直杆OA，放在倾角为，放在倾角为的斜面上，轮的斜面上，轮子只滚不滑，子只滚不滑，OA杆的杆的A端与斜面间无摩擦，系统初端与斜面间无摩擦，系统初始静止，求轮心沿斜面下滑距离始静止，求轮心沿
20、斜面下滑距离S时圆柱体中心点时圆柱体中心点的速度与加速度。的速度与加速度。OASOAS设下滑距离设下滑距离S时轮心的速度为时轮心的速度为vvvAOAOA=0T1=0OAST2-T1=WQPNFS受力分析受力分析T1=0例例9 已知：已知：m，R,f，。求纯滚动时盘心的。求纯滚动时盘心的加速度加速度。CCFNmgvC F设圆盘中心向下产生位移设圆盘中心向下产生位移 s时速度达到时速度达到vc。sT2-T1=W受力分析受力分析例例11 质量为质量为m 的杆置于两个半径为的杆置于两个半径为r，质量为，质量为 的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水
21、平力P时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，无相对滑动。时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，无相对滑动。PP运动分析运动分析vaPva系统动能系统动能受力分析受力分析Pvamgmg/2mg/2NANBFAFB例例12 两两根根完完全全相相同同的的均均质质细细杆杆AB和和BC用用铰铰链链连连接接，每每根根杆杆重重P10 N，长长l1 m，一一弹弹簧簧常常数数k120 N/m的的弹弹簧簧连连接接在在两两杆杆的的中中心心。假假设设两两杆杆与与光光滑滑地地面面的的夹夹角角 60时时弹弹簧簧不不伸伸长长，一一力力F10 N作作用用在在AB的的A点，该系统由静止释放，试求点，该系统由静止释放，试求 0时时AB杆
22、的角速度。杆的角速度。A CBDFvAAqCBDFvB运动学分析运动学分析BCABBCAA AqCBDF受力分析受力分析NPPKT 2-T 1=W AqCBDF小结小结1、动能定理最适于已知主动力、求运动；、动能定理最适于已知主动力、求运动；2、求速度宜用动能定理的积分形式；、求速度宜用动能定理的积分形式；3、动能定理方程中不出现理想约束反力，使、动能定理方程中不出现理想约束反力，使解题过程大为简便。解题过程大为简便。4、动能定理只适用于单自由度系统。、动能定理只适用于单自由度系统。求速度、加速度或运动微分方程。求速度、加速度或运动微分方程。求加速度或建立运动微分方程时应求导。求加速度或建立运
23、动微分方程时应求导。练习练习1、鼓轮重为、鼓轮重为P，可在铅垂平面内绕轴，可在铅垂平面内绕轴O转动，转动，对转轴的回转半径为对转轴的回转半径为。小车的总重量为。小车的总重量为Q，沿倾，沿倾角为角为的斜面向上运动。当鼓轮上作用有不变的力的斜面向上运动。当鼓轮上作用有不变的力矩矩M时将小车提升。求小车由静止开始沿斜面上升时将小车提升。求小车由静止开始沿斜面上升距离距离S时的速度。时的速度。OM2、行星齿轮机构位于水平面内，曲柄、行星齿轮机构位于水平面内，曲柄OA可视为均可视为均质杆，质量为质杆，质量为m、长为、长为L，受到不变的扭矩，受到不变的扭矩M的作的作用而绕轴用而绕轴O转动。由曲柄带动轮转动
24、。由曲柄带动轮1在轮在轮2上纯滚。轮上纯滚。轮1的质量为的质量为m1，半径为，半径为r1，视为均质圆盘。求曲柄，视为均质圆盘。求曲柄由静止转过由静止转过n圈时的角速度与角加速度。圈时的角速度与角加速度。AOM3、重为、重为P1的物体垂直下落，带动滑轮的物体垂直下落，带动滑轮A及具有固定转轴的鼓及具有固定转轴的鼓轮轮B和齿轮和齿轮C，并使重为，并使重为P2位于水平面上的齿条位于水平面上的齿条DE运动。鼓运动。鼓轮的半径为轮的半径为r1,齿轮的半径为齿轮的半径为r2。鼓轮和齿轮对轴。鼓轮和齿轮对轴O的转动惯的转动惯量为量为J，齿条的长，齿条的长DEL。初瞬时，齿轮和齿条在。初瞬时，齿轮和齿条在D点
