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1、第第2 2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2-1 2-1 建立数学模型的一般方法建立数学模型的一般方法2-2 2-2 传递函数传递函数2-3 2-3 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换2-4 2-4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式2-5 2-5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数引言引言定义：定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。数学表达式即为数学模型。用途：用途：1 1）分析）分析实际系统实际系统2 2）预测物理量）预测物理量3 3）设计控制系统）设计控制系统表达形式表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程
2、时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性频域：频率特性线性系统线性系统传递函数传递函数微分方程微分方程频率特性频率特性拉氏拉氏变换变换傅氏傅氏变换变换2-1 2-1 建立数学模型的一般方法建立数学模型的一般方法例例1 1：如图所示的如图所示的RLCRLC电路，试建立以电容上电路，试建立以电容上电压电压uc(t)uc(t)为输出变量，输入电压为输出变量，输入电压ur(t)ur(t)为输为输入变量的运动方程。入变量的运动方程。RLCur(t)uc(t)i(t)依据：电学中的基尔霍夫定律依据：电学中的基尔霍夫定律 由（由（2 2）代入（）代
3、入（1 1）得：消去中间变量）得：消去中间变量i(t)i(t)（两边求导）（两边求导）例例2:2:机械位移系统机械位移系统,物体在外力物体在外力F(t)F(t)作用下作用下产生位移产生位移y(t)y(t)，写出运动方程。，写出运动方程。输入输入F(t)F(t)，输出，输出y(t)y(t)理理论依据论依据:牛顿第二定律牛顿第二定律,物体所受的合外力等于物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘物体质量与加速度的乘积积.mF1(弹簧弹簧的拉力的拉力)F(t)外力外力F2阻尼器的阻力阻尼器的阻力根据上述的例子，可以得到列写系统微分根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程的一般步骤：方程的一般步骤：1
4、1）确定系统的输入、输出变量；）确定系统的输入、输出变量；2 2）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的微分方程；微分方程；3 3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；程；4 4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。许多表面上看来似乎毫无共同之处的控许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样可以用一制系统，其运动规律可能完全一样可以用一个运动方程来表示，称
5、它们为结构相似系统个运动方程来表示，称它们为结构相似系统上例的机械平移系统和上例的机械平移系统和RLCRLC电路就可以用同一个数电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。学表达式分析，具有相同的数学模型。2-2 2-2 传递函数传递函数（transfer function）用微分方程来描述系统比较直观用微分方程来描述系统比较直观 ，但是，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。分析与设计。为此提出传递函数的概念。一、传递函数
6、的定义和概念一、传递函数的定义和概念以上一节例（以上一节例（1 1）RLCRLC电路的微分方程为例：电路的微分方程为例：设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：G(s)R(s)C(s)定义定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用递函数，用G(s)G(s)表示。表示。一般形式一般形式：设线性定常系统（元件）的微分方程是：设线性定常系统（元件）的微分方程是：y(t)y(t)为系统的输出，为系统的输出，r(t)r(t)为系统输入，则零为系统输
7、入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：系统传递函数为：分母中分母中s s的最高阶次的最高阶次n n即为系统的阶次。即为系统的阶次。因为组成系统的元部件或多或少存在因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以惯性，所以G(s)G(s)的分母阶次大于等于分子的分母阶次大于等于分子阶次，即阶次，即 ,是有理真分式，若是有理真分式，若 ,我们就说这是物理不可实现的系统。我们就说这是物理不可实现的系统。二、传递函数的性质二、传递函数的性质 (1)(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条
8、件下进行拉氏变换得到的；下进行拉氏变换得到的；(2)(2)传递函数与微分方程一一对应；传递函数与微分方程一一对应；(3)(3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；理结构的有关信息；(4)(4)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；始条件等外部因素无关；(5)(5)传递函数与系统的输入输出的位置有关；传递函数与系统的输入输出的位置有关；(6)(6)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态
9、特性就确定了。性就确定了。三、典型环节的传递函数三、典型环节的传递函数 1 1）比例环节）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示的代数方程式来表示式中式中 环节的放大系数，为一常数。环节的放大系数，为一常数。传递函数为：传递函数为：特点：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：实例：电子放大器，齿轮，电阻电子放大器，齿轮，电阻(电位器电位器)，感应，感应式变送器等。式变送器等。2 2）惯性环节）惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下面的常其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示系数