25、相切。点相切。求齿轮和齿条在求齿轮和齿条在E点相切时，物体的速度和加速度。点相切时，物体的速度和加速度。ACBDE4、小车、小车A的质量为的质量为m，沿倾角为，沿倾角为的斜面上升；定的斜面上升；定滑轮滑轮C的质量为的质量为m，半径为，半径为r；动滑轮；动滑轮B的质量为的质量为m，半径为，半径为r；物体；物体D的质量为的质量为m。系统由静止开始运。系统由静止开始运动，求小车动，求小车A的加速度与的加速度与AC段绳的张力段绳的张力。ABDC5、均质圆柱体、均质圆柱体A的质量为的质量为m，半径为，半径为r，沿倾角为，沿倾角为的的斜面纯滚。物块斜面纯滚。物块B的质量为的质量为m，与斜面间的动摩擦系，与
26、斜面间的动摩擦系数为数为f。AB杆的质量不计，求物块杆的质量不计，求物块B的加速度与杆的的加速度与杆的受力。受力。AB6、圆轮、圆轮A的质量为的质量为m1，半径为，半径为r。物块。物块B的质量为的质量为m2，沿倾角为，沿倾角为的斜面向上运动。物块与斜面间的动的斜面向上运动。物块与斜面间的动摩擦系数为摩擦系数为f。在圆轮上作用一常力偶。在圆轮上作用一常力偶M使物块沿斜使物块沿斜面上升。初瞬时系统静止。求物块上升的速度与加面上升。初瞬时系统静止。求物块上升的速度与加速度。速度。ABM7、均质滚子、均质滚子A的质量为的质量为M，半径为，半径为R；定滑轮；定滑轮B的的质量为质量为m1，半径为，半径为r
27、，视为均质圆盘。物体，视为均质圆盘。物体C的质量的质量为为m2。初瞬时系统静止。求物体。初瞬时系统静止。求物体C下降的加速度。下降的加速度。ABC8、初瞬时系统静止，弹簧处于原长。求：当、初瞬时系统静止，弹簧处于原长。求：当A物体物体沿倾角为沿倾角为的斜面向下滑动距离的斜面向下滑动距离S时时A物体的速度与物体的速度与加速度。加速度。m3、Rm1K纯滚纯滚Am2 、r9、均质圆柱体、均质圆柱体C的质量为的质量为m1、半径为、半径为r1，沿倾角为，沿倾角为的斜面向上纯滚。滑轮的斜面向上纯滚。滑轮B的质量为的质量为m2、半径为、半径为r2，绕轴绕轴B转动。转动。A物体的质量为物体的质量为m3。求。求
28、A物体下降的加物体下降的加速度速度ABC10、均质圆柱体的质量为、均质圆柱体的质量为m，半径为，半径为r，在中间，在中间的截面绕以细绳，无初速度释放。求质心下降的截面绕以细绳，无初速度释放。求质心下降h时质心的速度、绳的张力。时质心的速度、绳的张力。11、均质圆盘的质量为、均质圆盘的质量为m1，半径为，半径为r。均质杆的质量。均质杆的质量为为m2，长为，长为L。杆与盘在圆盘的中心。杆与盘在圆盘的中心A处焊接，在杆处焊接，在杆与铅垂线成与铅垂线成30度角时无初速度释放，求运动到最低点度角时无初速度释放，求运动到最低点时圆盘中心的速度。时圆盘中心的速度。A12、曲柄连杆机构中，曲柄、曲柄连杆机构中
29、，曲柄OA重为重为P1，连杆，连杆AB重为重为P2，滑块，滑块B重为重为Q。OAR，ABL，轴，轴O到滑块滑道的到滑块滑道的距离为。曲柄受常力偶距离为。曲柄受常力偶M的作用。开始时曲柄与的作用。开始时曲柄与B的的滑道平行，角速度为滑道平行，角速度为0。求曲柄在常力偶的作用下转完。求曲柄在常力偶的作用下转完第一圈时，滑块第一圈时，滑块B的速度。的速度。OABaM13、均质细长杆的长度为、均质细长杆的长度为L、质量为、质量为m1，B端靠在光滑端靠在光滑的墙面上，的墙面上，A端与一均质圆柱体铰接。圆柱体的质量为端与一均质圆柱体铰接。圆柱体的质量为m2、半径为、半径为R，放在粗糙的地面上，由图示开始作
30、纯滚。，放在粗糙的地面上，由图示开始作纯滚。初瞬时初瞬时AB与水平线的夹角为与水平线的夹角为45度。求运动开始时刻度。求运动开始时刻A点点的加速度。的加速度。BA14、物体、物体B的质量为的质量为=0.1Kg用一绳系住，用一绳系住，C物体的质量为物体的质量为=0.1Kg放在放在B物体上。物体上。A物体的质量为物体的质量为2=0.8Kg，放在有摩擦，放在有摩擦的水平面上。的水平面上。B、C二物体一起下降二物体一起下降S150厘米后通过环厘米后通过环D使使C物体挡住。以后物体挡住。以后B物体又下降了物体又下降了S230厘米才停止。系统开始厘米才停止。系统开始时静止。求时静止。求A物体与水平面间的摩
31、擦系数。物体与水平面间的摩擦系数。BCAD12-4功率功率 功率方程功率方程 机械效率机械效率一、功率一、功率：力的功率：力的功率：力矩的功率：力矩的功率：功率的单位：功率的单位：力在单位时间内所作的功。力在单位时间内所作的功。功率是代数量，并有瞬时性。功率是代数量，并有瞬时性。瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s。2、功率方程、功率方程功率方程功率方程:即质点系动能对时间的一阶导数即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点等于作用于质点 系的所有力的功率的代数和系的所有力的功率的代数和.或或机床机器稳定运行时机器稳定运行时，3、机械效率、机械效率机械效率机械效率有效功率有效功率多级传动系统
32、多级传动系统 是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 。已知已知:m，l0 ，k ，R，J。求求:系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。解解:令令 为弹簧静伸长，即为弹簧静伸长，即mg=k ,以平衡位置为原点以平衡位置为原点12-5势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律一、势力场一、势力场力作功与运动路径无关力作功与运动路径无关。一物体在空间任一位置都受到一个大小和方一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用向完全由所在位置确定的力的作用质点在势力场中受到的场力质点在势力场中受到的场力3、有势力、有
33、势力(保守力）保守力）1、力场、力场：2、势力场、势力场：有势力所作的功有势力所作的功 用用V 表示表示。二、势能二、势能M0MM0作为基准位置，势能为零。作为基准位置，势能为零。零势能点零势能点势能具有相对性。势能具有相对性。三、几种常见的势能三、几种常见的势能（1 1）重力场中的势能）重力场中的势能（2 2）弹性力场的势能）弹性力场的势能（3 3）万有引力场中的势能）万有引力场中的势能取零势能点在无穷远取零势能点在无穷远质点系质点系重力场重力场（4 4）质点系受到多个有势力作用）质点系受到多个有势力作用质点系的零势能位置质点系的零势能位置:各质点都处于其零势能点的一组位置各质点都处于其零势
34、能点的一组位置.质点系的势能质点系的势能:质点系从某位置到其零势能位置的运动过程质点系从某位置到其零势能位置的运动过程中中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能.有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。在在M1位置的势能：位置的势能：在在M2位置的势能：位置的势能：质点由质点由M1运动到运动到M2有势力的功有势力的功：四、有势力的功四、有势力的功M2M1M0设质点系只受到有势力设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力或同时受到不作功的非有势力)作用，则作用，则系统的动能与势能的代