10、非齐次微分方程式来表示传递函数为：传递函数为：式中式中 T T 环节的时间常数。环节的时间常数。特点：特点：含一个储能元件，对突变的输入含一个储能元件，对突变的输入,其输出不其输出不能立即发现，输出无振荡。能立即发现，输出无振荡。实例：实例：RCRC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。这一环节。3 3）积分环节）积分环节:其输出量和输入量的关系，由下面的微其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示分方程式来表示传递函数为：传递函数为：特点：特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。入消
11、失，输出具有记忆功能。实例：实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。拟计算机中的积分器等。4 4）微分环节：）微分环节：是积分的逆运算，是积分的逆运算，其输出量和输入量其输出量和输入量的关系，由下式来表示的关系，由下式来表示传递函数为：传递函数为：式中式中 环节的时间常数。环节的时间常数。特点：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。入信号的变化趋势。实例：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。函数即为微分环节。5 5）振荡环
12、节：）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。二阶微分方程式来表示。传递函数为：传递函数为：特点：特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。量交换，其输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电压间的传递函数。电路的输出与输入电压间的传递函数。6 6）延迟环节：）延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来其输出量和输入量的关系，由下式来表示表示传递函数为：传递函数为：式中式中 延迟时间延迟时间特点：特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固输出量能准确复现输入量，
13、但须延迟一固定的时间间隔。定的时间间隔。实例：实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节模型就包含有延迟环节。以上以上6 6种是常见的基本典型环节的数学模型种是常见的基本典型环节的数学模型1 1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的；是一一对应的；2 2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数，有不同的传递函数；传递函数，有不同的传递函数；3 3）环节是相对的，一定条件下可以转化；）环节是相对的，一定条件下可以转化；4 4）基本环节适合线
14、性定常系统数学模型描述。）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。如何判断系统静态动态、定长时变、线性非线性？如果满足齐次叠加性的即为线性方程，否则为非线性。静态方程的输出仅取决于瞬时输入，而动态方程的输出取决于当前输入和过去输入影响的叠加。比如只含电阻的电路所建立的微分方程为静态的，而含电容或电感这类储能元件的电路的微分方程为动态的。也可以理解为动态系统能存储输入信息或能量，而静态系统不能。其系数为确定的常数的是定常系统，其系数随时间变化而改变的为时变系统。2-3 2-3 动态结构图及等效变换动态结构图及等效变换一、动态结构图的组成一、动态结构图的组成1 1、信号线：、信号线：有箭头的直线，箭
15、头表示信号传递方向。有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。2 2、引出点：、引出点：信号引出或测量的位置。信号引出或测量的位置。从同一信号线上引从同一信号线上引出的信号，数值和出的信号，数值和性质完全相同性质完全相同3 3、综合点：、综合点：对两个或两个以上的信号进行代数对两个或两个以上的信号进行代数运算，运算，“”表示相加，常省略，表示相加，常省略，“”表示相表示相减。减。4 4、方框：、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数的传递函数 ，两侧为输入、输出信号线。，两侧为输入、输出信号线。二、动态结构图的建立二、动态结构图的建立例：建立如图所示的双例：
16、建立如图所示的双T T网络的动态结构图。网络的动态结构图。1 1）建立各元件的微分方程）建立各元件的微分方程2 2）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并改写成以下相乘形式改写成以下相乘形式3 3）绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序，依）绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来次将各元件的结构图连接起来作用：作用：1 1）直观形象的分析变量之间的关系）直观形象的分析变量之间的关系 2 2）方便求解传递函数）方便求解传递函数三、典型连接方式及等效变换三、典型连接方式及等效变换X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G(s)X(
17、s)Y(s)1 1、串联及等效、串联及等效2 2、并联及等效、并联及等效X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)G(s)X(s)Y(s)3 3、反馈及等效、反馈及等效G(s)H(s)E(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)反反反反 馈：馈：馈：馈：输出量送回至输入端并与输入信号比较的过程输出量送回至输入端并与输入信号比较的过程输出量送回至输入端并与输入信号比较的过程输出量送回至输入端并与输入信号比较的过程负反馈：负反馈：负反馈：负反馈：反馈的信号与输入信号相减而使偏差越来越小反馈的信号与输入信号相减而使偏差越来越小反馈的信号与输入信号相减而使偏差越来越小反馈的信号与输入信号相减