35、数和。系统的动能与势能的代数和。五、机械能守恒定律五、机械能守恒定律机械能：机械能：在有势力作用下。在有势力作用下。保守系统：保守系统：M2M1M0 质点系仅在有势力作用下运动时质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒机械能守恒.此类此类系统称系统称保守系统保守系统.“君不见黄河之水天上来，奔流到海不复还君不见黄河之水天上来，奔流到海不复还”骑自行车下坡时，有何感觉？骑自行车下坡时，有何感觉？钟表为何嘀嗒不停？钟表为何嘀嗒不停？问题问题谈谈：在此过程中的能量转换谈谈：在此过程中的能量转换已知：重物已知：重物m=250kg,以以v=0.5m/s匀速下降，钢索匀速下降，钢索 k=3.35 N/m
36、.求求:轮轮D突然卡住时，钢索的最大张力突然卡住时，钢索的最大张力.卡住前卡住前 卡住后卡住后解解:得得即即由由 有有例例 长为长为l，质量为，质量为m的均质的均质直杆，初瞬时直立于光滑的直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆倒后，求质心的速度（用杆的倾角的倾角 和质心的位置表）。和质心的位置表）。受力分析受力分析mgN质心质心C铅垂下降铅垂下降机械能守恒机械能守恒vP运动学分析运动学分析3、均质细长杆长为、均质细长杆长为L，可在铅垂面内绕轴，可在铅垂面内绕轴O转动。转动。问在杆位于铅垂时应在杆的自由端施加多大的速度问在杆位于铅垂时应在
37、杆的自由端施加多大的速度杆才可到达水平位置。杆才可到达水平位置。OAv4、杆、杆AC、BC的长度相等均为的长度相等均为L，质量相同均为，质量相同均为m。图示时刻系统位于铅垂平面内，。图示时刻系统位于铅垂平面内，A、B处光处光滑接触，滑接触，C处为光滑销钉。初瞬时处为光滑销钉。初瞬时C离开地面的离开地面的高度为，由此位置无初速度释放。求高度为，由此位置无初速度释放。求C点着地点着地时的速度时的速度CAB5、铁链长为、铁链长为L，放在光滑的桌面上。下边垂下长，放在光滑的桌面上。下边垂下长为的一段。求铁链全部离开桌面时的速度。为的一段。求铁链全部离开桌面时的速度。6、均质杆长为、均质杆长为L，质量为
38、，质量为m，在光滑的水平，在光滑的水平面上由铅垂位置无初速度释放。求当重心离面上由铅垂位置无初速度释放。求当重心离地高为地高为h时重心的速度。时重心的速度。7、均质圆柱体的质量为、均质圆柱体的质量为m，半径为，半径为r，在中，在中间的截面绕以细绳，无初速度释放。求质间的截面绕以细绳，无初速度释放。求质心下降心下降h时质心的速度、绳的张力。时质心的速度、绳的张力。8、求、求W1物体下落物体下落H时的速度。时的速度。m、r、W1、W2已知已知m、rW1W29、均质圆盘的质量为、均质圆盘的质量为m1，半径为，半径为r。均质杆的质。均质杆的质量为量为m2，长为，长为L。杆与盘在圆盘的中心。杆与盘在圆盘
39、的中心A处焊接，处焊接，在杆与铅垂线成在杆与铅垂线成30度角时无初速度释放，求运动度角时无初速度释放，求运动到最低点时圆盘中心的速度。到最低点时圆盘中心的速度。A10、均质圆柱体、均质圆柱体A的质量为的质量为m，半径为，半径为r，沿斜面，沿斜面纯滚。物块纯滚。物块B的质量为的质量为m，沿斜面间无摩擦向下运，沿斜面间无摩擦向下运动。动。AB杆的质量不计，求物块杆的质量不计，求物块B的下滑距离的下滑距离S时物时物块块B的速度。的速度。AB11、物体、物体M距离地面高为距离地面高为h时系统处于平衡。现给时系统处于平衡。现给M一个向下的初速度一个向下的初速度V0使使M恰好到达地面。求恰好到达地面。求V
40、0？（已知：物体？（已知：物体M，定滑轮，定滑轮A、动滑轮、动滑轮B的重量的重量均为均为P，弹簧刚度为，弹簧刚度为K）MABKv0h12-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用1、质点系动量的计算、质点系动量的计算2、动量定理、动量定理离散质点系离散质点系刚体刚体 4、质心运动定理、质心运动定理一、动量定理一、动量定理擅长擅长擅长擅长 求支座反力求支座反力3、动量守恒、动量守恒5、质心运动守恒、质心运动守恒速度守恒速度守恒位置守恒位置守恒a、质点的动量矩、质点的动量矩b、质点系的动量矩、质点系的动量矩二、动量矩定理二、动量矩定理1、动量矩计算、动量矩计算2、刚体动量矩计算、刚体动量
41、矩计算平动平动定轴转动定轴转动平面运动平面运动3、质点的动量矩定理及守恒、质点的动量矩定理及守恒(2)、质点的动量矩守恒、质点的动量矩守恒(1)、质点的动量矩定理、质点的动量矩定理常矢量。常量。4、质点系的动量矩定理及守恒、质点系的动量矩定理及守恒(2)、质点系的动量矩守恒、质点系的动量矩守恒 若，(3)、质点系相对质心的动量矩定理、质点系相对质心的动量矩定理(1)、质点系的动量矩定理、质点系的动量矩定理常矢量常量 若 5、刚体定轴转动微分方程、刚体定轴转动微分方程 6、刚体平面运动微分方程、刚体平面运动微分方程明确构件的运动形式，擅长取单个构件为研究对象明确构件的运动形式，擅长取单个构件为研
42、究对象明确构件的运动形式，擅长取单个构件为研究对象明确构件的运动形式，擅长取单个构件为研究对象2、质点系的动能质点系的动能1、力的功力的功 4、质点系动能定理质点系动能定理刚体平动刚体平动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体平面运动刚体平面运动三、动能定理三、动能定理5、机械能守恒、机械能守恒擅长取整体为研究对象擅长取整体为研究对象擅长取整体为研究对象擅长取整体为研究对象 ，求运动量，求运动量，求运动量，求运动量3、刚体的动能、刚体的动能特别强调特别强调动力学的两大支柱动力学的两大支柱受力分析受力分析运动学分析运动学分析计算动能计算动能动量矩动量矩动量动量计算力的功计算力的功力矩力矩合力合力例例1 均
43、质杆均质杆OA，重，重P，长，长l，绳子突然剪断。求，绳子突然剪断。求该瞬时，角加速度及该瞬时，角加速度及O处反力。处反力。受力分析受力分析定轴转动微分方程定轴转动微分方程 运动分析运动分析=0=0PYOXOPYOXO由质心运动定理：由质心运动定理：分析质心加速度分析质心加速度aCaCn 例例2 重重G2=150N的均质圆盘与重的均质圆盘与重G1=60N、长、长24cm的的均质杆均质杆AB在在B处用铰链连接。处用铰链连接。系统由图示位置无初速系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置地释放。求系统经过最低位置B点时的速度点时的速度（1）分析圆盘的运动）分析圆盘的运动圆盘平动圆盘平动相对于质
44、心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理G2YBXBB（2）求速度）求速度设到达最低位置设到达最低位置B点时的速度为点时的速度为vT1=0vv已知已知:均质园轮均质园轮 m,r,R,纯滚动纯滚动.求求:轮心轮心的运动微分方程的运动微分方程.解解:重力的功率重力的功率（很小）很小）本题也可用动能定理求解本题也可用动能定理求解.动能定理动能定理方程两边对时间求导方程两边对时间求导已知已知:两均质轮两均质轮m ,R ;物块物块m,纯滚动纯滚动,于弹簧原长处无于弹簧原长处无 初速释放初速释放.求：重物下降求：重物下降h时时,v，a及滚轮与地面的摩擦力及滚轮与地面的摩擦力.解解:将式（将式（a a）对）对t
45、 t 求导求导得得其中其中已知:l,m，地面光滑地面光滑.求求:杆由铅直倒下杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力刚到达地面时的角速度和地面约束力.解：解：例：例：表面光滑的三角块上放重量表面光滑的三角块上放重量PA物体，一端通过滑轮悬挂重物体，一端通过滑轮悬挂重物物PB，当，当PA下滑时三角块被台阶挡住。求物体作用于地面突出下滑时三角块被台阶挡住。求物体作用于地面突出部分的水平压力部分的水平压力a aABOPl2lAB例例4：均质直杆：均质直杆AB重重P、长、长2l，一端用长，一端用长l的绳索的绳索OA拉拉住，另一端住，另一端B放置在地面上，可以沿光滑地面滑动。开放置在地面上，可以沿