18、而使偏差越来越小典型闭环系统方框图典型闭环系统方框图四、等效移动规则四、等效移动规则1 1、引出点的移动、引出点的移动G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1 1）前移）前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12 2）后移）后移在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数方框2 2、综合点的移动、综合点的移动在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框 在移动支路中串入所越过的传递函数方框在移动支路中串入所越过的传递函数
19、方框1 1）前移）前移G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-2 2）后移）后移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3相邻综合点之间可以随意调换位置相邻综合点之间可以随意调换位置 3 3）相邻综合点移动）相邻综合点移动x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相邻引出点和综合点之注意：相邻引出点和综合点之间不能互换间不能互换!例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。方法1:引出点后移例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例：试简化系统结构图，并求系统传递函
20、数。方法2:引出点前移x1x4x3x2abc12-4 2-4 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式一、信流图的基本概念一、信流图的基本概念 支路：支路：表示变量之间的传输关系。表示变量之间的传输关系。节点：节点：表示系统中的变量。表示系统中的变量。信号流图是一种表示线性化代数方程组变量信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成信流图的基本术语信流图的基本术语1 1、源节点：、源节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。点，它对应于系
21、统的输入信号，或称为输入节点。2 2、汇节点：、汇节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。3 3、混合节点：、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。合节点。输入节点输入节点（源点）（源点）输出节点输出节点（汇点）（汇点）输入节点输入节点（源点）（源点）信流图的基本术语信流图的基本术语4 4、通道：、通道：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成
22、的路径称为通道。到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通道。5 5、开通道：、开通道：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道。与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道。6 6、闭通道：、闭通道：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。7 7、回环增益：、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。回环中各支路传输的乘积称为回环增益。8 8、前向通道：、前向通道：是指从源头开始并终止于汇点且与其他是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节节点相交不多于一次的通道，该
23、通道的各传输乘积点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积 称为前向称为前向通道增益。通道增益。9 9、不接触回环：、不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之间如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环环 。二、信流图的绘制二、信流图的绘制1 1、由结构图绘制信流图、由结构图绘制信流图结构图结构图信流图信流图变量变量传递传递综合点综合点变成变成混合节混合节点点12 2、由方程组绘制信流图、由方程组绘制信流图首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制
24、各支路。当所有方程式的信号流图各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。绘制完毕后，即得系统的信号流图。三、梅逊（三、梅逊（MasonMason）增益公式）增益公式例例.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数R(S)11G1G3G2Y(S)G4-1-H2-H1YG1G2G3G4-H1H2RR(S)11G1G3G2Y(S)G4-1-H2-H12 25 5 控制系统的传递函数控制系统的传递函数G1(S)G2(S)H(S)R(S)X1(S)X2(S)B(S)-Y(S)E(S)N(S)一、系统的开环传递函数一、系统的开环传递函数
25、定义为把主反馈通道断开，得到的传递函数定义为把主反馈通道断开，得到的传递函数二、输入作用下系统的闭环传递函数二、输入作用下系统的闭环传递函数三、扰动作用下系统的闭环传递函数三、扰动作用下系统的闭环传递函数四、系统的总输出四、系统的总输出五、误差传递函数五、误差传递函数输入作用下的误差传递函数输入作用下的误差传递函数扰动作用下的误差传递函数扰动作用下的误差传递函数六、系统的总误差六、系统的总误差了解建立微分方程的方法了解建立微分方程的方法掌握拉氏变换求解微分方程的方法掌握拉氏变换求解微分方程的方法牢固掌握系统传递函数的定义牢固掌握系统传递函数的定义能熟练地进行动态结构图等效变换能熟练地进行动态结构图等效变换能熟练运用梅逊公式求取系统传递函数能熟练运用梅逊公式求取系统传递函数了解控制系统中各种传递函数的定义了解控制系统中各种传递函数的定义本章小结本章小结