46、光滑地面滑动。开始时系统处于静止状态，绳索始时系统处于静止状态，绳索OA位于水平位置，而位于水平位置，而O、B点在同一铅垂线上。求当绳索点在同一铅垂线上。求当绳索OA运动到铅垂位置运动到铅垂位置时，时，B点的速度和绳索的拉力以及地面的反力。点的速度和绳索的拉力以及地面的反力。(1)运动速度计算运动速度计算.当绳索当绳索OA运动到铅垂位置时运动到铅垂位置时OABvAvB=0系统动能系统动能T1=0NTOB=1.732lAB=0.732lOABvAvBP外力做功外力做功ABOPl2lABBAaBaB(2)加速度计算加速度计算OB cos=0.931sin=0.366 ABOAB aBaBC分析质心
47、加速度分析质心加速度cos=0.931sin=0.366(3)计算约束反力计算约束反力acxacy ABBAB CPN应用平面运动微分方程应用平面运动微分方程T=0.846PN=0.654PT受力分析受力分析cos=0.931sin=0.366axay AB5 5：均质杆长均质杆长l、重、重Q，直立在光滑的墙边，由此位，直立在光滑的墙边，由此位置开始运动，求到达任意位置置开始运动，求到达任意位置时的角速度时的角速度、角、角加速度加速度 及及A、B两处的反力。不计摩擦。两处的反力。不计摩擦。BABA1、运动分析、运动分析PCQNBNA BA加速度分析加速度分析 CaAaAaCAaCAnaxaya
48、B aBaCBaCBnayax由质心运动定理由质心运动定理BANANB受力分析受力分析axayQ A A物体的质量为物体的质量为m m，沿倾角为，沿倾角为 的斜面运动，与斜面间的动摩擦的斜面运动，与斜面间的动摩擦系数为系数为f f。轮。轮O O与鼓轮的总质量为与鼓轮的总质量为m m，对轴，对轴O O的回转半径为的回转半径为，鼓轮的半径为鼓轮的半径为r r，轮，轮O O 的半径为的半径为R R。动滑轮。动滑轮C C的质量为的质量为m/3m/3，半，半径为径为r r。物体。物体B B的质量为的质量为m/2m/2。在轮。在轮O O上作用有常力偶上作用有常力偶MM使物体使物体B B上升。求上升。求A
49、A物体沿斜面运动的加速度、物体沿斜面运动的加速度、1 1、2 2、3 3段绳的张力、段绳的张力、轴承轴承O O处反力。处反力。CB123MAv12v33v4例例6、已知：圆环对铅锤轴的转动惯量、已知：圆环对铅锤轴的转动惯量J，圆环半径为，圆环半径为R。质量为。质量为m的小球在的小球在圆环内运动。初始时刻圆环内运动。初始时刻 求小球运动到图示求小球运动到图示 位置时圆环的位置时圆环的角速度和角加速度角速度和角加速度ABAB系统对系统对AB轴的动量矩守恒轴的动量矩守恒受力分析受力分析AB1、三棱柱体三棱柱体A沿三棱柱体沿三棱柱体B的光滑斜面向下滑动，的光滑斜面向下滑动，A、B的质量各为、的质量各为
50、、M。三棱柱。三棱柱B的斜面倾角为的斜面倾角为，与水平，与水平面间无摩擦。开始时刻系统静止。求三棱柱面间无摩擦。开始时刻系统静止。求三棱柱B的速度。的速度。BA2、三棱柱、三棱柱B的质量为的质量为M，与水平面间无摩擦。均质，与水平面间无摩擦。均质圆柱体圆柱体A的质量为，半径为的质量为，半径为R，在三棱柱，在三棱柱B的的斜面上纯滚，三棱柱斜面上纯滚，三棱柱B的斜面倾角为的斜面倾角为。求三棱。求三棱柱体的加速度。柱体的加速度。AB3、均质杆、均质杆AB重为重为W，长为，长为L。直立在光滑的水。直立在光滑的水平面上。由此无初速度倒下。求杆与水平面平面上。由此无初速度倒下。求杆与水平面成任意角成任意角